探究组合长方体的最小表面积

2021-03-12 03:26范才凤
初中生世界·七年级 2021年2期
关键词:兴化市代数式纸盒

范才凤

在计算组合长方体的表面积时,由于摆放方法不一样,它的表面积也就不一样。例如:有两个相同的长方体纸盒,它们的长、宽、高分别是16cm、6cm、2cm,现要用这两个纸盒搭成一个大长方体,怎样搭可使长方体的表面积最小?

实践操作:我们发现,无论怎样放置这两个长方体纸盒,搭成的大长方体体积都不变。但是由于摆放位置的不同,它们的表面积会发生变化。经过操作,发现共有3种不同的摆放方式,如图所示:

探究结论:

(1)请计算图2、图3、图4中的大长方体的长、宽、高及其表面积,并填充下表:

根据上表可知,表面积最小的是所示的长方体。(填“图2”“图3”“图4”)。解决问题:

(2)现在有4个小长方体纸盒,每个的长、宽、高都分别是16cm、6cm、2cm,若将这4个纸盒搭成一个大长方体,共有种不同的方式,搭成的大长方体的表面积最小为cm2。

(3)现在有4个小长方体纸盒,每个的长、宽、高都分别是a、b、c,a>2b且b>2c,若用这4个长方体纸盒搭成一个大长方体,共有种不同的方式,搭成的大长方体的表面积最小为cm2。(用含a、b、c的代数式表示)【解析】(1)长方体的体积不变,但由于摆放重叠的面不一样,每个图形的表面积也就不一样。图2中,长方体的高为4,表面积=2(16×6+16×4+4×6)=368;图3中,长为32,表面积=2(32×6+32×2+6×2)=536;图4中,宽为12,表面积=2(16×12+16×2+12×2)=496。所以图1的表面积最小。

(2)如图5所示:

现在有4个小长方体纸盒,每个的长、宽、高都分别是16cm、6cm、2cm,若将这4个纸盒搭成一个大长方体,共有7种不同的方式,搭成的大长方体的表面积最小为2(16×6+16×8+6×8)=544cm2。故答案为7,544。

(3)现在有4个小长方体纸盒,每个长、宽、高都分别是a、b、c,a>2b且b>2c,若用这4个长方体纸盒搭成一个大长方体,当a=?3b且b=?3c时,共有6种搭法,可分两类。如图5,第一类有3种情况,表面积分别为(8ab+8ac+2bc)cm2、(8ab+2ac+8bc)cm2、(2ab+8ac+8bc)cm2。第二类也有3种情况,表面积分别为(4ab+4ac+8bc)cm2、(8ab+4ac+4bc)cm2、(4ab+8ac+4bc)cm2。第三类:当a=3b时,表面积分别为(8ab+5ac+3bc)cm2;当b=3c时,表面积分别为(3ab+8ac+5bc)cm2。因此共有6(a=?3b且b=?3c)或7(a=3b或b=3c)或8(a=3b且b=3c)种不同的方式。由于a>2b且b>2c搭成的大长方体的表面积最小为(2ab+8ac+8bc)cm2。(用含a、b、c的代数式表示)

本题主要考查了几何体的表面积,解题的关键是如何用分类讨论的方法思考长方体的摆放。摆放的方法不一样,解题的结果就不一樣,这属于中考常见题型。

(作者单位:江苏省兴化市戴泽初级中学)

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