基于自校正自抗扰控制的多电机协同系统*

汪昕杨，刘亚超，钟永彬，高 健

(广东工业大学机电工程学院，广州 510006)

0 引言

多电机协同控制系统在机器人、高精度加工平台等现代化工业领域中具有极高的研究价值，在实际应用中协同控制性能的好坏将直接影响其加工产品的优良程度[1]。由于直线电机的控制滞后性与模型不确定性，与电机之间存在耦合等因素，增大了多电机协同系统的控制难度[2-3]。目前90%的协同控制策略仍采用传统PID，其在复杂的工作环境下控制的多轴协同系统精度低、稳定性差，适应能力差。当某一轴电机受到干扰时，其他轴电机不能及时进行调整，将导致控制系统产生滞后性，影响系统协同允许[4]。

目前国内外学者已对多电机协同控制进行了多方面研究，文献[5]采用神经网络控制算法来实现电机协同控制，该方法不依赖于被控对象模型，具有学习能力，但计算过程较复杂，过于依赖硬件性能。文献[6]采用基于人群搜索算法的PID控制算法，提高了多电机协同系统的收敛精度和速度，但该算法较为复杂，难以广泛应用。文献[7]采用协同速度控制器(SSC)来实现多电机协同控制，相比传统的PID控制和滑模控制，具有更好的同步性和鲁棒性，但其参数较多难以整定，增大了应用难度。文献[8]提出了一种基于自适应虚拟补偿的多电机协同控制系统，通过一个虚拟闭环补偿多电机之间的转速误差，大幅提高了系统的跟踪能力，但其设计理念较先进，仍需一定实验进行验证。

高本锋等提出了结合现代控制理论的优点、并继承传统PID原理的自抗扰控制技术(active disturbance rejection control, ADRC)[9-10]。自抗扰控制技术通过放大观测器对系统总扰动进行估计并实时补偿，能够轻松实现非线性、变量耦合、时变系统、多变量系统的统一控制，具有控制超调小、响应速度快、精度高、抗干扰能力强等特点，能够解决协同控制中存在的抗干扰能力、跟踪精度低的问题。

综合考虑上述控制算法的不足，本文提出了自基准超前校正自抗扰控制策略(自校正自抗扰控制)。该方法在充分发挥超前校正环节和微分作用最大性能的前提下，克服了微分对噪声放大的缺点，同时提升了协同系统的控制性能，解决协同系统在实际应用中存在的精度低、跟踪速度慢及同步性差等问题，有利于扩大多电机协同系统在人工智能、自动化领域中的应用范围。

1 多电机协同控制系统搭建

1.1 电机模型

本节建立了永磁直线同步电机的简化数学模型[11-12]， 在d、q轴坐标下的电压平衡方程：

(1)

d、q磁链方程为:

(2)

其中，ud、uq为永磁直线同步电机动子在d轴和q轴下的电压；R为初级绕组的等效电阻；id、iq分别为d、q轴下的电流；Ld、Lq分别为d轴和q轴下的电感；τ为永磁体极距；v为电机的动子速度；ψd、ψq为d、q轴的磁链；ψf为永磁体磁链。

永磁直线同步电机机械运动方程为：

(3)

其中，FL为负载阻力；Fe为直线电机推力；D为摩擦系数；M为动子质量。

图1 永磁直线电机的动力学建模

1.2 偏差耦合协同控制结构

偏差耦合协同控制方式通过速度补偿器，将电机与其他电机之间的同步误差按一定比例对系统进行补偿，使系统获得良好的同步性能[13]。图2为传统速度补偿器的结构图。

图2 传统速度补偿器结构图

图中K12、K13、K14为速度耦合补偿增益，其作用类似于比例控制，其计算公式为：

(4)

式中，Ja为控制电机的转动惯量；Jb为与控制电机速度相差的电机转动惯量，w1、w2、w3、w4为各轴电机的输出转速，wc为速度补偿器输出的补偿量。

在实际的应用中，多电机协同系统是一个非线性、时变复杂系统，难以获得其精确模型，而且很容易受到环境噪声的干扰。因此，基于PID控制器的协同系统在受到干扰后，其他轴的电机无法及时进行调整，使系统存在一定的滞后性，破坏协同系统的同步性。ADRC将内部外部的不确定性一起作为总扰动进行补偿，快速对系统的反馈量进行响应，实现控制系统的精确控制。为提高控制系统的控制精度、稳定性等性能，本文对传统ADRC进行改进，设计了自校正自抗扰控制器，解决了实际应用中存在的响应速度慢和稳定性差的问题。

2 自校正自抗扰控制器

2.1 自抗扰控制器

自抗扰控制技术不依赖于模型，能处理各种内外不确定性，具有很强的鲁棒性[14-16]。但在实际操作中，由于参数较多，参数整定问题成为了该控制器使用的难题。因此，高志强提出线性自抗扰控制器(LADRC)[17]，具有鲁棒性强、易实现等特点，使自抗扰技术克服了参数整定难题。LADRC由线性扩张状态观测器(linear extended state observer, LESO)和线性状态误差反馈控制律(linear state error feedback, LSEF)构成。其具体结构如图3所示。

图3 线性自抗扰控制器结构图

图中，v为输出误差，u为控制量，w为外在干扰，y为输出，z1、z2、z3为估计量。

2.1.1 线性扩张状态观测器(LESO)

设二阶被控系统矩阵形式为：

(5)

其中，X表示状态矢量，A、B、C、E这4个矩阵分别为：

(6)

则对应的三阶线性扩张状态观测器为:

(7)

其矩阵形式为：

(8)

式中，L=[β1β2β3]T表示观测器误差反馈增益向量，Z表示状态矢量，y0为系统输出的估计值,y为系统输出。

2.1.2 线性状态误差反馈控制律(LSEF)

对于二阶系统，可将 LSEF的结构简化为PD形式，则LSEF的形式如下：

u0=Kp(v-z1)-Kdz2

(9)

其中，v为给定值，z1,z2为LESO的估计值，Kp,Kd分别为比例P与微分D的增益。

闭环传递函数是一个无零点的二阶传递函数系统：

(10)

2.2 自校正自抗扰控制器设计

2.2.1 自校正速度补偿器

由三频段理论可知，超前校正环节能改善系统的动态性能，但同时会提升系统的高频增益，导致噪声放大，降低系统的抗干扰能力。因此，本节对超前校正环节进行改进，设计了自校正速度补偿器。其原理是系统处于低频段时，适当增大自校正参数β的值，使其提高系统相角裕度，增大系统带宽，改善动态性能；处于高频段时，减小β值，降低系统的高频增益，抑制噪声干扰。因此，自校正环节既保留了超前校正改善动态性能的优点，又能克服超前校正放大噪声的缺点。

图4为自校正速度补偿器的结构图。

图4 自校正速度补偿器结构图

图中，w1、w2、w3、w4为各轴电机的输出转速，n为其他轴电机的数量，Kc、Fg为校正装置的增益和传递函数，ua为自校正速度补偿器输出的补偿量。

假设超前校正环节的传递函数为：

(11)

根据对系统性能的要求，求其相位裕量γ1。由原本的相位裕量γ，计算超前校正装置产生的相位超前量φ，即:

φ=φm=γ-γ1+ε

(12)

式中的ε用于补偿因超前校正环节的引入而增加的相角滞后量。

根据确定的φm，按照式(12)计算校正环节的参数，即:

(13)

此时，根据各电机的转速差ωd的绝对值来判断此时系统处于的频段，在不同的频段时，选取不同的β值。即:

(14)

式中，wo为超前校正衰减差额，根据系统的额定输出来定；a值一般取1>a1>a>a2>0。

本节所设计的自校正环节的传递函数为：

(15)

2.2.2 改进型自抗扰控制技术

由于微分项对噪声干扰过于灵敏，当某一台电机受到干扰影响后，会严重影响整个协同控制系统的稳定性。为了降低高频干扰对系统稳定性的影响，本节对于线性状态误差反馈控制律进行改进，提出了fn函数。改进型自抗扰控制技术能够根据系统的期望输入来设置微分作用的阈值，对微分作用进行合理规划，使微分项在系统趋于稳定时作用逐渐减弱，实现微分作用在控制系统中最大性能，同时保证了系统在高频噪声下也能稳定运行。

改进后的控制律表达式如下：

u0=Kp(v-z1)+Kdfn(z2,A,B)

(16)

fn函数为设计的非线性函数,表达式为：

(17)

其中，x1、x2为根据系统期望输出选取的阈值，x2取值一般大于1。A、B为微分作用的放大倍数，一般取B>1>A。

将自校正速度补偿器与改进型自抗扰控制器结合起来，完成了自校正自抗扰控制器的设计。

3 稳定性证明

根据LESO的估计能力[18-20]，分析自校正自抗扰控制的多电机协同控制系统在高频段的稳定性。

被控对象(5)和控制律(9)组成的闭环控制系统为：

(18)

(19)

则上式可写为：

(20)

式的解为：

(21)

4 仿真结果与分析

在Simulink平台上进行仿真实验，搭建四轴电机协同控制模型。其中，四轴电机给定输入均为50 rad/s的转速，每一轴均采用相同参数的永磁直线同步电机，仿真参数如表1所示。

表1 永磁直线同步电机仿真参数

根据系统的传递函数，计算出超前校正的衰减因子a，根据a选取自校正参数β值以及放大倍数A、B。3 s时加入10 rad/s的转速变化，协同控制系统转速变化曲线如图5所示。

图5 协同控制系统转速变化曲线

加入噪声干扰后，协同控制系统转速变化曲线及其放大图如图6和图7所示,协同控制系统转速误差曲线放大图如图8所示。

图6 噪声干扰下协同系统转速变化曲线

图7 噪声干扰下协同系统转速变化曲线放大图

图8 噪声干扰下协同系统转速误差曲线放大图

由图5可以看出，加入干扰时，ADRC相比于PID调节速度大幅度提升，提高了系统的稳定性。超前校正ADRC相比于ADRC的输出响应速度提升了，但调节过程中输出曲线存在较大的振荡。相比于ADRC，自校正ADRC提升了调节速度，使系统及时响应并趋于稳定；相比于超前校正ADRC，自校正ADRC响应调节的过程更为平滑，稳态性能较好。由图6～图8可以看出，在加入噪声干扰时，几种方式的抗干扰能力对比为：自校正ADRC>ADRC>超前校正ADRC>PID。为了衡量4种控制策略的性能指标，本文给出了基于4种控制策略系统的绝对误差积分值(IAE)和时间乘绝对误差值(ITAE)对比，如表2所示。

表2 基于4种控制策略的性能指标

由表2可知，相比于PID、ADRC和超前校正ADRC控制策略，本文所提出的方法在相同情况下的绝对误差积分值和时间乘绝对误差值更小，即得到的控制量作用于系统后更加接近于跟踪值，系统的跟踪性能更好，保证了系统良好的稳定性，解决了系统滞后性问题。

5 结束语

本文针对多电机协同控制的响应速度慢、抗干扰能力弱的问题,结合自校正速度补偿器和改进型自抗扰控制器提出了基于自校正自抗扰算法的多电机协同控制策略。电机以改进型自抗扰控制器启动，引入自校正速度补偿器，在系统中加入干扰，与传统PID控制、传统ADRC、超前校正ADRC进行了仿真对比，结果表明自校正ADRC能快速响应，并使调节曲线趋于平滑，减少振荡，提高了整个电机协同控制系统的稳定性。同时，在噪声干扰下，自校正ADRC能有效减小系统的输出波动，具有很强的鲁棒性，使系统更快稳定。仿真结果表明了所设计的协同控制策略独特的优越性，值得进一步在工程上应用实现。