巴黎综合理工学院早期的分析课与数学人才培养

王晓斐

(中国科学院 自然科学史研究所，北京 100190)

在18世纪，数学的发展与其主要应用领域，包括力学和天文学是不可分的。[1]纯粹数学开始获得其独立性并与其应用领域分开发生在19世纪的德国，并伴随着数学家的职业化和数学学科的建制化。①从19世纪下半叶开始，柏林成为重要的数学中心，出现了魏尔斯特拉斯(Karl Weierstrass，1815—1897)、库默尔(Ernst Eduard Kummer，1810—1893)、克罗内克(Leopold Kronecker，1823—1891)等重要数学家。对与应用无关的纯粹数学的强调和兴趣是这一时期柏林数学家工作的特点。[2- 3]但这些趋势或特征在1794年巴黎综合理工学院(École Polytechnique)建立之后已开始显现。该校分析课(cours d’analyse)的设立是欧洲的高等教育机构第一次开设数学分析课程②根据白鲁诺(Bruno Belhoste)的考察，在大革命前，尽管已有多部有关分析学的书出版，也有个别教师教授过微积分的内容，但少有教育机构正式系统地开设此课程。[4]，因而可以看作是高等数学机构化和学科化的一个开端。这为19世纪数学的发展提供了重要动力。正如数学史家罗威(David E. Rowe)所指出的：“在数学还没有在欧洲的大学里享有特殊位置的时候，巴黎综合理工学院伴随着培养工程师课程的开设涌现了一群一流的数学家”。([2]，9页) 先后担任普鲁士和巴黎皇家科学院院士的拉格朗日(Joseph-Louis Lagrange，1736—1813)成为该校的第一位分析课教师，为分析学与其应用领域的分离和严格化奠定了思想基础，推进了该学科的确立和发展。在拉格朗日和同校教师蒙日(Gaspard Monge，1746—1818)的影响下，该校选拔和培养了一批数学人才，他们继而成为该校或其他机构的数学教师并致力于数学研究和数学教育。他们与其后继者构成了19世纪以教学和研究为职业的法国数学家群体，从而开启了数学家职业化的一页。(1)根据克罗斯兰德(Maurice Crosland)的主张，法国大革命之后不同科学机构包括教育机构的建立使得科学成为一个“专业”，科学家因而开始职业化。新建立的教育机构(包括高中lycées以及高等科学教育机构facultés des sciences)开始开设数学、物理、化学等课程，因此提供了这些专业的教师职位。[5]弗郎克勒(Eugene Frankel)的文章以毕奥(Jean-Baptiste Biot，1774—1862)为例，展示了从巴黎综合理工学院走出的毕业生进入高等或中等教育机构成为数学教师并进行数学研究以及撰写数学著作或教科书的职业生涯。弗郎克勒同样也提到不可缺少的背景是法国大革命后对科学的需求急剧增长，从而带来科学职位的增多。[6]19世纪德国的教育改革受到巴黎综合理工学院的启发和影响，使得数学在德国大学形成建制化。(2)巴黎综合理工学院在建立之后就成为欧洲院校的典范，欧洲各国的贵族或官员阶层很多对巴黎综合理工学院的建制和课程发生兴趣，也常有外国学生申请进入该学院学习。[7]19世纪德国的教育改革者以及柏林大学(现柏林洪堡大学)的建立者洪堡(William von Humboldt，1767—1835)的弟弟——博物学家亚历山大·冯·洪堡(Alexander von Humboldt，1769—1859)与他的同胞克莱尔(Augustus Leopold Crelle，1780—1855)曾以巴黎综合理工学院为榜样尝试建立一个综合理工学校或机构以促进数学和化学的教学，为推进德国的数学学科的建制化和发展做出重要贡献。[8- 9]

现有关于巴黎综合理工学院的分析课的研究重在强调柯西(Auguste Louis Cauchy，1789—1857)在该校教授的分析课，而较少关注该校早期课程的内容以及课程之间的关联。而有关以拉格朗日的分析课为基础出版的数学著作的研究，则多聚焦于他的分析代数化思想，而较少关注其在分析的严格化和数学方法的统一化上的工作。本文通过分析相关历史与境和原始文献，将从三个方面指出拉格朗日的分析课的关键思想及其方法论，说明他如何将分析与几何学和力学分开，对分析进行严格化和推进纯粹数学的理论；此外，本文将对巴黎综合理工学院人才选拔和培养的方式进行探讨，并阐明该校如何在拉格朗日和蒙日的影响下营造了开展数学研究的氛围，从而造就了众多19世纪重要的法国数学家，对推进数学发展做出贡献。

1 巴黎综合理工学院的建立及其制度

18世纪末，在法国大革命的背景下，法国的教育及科学改革同时进行。继旧制度下的军事和工程专科院校，如梅济耶尔皇家工程学校(École royale du génie de Mézière)和皇家桥梁和道路学院(École royale des ponts et chaussées)(3)前者建立于1748年，后者建于1747年。这两所学校在大革命后均被恢复，后者今天仍然是法国“大学校”体系中的成员。有关旧制度下这两所学校的工程师教育可参考文献[10]。纷纷关闭或停课之后，巴黎综合理工学院于1794年建立，其目标是担负起所有这些专科院校应发挥的作用。([7]，26- 27页) 作为大革命时期公共安全委员会(Comité de salut public)的科学顾问之一，蒙日支持和创建了巴黎综合理工学院。(4)在创建之初，该校的名字为中央公共工程学院(École centrale des travaux publics)，后改名为综合理工学院。中文文献中对巴黎综合理工学院建立早期的制度的专门研究有：姚大志的《理念、制度和争论——巴黎综合理工学院的建立及早期发展》(《工程研究》，2017年第9卷第6期，第644- 655页)，姚大志、孙承晟著《科技革命与法国现代化》(山东教育出版社，2017年)。尽管该校的重要任务是培养国家需要的军事和建设方面的工程师，但在蒙日的设计中，该校同时要促进科学和技艺的发展，为其他院校树立榜样并引导最优秀的学生以学术为业。《综合理工学院院刊》(Journaldel’ÉcolePolytechnique，以下简称《院刊》)的创刊号说明了第一批学生的招收、培养目标和课程要求：

elle (l’École) doit contenir environ quatre cents élèves， ayant déj， dans un examen， fait preuve d’intelligence et de connaissances acquises sur les élémens[éléments] d’arithmétique， d’algèbre et de géométrie; qu’enfin ces élèves étant destinésremplir un jour， soit des fonctions d’ingénieurs de différens [différents] genres， soit des professions particulières qui exigent des hommes éclairés dans les sciences ou les arts， on leur apprend les parties de mathématiques et de physique qui sont effectivement la base des connaissances nécessairesl’exercice de ces divers états.[11]

(学校)招收大约四百名学生，他们通过考试已经证明了自己的智力和在算术、代数以及几何方面的基础知识；这些学生将成为服务于不同部门的工程师，或者从事于需要科学和技艺的知识的领域，在这里他们将学习数学和物理，(这两门课程)对从事多种行业都是必备的基础知识。

《院刊》创办的动机之一便是提供发表学院的管理和教学内容的平台，引导学术的方向，从而推广科学和技艺的有用知识并激发新的发现和应用。([11]，i页) 该院刊以及后来由阿歇特(John Nicolas Pierre Hachette，1769—1834)(5)阿歇特长期作为蒙日的学生和助手，在蒙日之后为射影几何的发展做出重要贡献。创办的专门发表毕业生或在校生的研究成果的《综合理工学院通讯》(Correspondencessurl’Écolepolytechnique，以下简称《通讯》)为营造综合理工学院内的学术研究氛围起到了重要作用。本文将在第三部分详细论述这些刊物如何推进了学院内外的数学研究。

因此我们看到，巴黎综合理工学院建立之初的设想并不仅仅是培养专业方向的工程师，同时也致力于促进理论研究和推动科学发展。正如数学史家董卜尔(Jean Dhombres)所指出的，早期该校的创建人蒙日及拉普拉斯(Pierre-Simon de Laplace，1749—1827)认为该校应秉持“在教学中采用最一般性的以及最具理论性的方法，以及最具确定性的和最新的方法，以增强应用的范围和可能性，课程大纲中会包含一些应用的内容并进行实践。”[12]这说明这些19世纪的数学家认识到并强调理论是应用的基础，理论的掌握能够更广泛地发挥实际应用的能力。

这一点与欧拉(Leonhard Euler，1707—1783)及拉格朗日要将分析学(6)巴黎综合理工学院的分析课的主要内容是微积分及其在几何和力学上的应用。由于本文聚焦巴黎综合理工学院的分析课，在文中提及的分析(学)特别指的是这一部分内容。分析的涵义历经演变。在古希腊，分析和综合是几何证明中的两个不同部分。帕普斯(Pappus of Alexandria，约290—350)给出了不同类型分析方法和综合方法的定义。一般来说，分析是一种将所面对的问题的解假设为已知并由其逐步推导直至到达一个已知正确或矛盾的结论的方法，而综合则是这一过程的逆向过程。分析被看作是发现的方法，而综合是证明的方法。17世纪以后，分析与代数解方程法相结合，几何分析被逐渐取代。18世纪开始，“代数分析”(algebraic analysis)成为一个分支，以有限量为对象。涉及无穷小量运算的微积分则被称为无穷分析。([4]，232页；[13])理论及其应用领域分开是有共性的。拉格朗日的目标甚至比蒙日更加趋向理论化和一般化，这从他们双方对待几何学的不同态度即可看出。对蒙日而言，分析学与几何学应当紧密联系，因为它们之间是相互依赖的关系，后者可为前者提供视觉上的支持。而在拉格朗日看来，分析学应当与几何学以及力学分开，因为后两者在本质上与前者是不相同的。([4]，237—238页) 换言之，拉格朗日的目的是使分析学成为自洽的独立学科，而不再依附于几何学、力学和其他应用领域。这构成了推动19世纪纯粹数学发展的一股重要力量。

我将在下文中对拉格朗日的课程以及他在分析学理论及微积分基础上所做的努力进行阐释，并说明拉格朗日如何影响了综合理工范围内的纯粹数学研究。在最后本文将说明和强调该校的组长及助教制度培养出了学生中科学研究的先锋，继而形成了19世纪法国的数学人才群体，开启了数学家职业化的一页。

2 拉格朗日分析课的核心思想

拉格朗日的课程开始于1795年5月，其课程的内容由算术和代数基础展开，然后到达微积分理论及其对几何问题和力学的应用。(7)普额尼(Gaspard de Prony，1755—1839)对拉格朗日在巴黎综合理工学院的课程的记录描述了后者的课程内容。[14]在巴黎综合理工学院建立之初，由蒙日设计的数学分析课程包含三个部分，学生在第一年学习“分析学的一般理论并将其应用于画法几何”，第二年学习分析“对力学和固体的平衡及运动规律的应用”，第三年则致力于“分析对流体的平衡和运动规律的应用”，(8)参见《中央公共工程学院采用的教学规划》(Les Développemens sur l’enseignement adopté pour l’École centrale des travaux publics)。([15]，247- 250页)但拉格朗日的课程则更多聚焦于微积分原理及其方法。

2.1 拉格朗日的微分原理

微积分应建立在何种方法之上是拉格朗日的分析课要关注的主要问题。在1795年至1799年教授的课程基础上，拉格朗日分别于1797年和1801年发表了两部分析学的重要著作，即《解析函数论》(Théoriedesfonctionsanalytiques)和《函数计算讲义》(Leçonssurlecaluldesfonctions)。(9)有关拉格朗日的微积分思想和方法的论述，本文将主要参考这两部著作的第一版，仅在论述中涉及不同版本的差别时另做说明。前者由两个部分构成，第一部分是微分的一般性理论，第二部分是微分理论对几何学和力学的应用。这一划分反映出拉格朗日要将分析学与几何、力学等学科分开的想法。在此，拉格朗日将分析学看作为独立的、可应用于几何学和力学的分支。拉格朗日要使分析独立于几何、物理等学科，就要避免在分析学的方法和原理中引入几何、物理的概念或方法。第二部著作是对微分理论的进一步发展，但不包含应用部分。这两本著作都不包含积分的内容，因为在拉格朗日看来，积分是微分的反向过程，它们建立在同样的方法和原理之上。(10)拉格朗日称微分为函数的“正向分析”(direct analysis)，积分为函数的“反向分析”(inverse analysis)。[16]

《解析函数论》封面上写着：“(本书)包含微分的原理，避免了所有对无穷小量、正在消失的量，极限以及流数的使用，并归于有限量的代数分析”。(11)原文为：contenant les principes du calcul différentiel, dégagé de toute considération d’infiniment petits ou d’évanouissans, de limites ou de fluxions, et réduits l’analyse algébrique des quantités finies。([16]，封面)这表明了拉格朗日的三重意图。首先，拉格朗日要强调和重申微积分的原理，即正视和解决关于微积分基础的问题。其次，拉格朗日要抛弃其前人赋予微积分的概念或采用的方法。最后，拉格朗日意图将微积分与代数统一起来。笔者将在下文对这三个方面进一步论述，说明拉格朗日分析课的突破性和思想贡献。

18世纪的欧洲，微积分在力学、光学等领域应用取得的成果，激发数学家不断推进这些应用方向的发展。当然，对具体物理问题的研究引发了新的数学研究内容和研究方法，如流体力学和弹性理论等，在本质上推进了数学本身的发展。但个别的数学家发现这些所有成果都建立在尚不稳固的数学基础上。事实上，哲学家和数学家们几乎从未中断过质疑作为微积分基础的无穷小概念，但在其应用性能够保证结果正确的前提下，大多数数学家并未为此感到烦扰。直至1755年，欧拉将微积分理论作为单独的整体进行发表，即著名的《微积分基础》(InstitutionesCalculidifferentialis)(12)该书由John Blanton翻译为英文。[17]，这一学科开始代数化，并逐步与几何、力学及其他应用领域分离。之后的数学家，特别是拉格朗日不断跟进这一做法。早在1772年拉格朗日在一篇关于微分算子的论文[18](13)考普曼(Elaine Koppelman)研究了拉格朗日1772年论文对算子演算方法的开创性贡献以及对英国代数学派的影响。[19]中涉及了微积分基本方法，但之后很长时间没有回到这一问题上，直至1795年开始在巴黎综合理工学院教授分析课程。这一教学活动为拉格朗日提供了思考和改进微积分原理及理论基础的机会。[20]

拉格朗日的主张是将微积分建立在级数的一般展开式上。从17世纪中期开始，一些与几何相关的数量如正弦、切线及对数等被发现可以展开为幂级数。这使得这些量或数学概念可以脱离几何，完全由代数符号表示并进行运算。对牛顿(Isaac Newton，1643—1727)以后、柯西以前的数学家来说，无穷幂级数的运算与有限代数表达式的运算是没有区别的。[21]欧拉将级数展开变成一个研究函数特性的重要方法，特别是对对数函数、指数函数及三角函数等超越函数。到18世纪末，尽管已经出现一些对级数收敛性的考察，但基本都是针对特殊数值的级数，而所有函数都可以一般性地展开为一个无穷幂级数为18世纪数学家普遍接受。(14)在不同时期函数的概念、范围以及对它的认识有所不同。欧拉以及拉格朗日等18世纪的数学家所认识的函数通过他们对函数的定义即可发现，函数是一个由变量和常量通过代数运算或者与超越函数对应的运算而得到的单一表达式，或是由多个不同的表达式组合而成。而无论是一般的代数函数或是对数、指数等超越函数，对18世纪的数学家都是已知可展开为幂级数的，因而这保证了任意(当时已知的)函数都可以一般地展开为一个幂级数。欧拉和拉格朗日本人也都说明已有的函数的展开式将证实这一点。[22]对18世纪的无穷级数及函数的认识，参见文献[23，24]。拉格朗日的方法正是基于这些对函数及级数展开式关系的认识。

在其《解析函数论》中，拉格朗日证明对任意一个函数f(x)，x为变量，i为变量x的增量，则函数f(x+i)可以写成以下的形式：

(1)

在这一形式中，f(x)被拉格朗日称为原函数(primitive function)，而f′(x)，f″(x)，f‴(x)等被称为导函数(derived functions)。([16]，14- 15页) 之前的数学史家如波约(Carl B. Boyer)、弗瑞泽(Craig Fraser)均将此展开式看作泰勒展开式，因而认为拉格朗日的方法是建立在泰勒定理上。([23]，319页；[25- 27]) 但事实上，这一形式是由一个更一般的幂级数展开式推导而来。(15)拉格朗日给出的f(x+i)的更一般的形式为f(x)+pi+qi2+ri3+si3+etc.，这是拉格朗日方法的出发点，即没有任何预设的最一般的函数展开式。([16]，2页)从拉格朗日推导给出上式的过程看，拉格朗日的方法并未预设泰勒展开式。其次，拉格朗日在其方法中避免引入任何无穷小、极限、流数等概念或方法，而是从最一般的运算概念出发，这与建立在变量变化速率和流数方法上的泰勒展开式有本质不同。因而从这一历史视角出发，本文认为将此式直接看作是泰勒展开式不符合拉格朗日的思想。(16)文献[28]也指出拉格朗日的证明并不需要无穷分析的知识作为前提。尽管只要引入无穷小量，此式很容易化作泰勒展开式，对此拉格朗日在其1772年的论文中给出过一个证明。拉格朗日这样做是为了说明他的导函数方法与无穷小方法是等价的。但如我们已经提到的，拒绝在其分析方法中使用算术和代数运算以外的概念，是拉格朗日的基本思想。如果将他的展开式看作为泰勒展开式，无疑会疏漏他对分析学的这一哲学性思考。

此外，拉格朗日从一般展开式出发到上式的推导过程显示出相邻的导函数之间存在一致的关联，即fn(x)是fn-1(x+i)的一般展开式中i的一次幂的系数(n=1，2，3…，假设将原函数标记为f0(x)。而且所有的fn(x+i)(n=0，1，2，3…)展开的方法是一致的。(17)此处所用符号并非拉格朗日所用，但不违背拉格朗日的思想。本文采用的这些符号是为说明展开式中前后项之间的关系。如此，对任一函数的变量给予一个增量，将该函数展开为关于这一增量的幂级数，只要找到展开式中该增量一次幂的系数便找到了原函数的一次导函数。二次以及更高次的导函数皆可以此算法找到。换句话说，只要找到原函数展开式的前两项即可找到该函数的所有导函数。这一导函数统一的算法无疑简化了拉格朗日的微积分方法。

在1772年的论文中，拉格朗日便声明函数的级数展开式理论包含了微分的真正原理。([18]，446- 447页) 在《解析函数论》中，拉格朗日首先对这一展开式给出了一个证明，他证明在该式中i的所有幂次都是正整数。([16]，7- 8页) 以现代视角看，这一证明是不严格的。但这样看显然是年代误植(anachronic)和当下主义(presentistic)的。此种视角以当下为准，将历史阐释为一系列通向现代的进步的过程，而忽视了相应历史时代的社会和思想背景。此外，本文意欲说明拉格朗日强调的是函数的一般幂级数展开式，即变量x和i必须是不定的，当它们取特殊值时对应级数则可能出现无法收敛或者幂次不为整数的情况，对此拉格朗日是忽略的，因为他的目标是通过函数的一般展开式获得各项幂次的系数，即导函数。而展开式本身是作为达到这一目的的一个手段。在1801年《函数计算讲义》发表时，拉格朗日更清晰地指出了导函数与展开式的关系：

Le développement des fonctions， envisagé d’une mainière générale， donne naissance aux fonctions dérivées de différens ordres; et l’algorithme de ces fonctions une fois trouvé， on peut les considerer en elles-mêmes et indépendamment des series d’où elles résultent.[29]

函数的一般展开式可以给出该函数的所有导函数；而一旦明确导函数之间的算法，它们便可以独立于展开式成为研究的对象。如此，对一个原函数，通过简单的和一致的方法我们将获得它的所有导函数。

由此可以说明在拉格朗日的方法中展开式的作用在于：通过一般展开式(1)，拉格朗日定义了任意函数f(x)的导函数f′(x)，f″(x)，f‴(x)，etc.，即原函数变量为x+i时展开式中i的各幂次的系数(忽略其中的常数)。而导函数的计算则依靠它们之间存在的一致算法关系。本文将给出一个简单的例子，更进一步说明拉格朗日获得导函数的方法。在求幂函数xm(m不为零)的导函数时，拉格朗日首先对原函数的变量增加一个任意小的变量i，从而原函数变为(x+i)m，应用一般的算术方法将该式展开，其前两项应为xm+mxm-1i。因而原函数的导函数则为mxm-1。这里很容易找出导函数与原函数之间的算法关系。如此，拉格朗日直接给出原函数的二阶导函数为m(m-1)xm-2。以此类推得到xm其他高阶导函数。([16]，15页)(18)拉格朗日在《函数计算讲义》一书中采用了一个更一般和严格的方法获得xm的展开式，即不预设m为有理数。([29]，25- 30页)

由此可以看到，在计算导函数时，拉格朗日并不依赖原函数的一般展开式。正是由于这一原因，本文提出展开式是拉格朗日对导函数进行定义时采用的工具，而不是其方法的核心。这也说明拉格朗日的方法并非建立在泰勒公式的基础上。

2.2 拉格朗日的分析学严格化和数学方法统一化

如前文所述，在拉格朗日的方法中，只要找到函数展开式的前两项而无需给出更多或所有项即可找到其一次导函数，重复这一过程可找到更高次的导函数。另外值得强调的是，拉格朗日是当时为数不多的试图对任意函数的幂级数展开式进行证明的数学家，在他看来如此才能保证把分析学建立在坚实的基础之上。([16]，7页)(19)拉格朗日本人认为在他之前没有数学家对展开式的形式给出过证明。对拉格朗日这一证明的讨论，参见文献[26]，41- 42页。在18世纪，多数数学家很少关注分析的基础的问题。自1738年贝克莱(George Berkeley，1685—1753)主教发表著名的《分析学家：给一个无宗教信仰的数学家的一封信》(TheAnalyst)[30]对微积分的基础概念攻击以来，一些数学家试图弥补微积分所缺失的严格性。拉格朗日是其中之一，他不但对贝克莱提出的质疑抱着严肃的态度且持续对微积分原理和本质进行思考(20)拉格朗日1754年写给欧拉的一封信说明他至少此时已开始思考和关注微积分基本原理。([25]，252页)。历史学家格莱毕娜(Judith V. Grabiner)在她的著作《柯西严格分析的起源》(TheOriginsofCauchy’sRigorousCalculus)中分析指出拉格朗日主持了普鲁士科学院1786年的有奖问题(prize problem)，他希望数学家能够对无穷分析的原理给出严格的解释。[31]对这一问题的重视反映出拉格朗日从此时开始严格化分析学的愿望。

《解析函数论》是拉格朗日本人对此做出的回答，也是对贝克莱所提问题的一个回应。拉格朗日与贝克莱所持的对无穷小量、流数和极限的质疑和意见基本一致。在《解析函数论》及《函数计算讲义》的前言中，拉格朗日对前人采用的微积分概念逐一分析，说明这些概念或相应方法的无法证明之处或不严格和晦涩之处，并拒绝在其分析著作中采用这些概念或方法。这说明拉格朗日在认识和理解这些前人方法时带有一定的认识论价值标准。通过深入分析拉格朗日对微积分不同方法的描述和他对这些概念的评判，笔者在《古希腊文本与分析的严格化》一文中揭示出拉格朗日在其分析学著作中追求的四项认识论价值，即一般性、简单性、严格性和清晰性(21)该文用英文发表，题目为“Greek Texts and the Rigorization of Analysis: An Inquiry into Lagrange’s Work on the History of Mathematics”(《古希腊文本与分析的严格化：对拉格朗日的数学史工作的研究》)。[32]。拉格朗日以这些价值作为标准，寻找并确立微积分的基础方法。这是他严格化分析学的一个层面。另一个层面是他宣称要将古希腊证明中的严格性引入其分析著作，并在分析学在几何上的应用问题中实践了这一想法。在这一意义上，拉格朗日早于柯西已经开始了分析的严格化，尽管他们对严格性的认识有所不同。(22)与拉格朗日不同，对柯西来说，任意地使用函数的一般级数展开式是不严格的。后者强调级数的收敛性和公式的成立条件，并且认为对极限、连续等最基本概念要给出更准确的定义。对柯西的分析严格化的研究可参见[31]。严格性概念本身是历史性的，也就是说随着时代和思想背景的不同，对严格性的认识是变化的。数学家依据其对数学的不同看法、所持有的不同数学方法或不同的认识论价值都会造成对严格性的认识不同，更多讨论参见文献[33]。

最后，拉格朗日要将其函数分析，即所谓的微积分或无穷分析与以有限量为对象的“代数分析”统一起来。在其分析课中，拉格朗日表明微积分不应使用任何代数以外的语言，他反对牛顿的流数概念亦缘于此，他反对将速度和运动等物理概念引入数学，而且牛顿的方法无法与几何分开。拉格朗日也反对微积分中使用不清晰的概念，如达朗贝尔(Jean le Rond d’Alembert，1717—1783)的极限方法中出现0与0的比的时刻。([16]，3- 4页；[29]，7- 9页) 对拉格朗日来说，“分析学，应当避免任何形而上学，而应仅仅建立在运算的基本原理之上”。(23)原文为： l’analyse, qui ne doit avoir d’autres métaphysique que celle qui consiste dans les premiers principes et dans les premières operations fondamentales du calcul。([29]，8页)这也是拉格朗日将微积分建立在幂级数展开式方法之上的重要原因之一。幂级数展开式方法中涉及的运算与代数是一致的。(24)拉格朗日对代数运算有一个广泛的定义，包含了通过幂级数展开式获得导函数的运算。([29]，11页)笔者在前文中提到过拉格朗日在巴黎综合理工学院的课程内容除了无穷分析还包括算术和代数基础。目前很少有数学史家强调这一点，但事实上拉格朗日对其课程的设计反映了其对数学各分支方法进行统一化的思想。(25)在一篇拉格朗日的手稿中，拉格朗日说明了其数学课程设计的思路。该手稿由L. Pepe发表。[34]对拉格朗日而言，整个数学应建立在算术-代数运算的基础上，微积分应与代数结合并在方法上取得统一，并且它们都独立于几何学、力学及物理学等应用领域。[35]

尽管19世纪微积分的发展没有沿着拉格朗日的代数化思想前行，但他在严格化分析学以及发展纯粹数学理论和关注数学基础等方面都做出了重要贡献并发挥了先驱的作用。拉格朗日在分析学的思想、工具和定理上发展出新的内容，包括函数变换、余项定理，以及接近现代分析的一些方法。这些都被其后继者包括柯西用于推进分析学及其应用领域，促进了19世纪经典分析的产生和发展。([31]，46页)

数学史家白鲁诺指出，尽管在巴黎综合理工学院内部，拉格朗日和蒙日的课程对大多数学生由于难度过高而变成边缘和选修的课程，但无论在该学院范围之内还是之外它们都产生了重要影响，以这些课程为基础发表的著作成为19世纪数学家的重要读物和参考。([4]，238- 239页) 学院鼓励最优秀的学生对所教授的内容进行探究，拉格朗日课程的较高难度可能恰恰给他们提供了进一步学习和研究的契机，带动他们对分析课的内容和方法进行探索。该校重视并监督学生的自修时间，保证了学生自行掌握所学内容。(26)拉普拉斯作为学院的毕业考试常任考官(examinateur de sortie)，对学院的教学以及学生的学习有很大影响。在他的建议下，学院的分析课从1797年开始由每十天2次增加到3次，1800年增加到4次，并规定每个学生在数学课当天自修数学的时间至少在两个小时。([4]，246- 247页)。很多优秀学生最终选择成为数学教师并开展数学研究，构成了19世纪推进数学学科发展的重要力量。下文将对巴黎综合理工学院的学生培养和管理方式进行阐释，以展示这些方面如何对该校的数学教学和数学研究发挥积极作用。

3 巴黎综合理工学院的数学人才培养

巴黎综合理工学院建立之初，为了加快人才培养为国家效力，该学院设计了“非常课程”(cours révolutionaire)(27)这一课程沿用了蒙日在大革命期间设计的培养军事人才的快速方法，这也是1794年巴黎高师快速培养教师的方式。([4]，112- 113页) 本文将此翻译为“非常课程”，从而与之后的常规课程形成对照。关于“非常课程”的更详尽内容，见文献[15]。，旨在三个月内让学生快速学习各门课程的所有重要内容。之后，他们将参加考试并按成绩被分成三个水平等级，最差一级的学生将在完成三年的学习之后参加毕业考试，而第二等级和最高等级的学生在完成两年的学习之后即可参加毕业考试。(28)这是第一年招收的学生的分配和上课情况，之后招收的学生则按顺序完成三年的课程才能参加毕业考试。1798年之后学制由三年改为两年。([7]，72页)第一批招收的大约四百名学生于1794年11月入学，他们在完成三个月的“非常课程”并被分配年级之后，于1795年5月开始进入常规的课程学习。

3.1 优秀学生的培养和选拔

学院的《院刊》在第三期刊出了各学年各门课程的内容大纲和时间安排，也规定了组长(chef de brigade)的职责。以数学课为例，每个年级每十天(29)在法国大革命期间，法国采取十天(décade)作为一个时间单位，一个月由三个十天组成，在之后改为以一星期七天为单位。有两天学习数学，“射影几何课从早上八点开始，九点多结束。之后，学生被组长带到指定的教室进行自修并做课后作业至下午两点。下午五点至晚上八点是分析课和绘图课。”[36]每个年级的学生以20人为单位分成不同的学习小组，每个小组设一名组长。组长是从最优秀的毕业生中选拔出来并由学院院长任命的，他们的职责是课后带领及指导所负责小组的学生进行试验和课后复习，并解答他们的问题。([36]，xij- xiij页) 这一机制继承自蒙日在梅济耶尔学院时期培养并引导部分优异的学生自行进行课外研究的想法。

第一批巴黎综合理工学院的25名组长在该学院常规课程开始前从50名优异者中遴选出来。从1798年起，每门课程从组长中选出2—3名优异者作为助教(repetiteur)。分析课的助教由迪内(Charles Lous Dinet，1775—1856)及佛兰克尔(Louis Benjamin Francoeur，1773—1849)担任，后期又增加了泊松(Siméon Denis Poisson，1781—1840)。(30)根据巴黎综合理工学院的录取记录，迪内、佛兰克尔均于1794年进入该校，后者也是第一批25个组长之一。泊松于1798年进入该校，并被选为组长。助教在大教室为学生复习和强化上一次课程的内容和重点，并在晚间自习的时间为组长进行复习。([4]，188、247页) 在督促和指导其他学生的实验以及课后作业之外，组长和助教们针对拉格朗日以及蒙日等教师所教授的内容展开自己的研究。研究的成果被鼓励发表在学院的《院刊》或是后来创办的《通讯》上。学院的《院刊》主要刊登教师的授课内容和与课程相关的研究。拉格朗日的《解析函数论》和《函数计算讲义》除各有两个已知版本外，也分别被刊登在第9期和第10期的《院刊》上。由于《院刊》的版面不足以支撑更多的内容，《通讯》便作为它的一个补充而出现了。下文将对《通讯》上的文章题目及作者做一整体分析，以展示年轻教师(组长和助教)及学生在数学及其应用方面的研究。

3.2 学院刊物对数学研究和交流的促进

从1804年开始至1812年结束，《通讯》共出两卷，共15期，除发表学院内部教师和学生的论文还同时通报与学院相关的新闻事件以及各类政策和制度规定。每一期包含三至五个部分，第一部分为涉及数学、物理、化学等不同学科或者它们的应用方面的论文，第二部分通常是有关学校的各项规定、政策。第三部分则是各年录取的学生名单和毕业生的就业去向；通常也会有一部分介绍与学校相关的政府立法。在所发表的研究文章中，几乎都是对课程中的具体的定理的证明或是对某个问题的分析或解答。解析几何以及射影几何方面的内容占多数，原因可能是《通讯》的创办人阿歇特作为蒙日的助手更加侧重几何学方面的研究，他本人也为《通讯》贡献了最多的文章，包括他本人的研究以及他对其他作者研究的通告。《通讯》中文章的作者包括了学院的教师、各门课程的助教以及学生，如前文提到的泊松。他1798年进入巴黎综合理工学院，并被选拔为“组长”，1800年被任命为分析课“助教”，并在两年后接替傅里叶(Joseph Fourier，1768—1830)成为正式的分析课教师之一。在《通讯》上，泊松仅次于阿歇特贡献了12篇论文。其中，在《通讯》的第一期，他给出了一个泰勒定理的新证明，并强调其证明的严格性。事实上，泊松的证明是在拉格朗日的证明基础上给出的。如前文中说明的，拉格朗日在其分析课中对任意函数的幂级数展开式的形式给出了证明，泊松更进了一步，因为他的证明比拉格朗日设定了更少的前提条件。(31)关于泊松给出的证明，参见文献[37]。这一事实也说明了综合理工学院内年轻教师以及学生对拉格朗日所教授的课程内容有深入的探索。

在此意义上，《通讯》成为了一个学院内部的交流平台，也鼓励了更多的教师和学生对具体数学定理和问题的研究，这些研究结果的发表继而又引发了更多超越学院范围的探索和讨论。1806年，阿歇特在《通讯》第一卷第七期上提到有多名学生对蒙日提出的一个重要定理给出了证明，当时是二年级学生的柯西便在其中。在同一期，阿歇特还刊登了柯西关于三个给定圆的共切圆问题的研究概要，并认为柯西的解具有十分显著的简单性。在《通讯》的第二卷中刊登了柯西1811年提交给科学院的一篇有关多面体研究论文的摘要，勒让德对此给予了很高的评价。如此，《通讯》见证和鼓励了泊松、柯西等优秀的年轻教师和学生的早期成就，开启了他们数学研究的生涯，并推动了19世纪数学的发展。

《通讯》的影响已超出了学院范围。1810年由热尔岗(Joseph Diaz Gergonne，1771—1859)创办的《纯粹与应用数学年刊》(Annalesdesmathématiquespuresetappliquées，orAnnalesdeGergonne，也常被称作《热尔岗年刊》)，被认为是历史上第一份重要的数学专业期刊。[38]事实上，热尔岗一直是《通讯》的读者，在《通讯》的第2卷刊登了一封来自热尔岗的信，他提到自己一直对《通讯》“热切地关注着，并期盼它的出版频率能够更高，以飨科学家和热爱科学的那些人”。([37]，第2卷：96页) 由此我们可以猜想，正是《通讯》启发了热尔岗创办和定期发行《年刊》的想法。后来，《年刊》以及其他19世纪上半叶创办的学术期刊，如法国数学家刘维尔(Joseph Liouville，1809—1882)的《纯粹与应用数学杂志》及德国的《克莱尔杂志》(32)这两份杂志全名分别为Journal de mathématiques pures et appliquées和Journal für die reine und angewandte mathematik。前者的创办人刘维尔亦毕业于巴黎综合理工学院。都沿袭了《通讯》作为激励年轻数学家进行研究和交流平台的特质。更有意思的是，这些数学期刊的作者主要是“综合理工人”，即毕业于巴黎综合理工学院的学生，也就是说，从《通讯》开始，“综合理工人”这一群体已经开始扮演促进和传播数学研究的重要角色。

另外，值得一提的是，巴黎综合理工学院的图书馆在早期设立的目的之一亦是促进该校教师及学生的研究工作。在该学院图书馆初建时，第二任馆员佩哈尔(François Peyrard，1759—1822)就致力于为该校师生提供自学和研究的便利。从1795年至1804年的任期内，他为图书馆策划、购买了大量关于科学与艺术的古典或是现代的书籍，使馆藏数量从一千册左右增加至一万册。[39]因此佩哈尔也被认为是学院图书馆的真正创建人。通晓希腊语的他也在拉格朗日以及天文学家德朗布尔(Jean-Baptiste Delambre，1749—1822)的影响和鼓励下，对欧几里得《原本》和阿基米德的数学著作进行研究并将它们翻译成法语，这使古希腊数学在19世纪初获得了扩散。而这一活动也推动了数学的发展。(33)文献[32]关注拉格朗日及佩哈尔等人对古希腊著作的翻译和传播所做的工作，并阐明和强调对古希腊的数学著作的研究使拉格朗日这样的数学家从数学史中获得了有用的内容和重要的方法，从而发展了他的数学研究。我们看到，无论是刊物的创办和图书馆的设置都体现了巴黎综合理工学院内鼓励开展研究的氛围。从教师到图书馆员，从组长、助教到学生都不同程度地投入到数学研究之中。

在这样的氛围下，巴黎综合理工学院培养了一批优秀的数学人才。(34)除已前文已提到的泊松、柯西和刘维尔，还有马吕斯(Étienne Louis Malus，1775—1812)、庞斯来(Louis Poinsot，1777—1859)、沙勒(Michel Chasles，1793—1880)等。更全的名单见文献[40]。根据统计，19世纪的法国科学院在数学、力学、物理3个部门中的院士大多毕业于或执教于巴黎综合理工学院。[41]从该校走出的学生除了服务于公共建设，很多之后成为巴黎综合理工学院或者其他重要机构的数学教师，构成了以数学教育和数学研究为职业的群体，(35)专业院校类教育机构的数学教师是19世纪数学家职业化的特征，现代性质的大学也是在此时出现。而在此之前，为数学做出贡献的人中很少有以教授和研究数学为主要职业的。[20，42]从而影响和促进了19世纪纯粹数学的发展。但不同于德国在新人文主义的影响下对纯粹数学去应用性的追求，法国的纯粹数学发展与应用领域结合得更紧密，理论作为应用的基础获得巨大发展。在目标是培养工程师的教育背景下，19世纪法国数学家的主要工作仍然涉及应用问题，但在应用性应建立在理论基础上这一观念下，他们的目标首先是发展数学理论的一般性，如此其应用于实际的可能性也将增加。(36)根据白鲁诺的主张，既对应用抱有的兴趣，同时也保持对理论的偏好是以综合理工人为代表的19世纪法国数学家群体的两个特征，这二者之间是互动的。[43]同时，对应用抱有兴趣又反过来促进了理论的发展。(37)以19世纪法国重要的数学家刘维尔为例，他在电力学(electrodynamics)方面的工作促进了他对分数微积分的研究。根据其传记作者的意见，在刘维尔的很多重要数学思想一直受到他在物理学领域的工作的启发。[44]

4 结 语

从巴黎综合理工学院建立之初，数学——作为一切应用领域的基础——便奠定了它在该校的地位。一流的数学家如拉格朗日将研究融于教学之中，同时教学亦促进了其数学研究。与今天大学的数学教学是教授和重复既有的数学知识的常情不同，在19世纪上半叶的欧洲教学是数学家重要的研究和发展前沿数学的实践活动。(38)格莱毕娜和伯塔兹尼(Umberto Bottazzini)也都曾指出教学是拉格朗日、柯西、魏尔斯特拉斯以及戴德金(Richard Dedekind，1831—1916)等数学家发展数学基础研究的重要推动力。伯塔兹尼说明，魏尔斯特拉斯在教授分析函数论的课程时展开了对严格性的考虑。([31]，25页；[3]，42页)这一点说明了教学与研究相结合的方式对科学的发展起到显著的推动作用，巴黎综合理工学院早期的课程正体现出这一特点。这也是19世纪后期德国数学兴起的原因。

在本文中，拉格朗日的例子向我们展示了他从科学院院士变为数学教师之后对数学分析理论的发展和对微积分基础的严格化所做的工作。拉格朗日的教学启发了他的学生，并使更多综合理工学院的教师和学生加入到数学研究中。正是这些年轻教师和学生构成了19世纪法国重要的数学家群体，扮演了推进数学发展的重要角色。他们就分析学的不同理论和问题给出新的证明或解法，从而促进了该数学分支的发展。正是在这种情况下，柯西作为其中的一个代表和拉格朗日的后继者在经典分析的理论方法和严格性上做出了更多突破性的工作。以《综合理工学院通讯》为代表的刊物扮演了鼓励年轻教师和学生参与数学研究的重要角色，并影响了19世纪上半叶数学专业期刊的产生和发展，促进了数学知识的发展和传播。

致 谢感谢周霄汉博士、王涛博士、刘烨昕博士对本文的通篇预读和给予的诚恳建议。感谢两位匿名评审专家提出的宝贵意见，特致谢忱!