圆哥哥和圆弟弟

2021-02-09 03:10龙马
数学大王·趣味逻辑 2021年2期
关键词:小圆大圆圆心

龙马

乔治是个酷爱圆形的小男孩,他家里有各种各样的圆形物品:圆形的床、圆形的桌子、圆形的书……

一天晚上,乔治躺在圆形的枕头上,做了一个神奇的梦。他梦见两个金色的圆居然动了起来,小圆管大圆叫圆哥哥,大圆管小圆叫圆弟弟。

圆弟弟非常淘气,它钻到圆哥哥的环里,骨碌碌绕着圆哥哥转了一整圈。圆哥哥觉得怪痒的,和圆弟弟一起大笑起来。后来圆弟弟索性跑到圆哥哥的外侧,绕了一大圈,这一大圈绕下来,圆弟弟直喊晕。在旁边观察的乔治一时情急想要上前去,结果梦醒了。

第二天一早,乔治就起床研究这两个圆了,梦里的情景一直在他的脑海里浮现。大圆的直径是40cm,小圆的直径是20cm,如果小圆在大圆内部绕大圆转一圈,那么小圆自身转了几圈呢?如果在大圆的外部转,小圆自身又要转几圈呢?

乔治看了半天,突然想到,当小圆绕着大圆转时,假设把大圆剪断拉直,其实就是小圆在一条线段上从一端滚到另一端。线段的长度就是大圆的周长C=2πr(π是圆周率,约等于3.14,r是圆的半径,圆的直径等于2r)。

大圆的半径是小圆的2倍,那么大圆的周长也是小圆周长的2倍。这根线段的长度就是大圆的周长,小圆滚一圈时前进的长度是小圆的周长。所以小圆从线段的一端到另一端需要滚2圈。

乔治回想起梦里的情节,觉得有些不对,因为圆弟弟在圆哥哥内侧转的时候很开心,可是在外侧绕着圆哥哥转了一圈却直喊晕。如果都是同样的转2圈,圆弟弟不应该会覺得晕。

到底是哪里不对呢?善于思考的乔治想到一个主意,他在小圆上画了一个红点,然后观察这个红点的运动轨迹。

当小圆在大圆内侧转动时,小圆自身在做相反方向的自转。观察红点的轨迹,当红点回到原来的位置时,实际上小圆只转了1圈。

当小圆在大圆的外侧转动时,小圆的自转方向和滚动方向一致,小圆实际上转了3圈。

通过标记小红点的观察,乔治又突然想到,能不能以圆心作为观察点呢?如果圆心转了一圈,那圆上的其他点也必定转了一圈。

小圆在大圆内部转圈时,小圆的圆心实际上是围绕一个半径10cm、直径20cm的圆运动的,这个圆和小圆的半径一样,周长也一样,因此小圆只需要转1圈即可。

现在再看小圆在大圆外侧转圈。小圆的圆心实际上是绕着半径30cm的大圆来转动的,半径是小圆的3倍,那么这个运动轨迹的大圆周长是小圆周长的3倍,因此小圆要转3圈。

圆哥哥和圆弟弟绕圈的游戏看似简单,却涉及到圆的公转和自转。乔治在分析这个问题时,用了假设、定点代入的分析方法,并在最后总结出了其中的规律。熟练掌握这些方法,还可以用它们来解决其他问题哟。

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