电场线模型在静电场理论教学中的研究

空军航空维修技术学院 谷绍湖 王志敏 李广兵

电场线是定性分析和理解静电场基本规律的重要工具，本文充分利用电场线、电通量等概念，对高斯定理的证明、静电平衡状态和静电屏蔽原理理解给出了一种形象直观的思路，避免了复杂的数学推导，对深入理解静电场规律和课堂教学具有重要意义。

静电场指的是对于观察者而言，静止的电荷在周围空间中激发的场。在电磁学发展历史上，对电场的科学认识有着非常漫长的过程，从1785年库仑在《电力定律》中提出库仑定律以来，“超距作用”一直长期被认为是用来解释电荷间作用力的正确理论，直到1837年法拉第提出了电场和磁场的概念，明确描述在电与磁的周围应该有一种特殊的场存在，这使人们对电场逐步有了科学的认识。

为更加形象和直观地描述电场，法拉第最早提出了电场线（或电力线）的概念。这是沿用至今描绘电场的重要工具，若学习者能够合理用好电场线的性质，对定性学习和理解分析静电场能起到事半功倍的效果。下面介绍电场线的主要性质及其在静电场分析中的具体应用。

1 静电场中电场线的基本性质

1.1 “三不”性质与起始位置（方向）

（1）“三不”性质：不存在、不相交、不闭合。

电场线并不是真正存在，而是为了直观描述而人为假想的一簇曲线。它有明确的起点（或终点）且不闭合，相互之间也不相交。

（2）起止位置（方向）的确定：电场线始终都是以正电荷为起点，到负电荷结束。

说明：①在绝大多数教材中，除上述描述外，还包含了从正电荷出发，到无穷远结束以及从无穷远处出发，到负电荷结束两种情况。根据物理学家陈难先院士在《静电屏蔽的内外对称性》中关于起点与放置电荷的阐述，电场线的方向可以统一为从正电荷出发，到负电荷结束。②关于电场线起止位置可以形象理解为电场线必有起点和终点（不可能凭空产生，也不能凭空消失），这在静电场相关分析中十分关键。

1.2 电场线与电场强度的关系

与电场强度大小的关系：电场线越密的地方，电场强度越大；电场线越梳，电场强度越小。

与电场强度方向的关系：电场强度的方向与电场线上某点的切线方向一致。

1.3 学习中容易混淆的几个问题

易错点1：电场线与磁力线都是假想曲线，两者性质容易混淆。

分析：由于静电场是有源的（即：静电场必须是由电荷产生的），所以电场线只能是有头有尾的曲线，而磁力线是闭合且无头无尾的曲线。

易错点2：在单根电场线上，电势大小与场强大小容易混淆。

分析：对于单根电场线，沿着电场线所指的方向，电势逐渐变小，但场强的大小是无法判断的（电场的强弱只与电场线的疏密程度有关）。

易错点3：电场线方向和电场强度方向两者之间容易混淆。

分析：对初学者而言，关于电场线与电场强度两者的方向判断是经常容易混淆的。电场线方向和电场强度方向是两个不同的基本概念，只有在匀强电场中，电场线与电场强度方向才重合。

根据以上描述，我们可以将静电场中常见的几种电场线描绘如图1所示。

图1 常见电场的电场线模型示意图

2 电场线模型在高斯定理证明中的应用

2.1 静电场高斯定理的重要意义

库仑用扭秤实验总结出了两个静止点电荷之间相互作用力的规律，成为了电磁学定量分析的里程碑。卡文迪许-麦克斯韦根据通过实验精确验证了电力平方反比率的正确性（即库仑定律的准确性），高斯定理是直接从库仑定律理论推导而来。

静电场的高斯定理表明了闭合曲面内电荷分布与其所产生的电场之间的关系（即静电场对任意闭合曲面的电通量仅仅与其内部电荷的总量有关），这直接揭示了静电场与其场源之间的关系：静电场是有源场，电荷就是它的源头。

2.2 静电场中高斯定理的证明

仿照流体力学中通量的基本概念，借助于静电场的电场线模型，我们类比引入电通量（电场强度通量），可以理解为通过某曲面电场强度的总量，它与穿过该曲面电场线数量的总和成正比，定义穿出曲面的方向为正，穿入曲面的方向为负。

高斯定理表明：在静电场中，通过任意闭合曲面的电通量与该曲面外的电荷无关，且电通量的大小为该闭合曲面内净电荷量的倍，数学表达式如下：

上式中，q为闭合曲面内电荷的总量，则其可能包含以下4种情况：①q为零；②q为单个点电荷且在闭合曲面中心；③q为单个点电荷但不在闭合曲面中心；④q为多个点电荷且不在闭合曲面中心，分布情况示意图如下（以q为正电荷为例）：

下面证明高斯定理在上述各种情况下均成立。

首先，利用电场线模型明确一个问题，即闭合曲面外电场对闭合曲面电通量的影响。

根据电场线的性质，可知穿入闭合曲面与穿出闭合曲面的电场线数量是完全相等的，所以总的电通量应为零：即闭合曲面外的电场对闭合曲面的电通量不影响。

下面分四种情况进行讨论：

(a)当q =0，即闭合曲面内无电荷时，则高斯定理表达式如下：

此时明显成立。

(b)当单个点电荷q在曲面中心(如图2(a)所示)时，根据库仑定律有：

(c)当单个点电荷q不在曲面中心时(如图2(b)所示)，根据电场线模型可知，不论曲面的形状和电荷所在的位置如何变化，穿过曲面的电场线始终是不变的，故电通量与情况(b)相同，仍为。

(d)当多个点电荷在曲面内（如图2(c)所示）时，根据电场的叠加原理有：

图2 高斯曲面内电荷的不同分布情况示意图

综合以上讨论，高斯定理的表达式在上述各类情况中均成立。

3 静电平衡状态的形成过程分析及理解

静电平衡是电磁学中非常重要的一个基本现象，具有十分广泛的应用，正确理解静电平衡的形成过程与平衡状态时的基本特点对合理利用该规律具有十分重要的意义。

3.1 静电感应

金属导体中有大量的自由电子，当自由电子处在外电场中，导体内的自由电子将产生定向移动（如图3(a)所示），使导体表面出现感应电流，这种现象叫做静电感应。

图3 导体达到静电平衡状态过程示意图

3.2 静电平衡状态

由于静电感应，感应电荷会产生与外电场方向相反的附加电场，如图3(b)所示。导体两侧出现等量异种电荷时，当感应电场与外电场相互叠加，合场强为零（E外=E’）时，自由电子停止定向移动，导体达到静电平衡状态，如图3(c)所示。

3.3 静电平衡状态下导体中电荷的分布特点

分析静电平衡状态示意图（如图3(c)所示），我们容易得到以下结论：①导体内部各点的场强为零；②净电荷只分布在导体表面，且导体表面向外突出的地方电荷密度大，向里凹进的地方电荷密度小；③导体是个等势体，其表面是等势面。

4 电场线模型在静电屏蔽原理分析中的应用

静电屏蔽是《大学物理》和《电磁场与电磁波》等电子信息类专业的必讲知识点，也是难以正确理解其原理本质的内容，下面我们利用上述相关内容对静电屏蔽的本质进行分析。

4.1 静电屏蔽的定义及其理解

陈难先在静电屏蔽的内外对称性一文中明确提出：导体的屏蔽作用意味着，在金属壳不遭到破坏的条件下，金属壳内电荷的重新分布不会影响到金属壳外的电场，金属壳外的电荷重新分布不影响金属壳内的电荷分布。

根据上面的描述，我们可以将静电屏蔽形象地理解为以下两类情况：①封闭导体壳内的电荷不在壳外空间产生电场；②封闭导体壳外的电荷不在壳内空间产生电场。下面分别两种情况进行讨论。

说明：前面已经明确阐述电场是有源的，所以我们试图从电场线的起点开始，探索出电场线的终点，以分析出下列各类情况电场的分布。

4.2 封闭导体壳内电荷在空间的电场分布情况

假设壳内有正电荷q存在，下面分析壳内与壳外电场的分布情况。

对于壳内电场：此时壳内电场的电场线起于正电荷，而电场线不能穿过处于静电平状态的导体（假设能穿过，则壳内部分的电场线从内壁开始，又到内壁结束，这显然与导体是等势体矛盾），所以壳内电场只能止于壳内壁。故内部电场线如图4(a)所示。

图4 壳内电荷产生电场分布示意图

对于壳外电场：从上面的分析可知，由于壳内电荷 的作用，导体壳内壁集聚了电量为的负电荷，则壳外壁必然集聚电量为的正电荷，所以壳外的电场线从壳外壁出发，指向无穷远处，如图4(a)所示（对于壳外电场的分析，也可以利用静电场的高斯定理得出同样结论）。为使此种情况达到静电屏蔽（即壳外电场为零）的效果，我们可以将导体壳通过金属导体与大地相连。接地后，导体壳的内外电场分布如图4(b)所示，其理论解释简要说明如下。

说明：当导体壳接地后，导体壳就与“无穷远”连成一体（“无穷远”既可以看成是壳内的边界，也可以认为是壳外的边界），故此时不存在图4(a)中壳外壁（亦为“无穷远”）指向无穷远处的电场线（也可理解为壳外壁的电荷全部沿接地线流入大地），即外部电场为零，满足静电屏蔽要求。

4.3 封闭导体壳外电荷在空间电场分布情况

假设壳外有正电荷q存在，下面分析壳内电场在导体壳接地与不接地时的分布情况。

根据4.2节中关于导体壳接地后的理论分析，易知当导体壳接地时，其电场线模型如图5(a)所示，壳内空间的电场为零，满足静电屏蔽要求。

图5 壳外电荷产生电场分布示意图

当导体壳不接地时，由于电场线不能穿过处于静电平状态的导体，故此时外部空间电场的电场线只能起源于正电荷，止于无穷远处，此时电场线模型如图5(b)所示，壳内空间电场为零，满足静电屏蔽要求。

综合上述各类情况分析，我们可以得出结论：

封闭金属导体壳内部空间的电场只与其内部电荷有关；接地的封闭金属导体壳，其内外空间的电场相互都不受影响。

静电屏蔽在电工电子和工业生产中都有着非常广泛的应用，通过上述利用电场线的形象解释，为我们轻松理解如运油车拖地铁链、飞机机载设备搭铁线、高压屏蔽衣、电子设备金属外壳等各种静电屏蔽实例的本质原因打开了新的大门。

通过对静电场中电场线基本性质的归纳总结，给出了高斯定理证明、静电平衡过程与特点、静电屏蔽原理分析的新思路，形象清晰地认识了静电场相关理论的本质原理，同时也大幅度地扩展了学习者的物理思维能力，为电磁场理论的学习和常见问题的分析起到了事半功倍的效果。