滞后型测度泛函微分方程的Φ-有界变差解*

李宝麟，丁利波

(西北师范大学数学与统计学院，甘肃 兰州 730070)

1 问题的提出

为了求解微分方程，1957年Kurzweil首次提出了广义常微分方程理论[1].由英国数学家Kurzweil和捷克数学家Henstock定义的Henstock-Kurzweil积分(简称为H-K积分)包括Newton积分、Riemann积分和Lebesgue积分，H-K积分是处理高度无限振荡函数的有效工具.Φ-有界变差函数理论[2-3]是有界变差函数理论的发展与推广，学者对Φ-有界变差函数理论进行了比较广泛的讨论.例如，李宝麟等首次将Φ-有界变差函数理论与Kurzweil方程理论结合起来，建立了Kurzweil方程的Φ-有界变差解的存在性定理[4]，然后建立了一类脉冲微分系统Φ-有界变差解的局部存在性定理[5]；肖艳萍等[6]建立了一类不连续系统的Φ-有界变差解.滞后型测度泛函微分方程是泛函微分方程理论的一个分支，Federson等[7]建立了滞后型测度泛函微分方程

Dy=f(yt,t)Dg,

(1)

其等价的积分方程为

(2)

并建立了在一定条件下方程(2)与广义常微分方程的等价关系.(1)式中Dy，Dg分别表示函数y和g的分布导数；(2)式右端积分是关于不减函数g的Kurzweil-Stieltjes积分.

笔者将讨论滞后型测度泛函微分方程初值问题

(3)

2 预备知识

定义1[8]2-3称函数U:[a,b]×[a,b]→Rn在[a,b]上是Kurzweil可积的，如果存在I∈Rn及正值函数δ:[a,b]→R+，使得对于[a,b]上的任何δ-精细分划

D={(τi,[αi-1,αi]),i=1,2,…,k},

其中τi∈[αi-1,αi]⊂(τi-δ(τi),τi+δ(τi)), 有

设Φ(u)是对于∀u≥0定义的连续不减函数，且满足Φ(0)=0.对于∀u>0，Φ(u)>0，假定Φ(u)满足下列条件:

(C1)存在u0,L>0，使得对于∀0

定义2[2]设[a,b]⊂R,-∞

称VΦ(x;[a,b])为函数x(t)在[a,b]上的Φ-变差.

引理1[2]若Φ(u)满足条件(C1)和(C2)，则BVΦ([a,b],Rn)点列按Φ-范数收敛等价于Φ-变差收敛.

假定f，g满足以下条件：

(H1)存在正值函数δ(τ):[t0,+∞)→R+，使得对于∀τ∈[u,v]⊂(τ-δ(τ),τ+δ(τ))⊂[t0,+∞)及y∈T，有

‖f(yτ,τ)(g(v)-g(u))‖≤Φ(|h(v)-h(u)|).

(4)

(H2)对于∀τ∈[u,v]⊂(τ-δ(τ),τ+δ(τ))⊂[t0,+∞)及x,y∈T,有

‖f(xτ,τ)-f(yτ,τ)‖(g(v)-g(u))≤ω(‖xτ-yτ‖)Φ(|h(v)-h(u)|).

(5)

其中：h:[t0,+∞)→R，是不减函数；ω:[0,+∞)→R，是连续的增函数，且ω(r)>0,r>0,ω(0)=0.

3 Φ-有界变差解

定义3设t∈[t0,+∞)，称y(t,t0,φ)为滞后型测度泛函微分方程初值问题(3)的Φ-有界变差解，如果：

(2)yt0=φ；

(3)y在[t0,+∞)的任何紧子区间上是Φ-有界变差函数；

(4)当t∈[t0,+∞)时，(yt,t)∈Ω.

VΦ(y;[α,β])≤Φ(VΦ(h;[α,β]))<+∞.

因为ε是任意的，所以

(6)

设α=s0

(7)

由(7)式，有

(8)

在(8)式右端对[α,β]上的所有分划取上确界，有

证毕.

定理2设f,g满足条件(H1)和(H2)，则有：

(ⅰ)y:[α,β]→Rn,[α,β]⊂[t0-r,+∞)是函数yk:[α,β]→Rn组成的序列{yk}k∈N逐点收敛的极限，使得对于每个k∈N,s∈[α,β]，有(ys,s)∈Ω,((yk)s,s)∈Ω.

(9)

证明假设f是实函数，由(5)式，对于每个τ∈[α,β]⊂[t0-r,+∞)，s1≤τ≤s2,[s1,s2]⊂[α,β]，有

‖f((yk)τ,τ)-f(yτ,τ)‖(g(s2)-h(s1))≤ω(‖(yk)τ-yτ‖)Φ(h(s2)-h(s1)).

(10)

不等式(10)有如下形式：

其中f((yk)τi,Li)=f((yk)τi,si)-f((yk)τi,si-1).由ε的任意性，有

4 滞后型测度泛函微分方程Φ-有界变差解的存在性

从而

对于∀ε>0,存在正值函数δ(τ),使得[s1,s2]上的任何δ-精细分划D={(τi,[αi-1,αi]),i=1,2,…,m},满足τi-δ(τi)<αi-1≤τi≤αi<τi+δ(τi))，于是

(11)

由(5)和(11)式，有

由ε>0的任意性，可得

其中s1,s2∈[t0-Δ-,t0-Δ+].所以，对于[t0-Δ-,t0-Δ+]上的任何分划t0-Δ-=β0<β1<…<βn=t0+Δ+,有

(12)

(13)

由(13)式，有

于是