从动态角度揭示解三角形中最值问题的本质

广东省佛山市南海九江中学(528203) 戴建国

例1(2014 新标1)已知a,b,c 分别为ΔABC 的三个内角A,B,C 的对边,且a=2,(2+b)(sin A - sin B)=(c-b)sin C,则ΔABC 面积的最大值为____.

图1

点评对比三种解法,相对于从动态来研究,不等式法似乎也比较简单,但如果加一些限制条件,不等式法的等号成立的条件就要进一步说明.例如,在上题中要求该三角形为锐角三角形,求最大面积.而从图像看就能够清楚的知道点A 可以在哪些地方运动,哪个位置取到最大值,揭示了问题的本质;对于三角函数法可以准确的计算出范围,计算稍微复杂,作为一道选择题,在考试中争取时间的情况下,此时就体现出从动态研究的优势.

变式1(将上题求面积最大改为求周长最大)已知a,b,c 分别为ΔABC 的三个内角A,B,C 的对边,且a=2,(2+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C,则ΔABC 周长的最大值为____.

分析对于周长最大值问题,例1中的角度一和角度二的方法同样可以解决,这里不再详说,下面主要从动态的角度对其进行探究.如图2所示,在ΔABC 中,延长CA 于点P,使得AP=AB,要求周长最大值即主要求AB+AC 的最大值,也即等价求PC 的最大值,易知在点A 运动过程中,保持不变,说明在点A 运动时点P 也在运动并且其轨迹也是圆.在该圆中BC 对应的圆周角为,当点A 运动到A2处,此时PC 为直径时最大,则PC 对应的圆周角为,即,在直角三角形PBC 中,所以周长的最大值为6.

图2

图3

点评与例1 对比,该不可解三角形模型是已知一条边和其一个邻角,虽三角形形状不确定,但其也有确定的量,我们可以从动态角度研究其变化的元素进而研究最值情况.对于角度二与例1 有点不同,在该题中最后转化为某一个角的正切函数,而且是一个复合函数,所以在求解时需明确何时取得最值.

图4

图5

图6

图7

点评对于解法一学生容易入手,但学生往往不知道如何将面积转化为某个变量的函数,而且计算量较大,学生则容易陷入繁琐的运算.而对于解法二可以直观的知道何时面积取得最大,而且面积最大值也容易计算.

总结以上给出5 个例题代表了五种不完全可解三角形的模型,本文对不同的模型给了多种求解策略,其中通过动态研究解决揭示了有关最值的本质,在处理选填题时也体现了其优越性.在我们日常教学过程中也应向学生展示为什么有最值,怎样求解最值,何时取得最值,这能够让学生对该问题有更全面、更深入的了解,能够培养学生数形结合的思想和逻辑推理能力.