线性回归与神经网络组合模型实现变形预测

夏显文，褚成凤，郭际明

（1.中交第三航务工程局有限公司，上海 200032；2.武汉大学测绘学院，湖北 武汉 430079）

0 引言

变形监测是利用各种测量技术获得观测数据，经过数据处理和建模分析得到变形量及变形趋势，为工程施工和运营提供重要的安全信息。变形监测数据建模的单一模型方法主要有回归分析[1]、时间序列[2]、卡尔曼滤波[3]、灰色模型[4]、人工神经网络[5]等，但由于实际施工工程较为复杂，变形监测数据受多种因素影响，单一的变形分析模型不能全面概括数据序列的所有特征，其预测精度不高，因而近十几年，组合预测模型成为研究热点。

对于组合预测模型而言，子模型的选择和定权方式的选择均能对组合预测的精度产生极大影响。关于子模型的选择，已有研究有：小波分析和灰色模型组合[6]、线性回归和灰色模型组合[7]、灰色模型和BP神经网络模型组合[8]、小波分析和时间序列模型组合[9]、灰色模型和时间序列模型组合[10]、时间序列模型和BP神经网络模型组合[11]等。关于定权方式的选择有：熵权法[12]、最优权法[13]、IOWGA算子[14]等。本文针对太湖隧道围堰的变形监测数据进行研究，考虑到监测点中既有随时间线性变化分量，又有非线性变化分量，上述已有组合模型不能很好地反映这种数据特点，因而本文采用一元线性回归和BP神经网络两种子模型，同时把线性和非线性分量进行考虑，分别采用经典权和IOWGA算子定权两种方式构建了组合预测模型，对太湖隧道围堰进行变形预测精度分析。

1 组合预测模型

1.1 变形监测模型选择方法

常用的变形监测模型有回归分析、灰色模型、时间序列、BP神经网络等。其中，回归分析是线性变形监测模型，而BP神经网络是非线性变形监测方法，两者相互补充，因此本文选择这两种变形监测模型作为组合预测模型的子模型。

1）一元线性回归

监测点随时间线性变化的趋势，可采用一元线性回归模型来表达[15]。

式中：xt为监测点在时间t的观测值；a0和a1为模型参数；εt为预测误差。

2）BP神经网络

BP神经网络由输入层、隐含层、输出层构成，其中隐含层可有多层，同一层神经元之间不存在连接关系，只有层与层之间相互连接。BP神经网络模型图见图1。

图1 BP神经网络模型图Fig.1 BP neural network model diagram

具体过程为：第一步为正向传播过程：输入向量，根据初始随机设置的各神经元的权系数将向量先向前传播到隐含层，经过激活函数，再根据随机设置的权比把隐含节点的输入信息传播到输出节点，最后输出结果。第二步为反向传播过程：将输出的结果与目标结果进行对比分析并设置一个阈值，若输出结果与目标结果的差异超出该阈值范围，则进行反向传播，即将在初始权分配的基础上重新调整各层神经元之间的权重分配。然后再进行正向传播，对比分析该次正向传播过程输出的结果与实测结果之间的差异，若在阈值之内，则直接输出，否则重复上述过程[16]。

1.2 定权方法

组合预测模型的关键在于各个单一变形监测模型的定权方式，选择合适的定权准则，可以有效地提高模型拟合、预测精度。

1）经典权

最常用的经典权定权准则是误差平方和倒数法，即取各个模型的拟合预测值数据序列和实际观测序列的残差序列的平方和的倒数[17]。一般残差数据序列的平方和越大，说明该变形监测模型的拟合值与原始观测数据差异性越大，即该变形监测模型的预测精度越低，将其作为子模型参与组合模型，应对其赋予较小的权系数，故取其倒数。该方法的数学模型如下：

式中：xt为时间t的实际观测值；xit和eit分别为第i种单一模型在时间t的模型拟合值和拟合残差；n为选取的计算观测值残差的个数。

2）IOWGA算子

IOWGA算子的定义如下：

假设存在m个二维数组（[d1，b1]，[d2，b2]，…，[dm，bm]），若有：

则称IOWGAP是由诱导值序列d1，d2，…，dm所产生的维诱导有序加权几何平均算子（Induced Ordered Weighted Geometric Averaging Operator），简称IOWGA算子。其中，pi是与算子相关的权系数，且满足：

di是bi的诱导值，将诱导值序列按照从大到小的顺序进行排列，则d-index（i）是从大到小排列的诱导值序列的第i个大的诱导值的下标。IOWGA算子是对从大到小顺序排列诱导值序列所对应的排序后的实测数据序列进行有序加权几何平均，pi与bi的大小以及在原始数据序列中的位置无关，只与其诱导值di在原始诱导值序列中的位置有关[18]。

IOWGA算子的建立流程如下：

式中：xt为实际观测值数据序列；xit为第i种单一变形监测模型在第t时刻的模型拟合值；dit表示第i个单一变形监测模型在第t时刻的拟合精度，且dit∈[0，1]。把各单一变形监测模型的拟合精度dit作为拟合值的诱导值。于是，m种单一变形监测模型第t时刻的拟合精度dit和该时刻所对应的拟合值xit就构成了m个二维数组[dit，xit]，i=1，2，…，m。

按照从大到小的顺序对诱导值序列d1t，d2t，…，dmt进行排序，设第i个大的诱导值的下标为d-index（it），则由拟合精度序列d1t，d2t，…，dmt作为诱导值建立的第t时刻的IOWGA组合模型拟合值为：

设矩阵P=（p1，p2，…，pm）T为基于IOWGA算子的组合预测模型中的权系数向量矩阵，在式（7）和残差的平方和最小的约束条件下，利用MATLAB中的最优化工具箱即可求解权因子的具体数值[9]。

根据预测的连续性原则，在求解得到建模数据的IOWGA组合预测模型的权系数后就可以进行预测。

1.3 效果评价方法

随着组合预测模型的发展，越来越多的定权方式被提出，为了评价其模型拟合及预测的效果，目前常用的精度评价指标[19]有：

1）平均绝对误差

2）中误差

2 应用实例分析

太湖隧道是一条高速公路隧道，位于常州至无锡之间。该隧道于2018年1月开始施工，预计2021年底完成，建成后或将成为全国最长的水下高速公路隧道。太湖隧道采用明挖法施工，首先需要建立围堰。施工过程中由于工况变化，可能发生围堰变形，需要对围堰的变形情况进行监测。采用测量机器人观测和三维激光扫描两种技术进行了围堰变形监测，监测得到的观测值为工程坐标系下的（X，Y）坐标值。本文采用位于围堰上的2-6-099号点从2020-01-18—2020-04-06期间的58期观测成果进行研究分析。2-6-099号点在围堰上的相对位置如图2所示。

图2 监测点的相对位置图Fig.2 The relative position graph of the monitoring points

垂直于围堰的变形是监测工作最重要的信息，因此将（X，Y）转换为在平行于围堰（X′）和垂直于围堰（Y′）这两个方向为坐标轴的坐标值，后续进一步对Y′进行研究分析。转换公式为式（10），几何关系见图3所示。

其中，tanβ=YA/XA。

图3 坐标轴旋转示意图Fig.3 Diagram of rotation of axes

2-6-099号点从2020-01-18—2020-04-06期间的67期观测成果的Y′坐标序列如图4所示（为了清楚地展现，本文采用的数据统一减去监测点坐标的整数值）。由于太湖隧道仍在施工建设，施工工况随时间不断变化，监测点的位移变化与工况密切关联，因而本文只对其做1期预测，即利用前67期观测数据预测第68期，前68期观测预测第69期，以此类推。但单次1期预测也存在随机性，因此本文共做了12组1期预测，利用12组预测值和实际观测值求差得出其中误差，利用中误差进行效果评价。分别建立回归分析和BP神经网络两种单一变形监测模型，以及对这两种变形监测模型分别采用经典权、IOWGA算子定权这两种定权方式建立组合预测模型，预测结果如表1所示。

图4 点2-6-099的开始67期Y′坐标及第68—79期的1期预测值Fig.4 The starting 67 term Y′of point 2-6-099 and the 1 step forecasting value for 68-79 term

表1 12组1期预测的实测值和模型值对比Table 1 Comparison of the measured values and model values for 1 step forecasting of 12 groups m

根据4种方式的12组预测值，计算得到相应的中误差，结果如表2所示，从表2中可以看出：组合预测模型的预测精度优于单一变形监测模型，IOWGA算子的组合预测模型的精度又优于经典权模型。

表2 各模型预测精度评价Table 2 Evaluation of prediction accuracy of each mode

3 结语

本文利用一元线性回归模型和非线性的BP神经网络模型作为子模型，分别采用经典权和IOWGA算子定权法建立了组合模型，基于对太湖隧道围堰的观测数据进行预测精度分析，结果表明，组合预测模型的预测精度优于单一变形监测模型，组合预测模型中，IOWGA算子定权组合模型的预测精度优于经典定权组合模型的预测精度。

一元线性回归和非线性的BP神经网络模型按IOWGA算子定权的组合模型对既有线性变形又有非线性变形的监测数据序列具有较好的描述，用于太湖隧道施工围堰的变形预测比已有方法取得了更好的效果。