高中生数学关键能力：价值、特质与操作性定义

朱立明

2017年9月，中共中央办公厅、国务院办公厅印发的《关于深化教育体制机制改革的意见》强调要培养学生的关键能力。21世纪的教育既要考虑学科核心知识，更要关注学科思想及其思维方式，旨在使学生形成像学科专家一样思考问题时所具备的能力。关键能力的培养需要渗透在各个学科之中，借助学科关键能力产生的“合力”效应，促进学生关键能力的养成。数学关键能力是综合考虑数学学科本质，从学科视角对接学生关键能力中的认识能力、合作能力以及创新能力。数学关键能力终将从顶层理念走向实践场域，与之相关的课程、教学、测评等问题成为当前争论的焦点。因此，数学关键能力的价值是什么？数学关键能力具有哪些特质？数学关键能力的操作性定义是什么？这些都是亟待解决的问题。

一、高中生数学关键能力的价值

（一）数学关键能力是数学教育在新时代的基本诉求

数学关键能力的提出，彰显了数学教育目标的转变，强调了“以人为本”教育理念下的能力取向。数学关键能力是在深化数学教育改革背景下“孕育而生”的，旨在帮助学生适应新时代的发展与国际竞争。一方面，随着“互联网+教育”、信息技术、人工智能的兴起与发展，“知识大爆炸”的时代已经来临，原来以传授数学基础知识与基本技能为主的教育已经不能适应新时代的要求，因为无论学生怎么学，知识是学不完的，而且人类的学习速度远远跟不上知识的更新速度，有的时候甚至知识还没有学完就已经过时，技能还没有掌握就已经淘汰[1]。另一方面，世界各国都开始寻求数学教育改革的出路，试图找到引领数学教育教学的理论框架与实践路径，从国际数学教育发展趋势与经验来看，各国均把数学关键能力作为数学教育改革的育人理念，极力开展数学关键能力取向的教育教学，数学关键能力已经成为信息时代数学教育的基本诉求。

（二）数学关键能力培养是数学课程深度学习的重要任务

数学课程深度学习是以数学关键能力为任务驱动，涉及数学课程与学生认知的逻辑顺序，强调课程目标与教学主题的联结关系，注重学习内容与教学反思的相互融合，旨在促进学生数学高阶思维能力的提升。深度学习强调学生从学科本质上理解所学内容、所习技能，强化解决问题能力，这种高质量的学习型导向教学可以在一定程度上改变学习者的学习习惯，从学会学习到爱上学习。数学课程深度教学在提升学生数学关键能力时，通过整体探析与理解学科本质，凝练教学目标与主题，借助精心设计的问题，引发学生认知冲突，注重学生在学习过程中的动机生成、情感激发、问题解决、知识建构、方法迁移和思维提升。因此，数学关键能力的培养并非在于考查学生能否解决某一个具体问题，而是在面临问题时，学生知道该做什么，如何去做，做到什么程度，从数学学科视角或学科融合视角去分析问题，寻求学生思考与问题解决策略的一致性。

（三）数学关键能力是数学学科核心素养的必备成分

2018年1月，教育部颁布《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称“新课标”），此次课程标准的修订融合了中国数学教育经验与世界数学教育趋势，加强了数学的逻辑体系、内容主线、知识之间的联系，重视数学能力与数学文化[2]。其中形成了数学学科核心素养的概念及其水平要求，明确指出数学学科核心素养是具有数学基本特征的数学思维、关键能力及情感、态度与价值观的综合体现。[3]4从数学学科核心素养的定义来看，数学关键能力是数学学科核心素养的必备成分，不可或缺，数学关键能力确保数学学科核心素养在内涵上实现了知识与能力的统一，如果将数学学科核心素养划分为内隐与外显两部分内容，数学思维品质、情感、态度与价值观属于内隐部分，而数学关键能力具有外显行为，可以用学生的行为来描述。数学关键能力是数学课程目标的新宗旨，是数学课程教学的新内容，是数学课程标准落实的新指标。

二、高中生数学关键能力的特质

数学关键能力是最中心、最基本、最重要的数学能力，其中蕴含三个信息：数学关键能力的本质、地位与取向，如图1所示，借助“循名责实”的思想[4]，可以从“数学”“关键”“能力”三个方面阐释数学关键能力的特质。

图1.数学关键能力的特质分析框架

（一）数学：数学关键能力蕴含数学学科本质

数学学科本质是数学学科区别于其他学科的根本属性，具体表现在数学基本问题、数学基本思想、数学学科价值三个方面。在数学基本问题上，总得来讲学生对数学问题或现实问题的解决能力，就是数学关键能力，表现为用数学的眼光发现问题、用数学的思想分析问题、用数学的语言表达问题，只是在问题解决过程中需要借助具体的数学知识与技能。在数学基本思想上，史宁中教授将数学基本思想划分为抽象、推理与模型，可以看出，数学基本思想也指向数学关键能力，特别是由知识转化而来的数学抽象、逻辑推理、数学建模等能力。在数学学科价值上，数学具有抽象性、严谨性与应用性三大特征，因此，它既是训练学生思维的学科，也是培养学生关键能力的学科。在四大关键能力中，有三个能力与数学直接相关，例如，可以借助数学问题解决、数学论证、数学符号意识等培养学生的认知能力；借助数学建模培养学生的创新能力、实践能力与合作能力。

（二）关键：数学关键能力具有领域核心地位

数学关键能力的领域核心地位体现在三个层面：首先，从范围层面来看，“关键”是针对某个领域或者体系而言的，以孤立形态的对象不存在关键与否，这体现了关键的基础性，数学关键能力是其他数学能力发展的基础，先于其他数学能力发生。其次，从时间层面来看，“关键”对事物或事情存在的不间断地支持，并且支持作用不会消失，这体现了关键的持续性，数学关键能力是其他数学能力的本源，指向学生的数学终身学习，为学生数学或其他学科的学习提供支撑，是学生发展的持续性动力。最后，从功能层面来看，“关键”是不可或缺的，是一个领域或体系存在的前提，这体现了数学关键能力的必要性，数学关键能力是其他数学能力的内核，一方面，这些数学能力本身是必要的，从量的角度来看，必备表现为“少一则缺，多一则余”，从质的角度来看，必备表现为精华，某一数学关键能力的缺失会给学生数学发展带来致命伤害。另一方面，数学关键能力的形成具有必要的节点，在固定的时期着重培养学生固定的数学关键能力。抓住节点，培养数学关键能力事半功倍；错过节点，培养数学关键能力事倍功半。[4]

（三）能力：数学关键能力追求能力价值取向

数学关键能力是通过数学基本活动经验，在学生内心沉淀而成的，能够处理学习、生活、工作中的问题的能力，即教育过后，所剩之物。与人的某些先天素质相比，数学关键能力是可以通过后天的教育培养获得的。因此，从属性上看，数学关键能力是属于个性的范畴，具有个体差异性，不同学生之间数学关键能力有高低之分，这与学生的基本素质、教育环境、家庭背景有关；从作用上看，数学关键能力表现为学生在数学问题解决或数学任务完成过程中的具体反映，有高低之分，这也受到数学问题或任务层次的影响，具体包括问题情境是否能够反映问题本质、知识与问题之间能否建立关联、问题解决策略是否具有多样性特征等方面；从目的上看，数学关键能力旨在纵向联结数学核心内容与数学学科思想，横向凝聚一般数学学科能力，表现为在“数学化”的活动中，通过对数学核心知识的探索与创造，对数学思想方法的应用与内化，对数学活动经验的体验与积累，从而形成的以解决问题为指向的心理特征。总之，数学关键能力是以数学知识为载体，数学思想为灵魂，数学方法为手段的动态发展能力系统。

三、高中生数学关键能力的定义

1923年，布里奇曼（P.W.Bridgman）指出，概念的定义不能全部依赖于属性的描述，更重要的是给予其一套可行的、科学的操作[5]。1971年，布里奇曼操作性定义被美国《科学》杂志视为世界五大哲学成就之一[6]。操作性定义理论强调概念的可观察、可测量、可操作的特征，实现了从属性化到操作化的转变，可以通过条件描述、指标描述、行为描述来界定变量。因此，界定高中生数学关键能力的操作性定义是对其实施精准测评的基本前提。

（一）数学关键能力定义的研究基础

关于数学能力内涵、构成要素或结构属性的研究较多，在内涵上集中在心理特征、能力表现与数学经验三个方面，例如鲍建生认为数学能力是一种心理特征，可以指导数学活动的完成并影响其效率[7]，温特（Winter）认为数学能力是通过各种情境而获得理解、判断与使用数学的经验[8]。

在构成要素或属性上，从数学课程标准层面来看，我国数学课程标准中强调了计算能力、逻辑推理能力与空间想象能力[9]。德国以PISA测评框架为基础，构建了六大数学能力，其中包含数学论证、问题解决、数学建模、数学表征、数学符号、公式以及技巧运用、数学交流[10]。《美国共同核心州数学标准》（Common Core State Standards for Mathematics）指出了八大数学能力，即问题解决能力、推理能力、论证与互相评价、数学建模、使用合适的工具、精确化、数学结构获取与运用以及探求规律[11]。澳大利亚与其他国家不同，首先共同提出七大能力，然后再从数学学科对其进行阐释[12]。从个人研究层面来看，克鲁切茨基（Kruteskil）的数学能力构成对学者们的影响较大，尼斯（Niss）提出“数学能力之花”模型[13]，喻平将数学能力分为三类，其中蕴含11种数学能力[14]，这与塞克瑞等在数学能力方面加入数学元认知、数学记忆等成分是一致的。此外，也有其他学者基于课堂教学对数学能力进行概括[15]。无论是国家层面，还是个人层面，对数学关键能力构成要素的界定上均包含数学推理、数学交流、问题解决等关键词，强调数学关键能力的内隐性、外显性、生成性以及经验性。

（二）高中生数学关键能力及其相关概念的关系

界定高中生数学关键能力的定义，还要明确数学关键能力与数学高阶能力、数学学科核心素养、数学知识、数学技能等相关概念之间的关系。它们之间既有区别又有联系，数学关键能力与数学高阶能力强调心理层面，是学生的个性心理特征，但是两者之间又有区别；数学学科核心素养强调素养层面，是学生的个体的综合体现，具有融合性；数学知识强调内容层面，是学生的数学学习载体，具有实在性；数学技能强调操作层面，是学生的个体操作技术，具有技巧性。

首先，与数学关键能力关系最密切的是数学高阶能力，两者同属能力范畴，是数学能力的下位概念，具有数学能力的基本属性与特征，但两者侧重点又各不相同。与数学高阶能力相对的是数学低阶能力，这在很大程度上相当于布卢姆分类学中的前三个层次：知识、理解和应用，数学高阶能力一般包括布卢姆分类学的后三个层次：分析、综合和评价[16]；其次，按照“新课标”关于数学学科核心素养水平的划分，数学关键能力与数学学科核心素养之间具有包含与继承的关系；再次，数学关键能力与数学知识之间不再是完全对立的关系，当数学教育回归能力取向的教育理念中时，也不是完全摒弃对数学知识的传授，没有数学知识的数学能力如“无源之水”，缺失数学能力的数学知识似“无的之矢”，数学知识是数学关键能力的实在抓手，数学关键能力是数学知识所蕴含的培养目标；最后，数学技能在一定程度上可以展现数学关键能力的技巧性，两者的主要区别在于数学技能更多指向学生的记忆水平，是对学生的群体要求，以获取正确的数学结果为出发点，而数学关键能力更关注学生个体在解决问题中的表现。

（三）高中生数学关键能力操作性定义的结构

厘清数学关键能力的维度划分，是给出数学关键能力操作性定义的前提条件。“新课标”指出要培养学生会用数学的眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界（简称“三会”）[3]2。“三会”既在一定程度上诠释了数学学科核心素养，也体现了学生从数学的视角提出问题、分析问题、解决问题的能力。基于以上研究基础，构建高中生数学关键能力操作性定义的基本结构，如图2所示，以数学观察、数学思考、数学表达作为一级维度。其中数学观察维度包括数学抽象能力、直观想象与化归能力；数学思考维度包括数学猜想与论证能力、数学运算能力；数学表达维度包括数据分析与预测能力、数学建模能力。

1.数学抽象能力

数学是以抽象的形式反映客观世界，这种反映方式表现为抽象与现实、主观与客观的辩证统一，数学抽象本身体现着现实世界与数学世界的转化关系。数学抽象能力强调学生对于数学对象的内化与应用，焦点开始从数学抽象的本体转向人的能力。从数学学科发展来看，现代数学体系的构建依赖于数学家们的数学抽象能力。从学生发展来看，学生数学素养的生成同样依赖于学生的数学抽象能力，这是因为学生数学抽象能力有利于帮助学生排除概念的物理属性干扰，形成符号化、形式化的数学语言，所以，学生数学抽象能力的形成是数学家数学抽象能力发展的缩影。按照抽象程度的不同，学生数学抽象能力包含两个层面：第一个层面是从实物中抽象出“数”与“形”，并用数学符号予以表征，例如，从七桥问题到欧拉定理；第二个层面是从其他数量关系或运算中抽象出“数”与“形”，例如虚

数单位“i”，它并非从现实情境中获得，而是在运算过程中形成以后，才在现实世界找到其模型。无论哪个层面的数学抽象能力，都能够帮助学生脱离经验意义的存在，形成一般性数学概念、规律和结构。

图2 高中生数学关键能力操作性定义的基本结构

2.直观想象与化归能力

直观想象与化归是基于客观事物的空间形式（形状、大小、结构、位置关系）及其数学符号表征创造性想象的能力，是学生根据数学语言（文字、符号、图像）的阐述而联想到与之相似或相反的数学对象，进而对数学问题进行转化，形成直观模型。高中数学课程中包含两种形式的空间想象能力，一种是从平面到立体，一种是从静止到运动[17]，例如利用空间向量解决立体几何的问题，动点轨迹问题等。直观想象可以强化学生利用图形进行的数学思考与想象的意识，构建代数概念、公式、法则的几何意义及其图形表征，形成数学直觉，例如，利用图形解决最值问题、数列问题等。化归可以帮助学生在解决问题中完成对问题的重新审视，实现问题由繁到简、由难到易、由未知到已知、由陌生到熟悉的转化，进而解决问题。例如，在直角坐标系中，两点之间的距离与复数域中复数的模可以相互转化，因此，可以借助不同的数学语言去表达、解释、解决各种问题。

3.数学运算能力

数学运算能力在我国数学教育领域一直备受关注，从1978年2月颁布的《全日制十年制中学数学教学大纲（试行草案）》中首次提出数学运算，（在1963年5月颁布的《全日制中学数学教学大纲（草案）》中被称为计算能力）如今数学运算已经成为高中数学学科核心素养。所谓数学运算能力是指在理解运算对象的基础上，确定运算的方向，并根据法则、公式、定理，合理计算或估计运算结果的能力。在运算中，理解运算对象与运算规律是进行运算的基本条件，随着代数学的产生与发展，运算对象也逐渐从“数”扩充到“式”，包括对字母、函数以及各种抽象符号的运算，运算也成为处理从一个或多个量中得到一个量的变换方式[18]。因此，高中生数学运算能力关键在于通性通法的理解以及算理的把握。随着计算机技术的发展，学生数学运算能力不只是精确的运算，还包括估算，例如，在“函数与方程”中涉及“二分法”，这就是一种借助信息技术求解方程近似解的一种运算。

4.数学猜想与论证能力

数学猜想与论证能力涵盖了归纳与演绎，高中生数学推理能力主要包括两类，即合情推理与演绎推理。合情推理指向猜想，通过类比与归纳，发现数量或者图形的性质及其关系，由特殊案例猜想一般规律；而演绎推理指向论证，借助命题中条件与结论之间的联系，从数学事实出发，通过科学的推演，得出结论，进而验证猜想的真伪。因此，合情推理能力是基于“经验”的推理，演绎推理是基于“理念”的推理[19]。数学猜想与论证能力具有一定的构造性，是学生获得数学结论、构建命题结构体系的重要方式，命题结构体系包含具有内在联系的命题网络，这些命题按照等价关系与抽象关系进行建立，当学生形成命题结构体系时[20]，将有助于学生在复杂的情境“抽丝剥茧”，梳理知识之间的逻辑关系，洞察数量或图形之间的变化规律，进而提升学生的数学理性思维。

5.数学建模能力

数学建模能力集中体现为用数学眼光发现与提出问题、用数学语言分析与表达问题、用数学方法解决与交流问题。从F·克莱因呼吁重视数学的应用价值，到弗莱登塔尔强调数学教育的现实意义，数学应用意识与创新能力越来越得到重视，而数学建模能力就是指向培养学生运用数学知识解决实际问题，体现了应用与创新。数学建模能力是需要基于对问题情境中的相关信息进行提取、加工、分析，在实际问题中抽象出数学问题，通过对该数学问题的求解，来回答现实世界中的实际问题，是从现实世界到数学世界，再回归现实世界的过程。数学建模能力所解决的问题具有实际背景，从对现实世界的现象进行概括与分析，抽象出与数学内容相关的信息，构建知识、问题和方法之间的相互联系，形成数学模型，并对模型进行求解，这是一个动态的思维过程[21]。

6.数据分析与预测能力

数据分析能力侧重于对学生随机思维与推断思维的培养，培养中的关键在于发现随机现象中的统计规律。随着人工智能的发展，数据分析已经深入科学、工程、技术以及现代生活的各个领域，成为“互联网+”相关领域的重要方法。因此，数据分析能力是大数据时代学生必须具备的一种数学能力，通过调查收集整理相关数据，并对数据所蕴含的有价值的信息进行分析、提取，借助信息完成合理的预测与推断。通过数据的收集与整理，学生能够在相互关联的情境中，识别随机变量，选取适切的抽样方法获得数据，例如随机抽样、分层抽样、系统抽样等。借助信息的提取与分析，能够对信息进行筛选、加工，进而发现其中蕴含的统计知识与规律，依据结论的预测与推断，结合数据得出的规律，对随机变量的发展趋势进行科学合理的估计与推断。

二级子维度的水平划分也同样是高中生数学关键能力操作性定义的重要构成部分，专家认为，可以基于“新课标”数学学科核心素养的水平划分，对高中生数学关键能力的二级子维度进行水平划分，形成高中生数学关键能力的操作性定义，具体内容如表1所示[22]。

表1.高中生数学关键能力操作性定义