土层锚杆刚度系数算法改进

周 勇,史占哲

(1. 兰州理工大学 甘肃省土木工程防灾减灾重点实验室,甘肃 兰州 730050; 2. 兰州理工大学 西部土木工程防灾减灾教育部工程研究中心,甘肃 兰州 730050)

随着经济的发展，城市建设的进程不断加快，在城市建设中受土地资源的限制，对地下空间的开发程度越来越大，这意味着未来较长时间内将涌现大量深基坑工程[1].近些年基坑工程的规模和深度不断增加，且在建筑物密集的城市，基坑周边环境也越来越复杂，这对基坑的设计和位移控制提出了更高的要求[2].无论是在排桩支护结构，还是土钉墙支护结构中，通过增设预应力锚杆之后，其位移变形值都有显著降低.在锚杆和支护结构协同工作的计算中，锚杆刚度系数的取值对于计算结果的影响很大.锚杆刚度的变化，会影响支护结构受力和变形，这导致锚固工程垮塌事故时有发生[3]，因此对于锚杆刚度的研究显得尤为重要.

对于锚杆刚度的研究，首先要从锚杆的受力特性上着手.要认识锚杆的特性，可以通过室内试验、现场试验、监测、数值模拟以及理论推导的方法.在预应力锚杆的变形和受力特性方面，已有大量学者进行了研究.对于锚杆锚固段轴力的分布，刘晓明等[4]根据锚杆的实际工程特点，考虑自由段的锚固体受力，利用土层抗剪强度衰减的双折线模型，推导了锚杆的承载力特性.洪海春等[5]基于弹性理论中半空间体在边界上受法向集中力的模型，分析了预应力锚索锚固段沿全长的轴力分布规律.叶根飞[6]将剪切滑移模型引入到计算中，推导了弹塑性状态和黏弹性状态下应力的传递规律.在锚杆的变形方面，张伟等[7]通过锚固节理岩体的实验室剪切试验，研究了在节理变形过程中锚杆的受力机制和变形特征.王艳芬等[8]采用Kelvin解，推导了拉力型锚索锚固段周围土体的应力场和位移.许宏发等[9]通过荷载传递微分方程，推导了岩石中锚固段剪力、位移分布函数.在这些研究中，一般是基于锚杆自身变形的研究，而在实际工程中，锚杆在发生变形时，其刚度应该是“复合刚度”，即在进行刚度计算时，既要考虑锚杆自身的变形，还应考虑土体的变形，这样才更符合工程实际.令狐可等[10]通过数值模拟的方法获得了岩石锚杆水平刚度系数，并通过曲线拟合，获得了岩石中锚杆水平刚度的计算方法.因此，如果能在掌握了锚杆轴力分布、侧阻力分布的基础上对土层锚杆的刚度进行计算，减小计算误差，必将受到工程设计者的欢迎.

聂子云等[11]提出了规程计算公式中存在的问题与缺陷，将锚杆周围土体等效为土弹簧，给出了锚杆刚度系数计算公式.本次研究在前人研究锚杆轴力、剪应力分布的基础上，利用Mindlin解[12]，推导考虑自由段变形、锚固段变形和土体变形的锚杆刚度系数计算公式，并用MATLAB软件编写计算程序进行计算，最后结合工程实例对算法的合理性进行验证.

1 规程中锚杆刚度系数公式分析

在JGJ 120—2012 《建筑基坑支护技术规程》[13]中，规定了拉伸型锚杆在缺少试验时，锚杆刚度系数的计算公式：

式中：Es为锚杆杆体的弹性模量，kPa；Ec为锚杆的复合弹性模量，kPa；Ap为锚杆杆体的截面面积，m2；A为注浆体的截面面积，m2；lf为锚杆自由段的长度，m；la为锚杆锚固段的长度，m；Em为锚杆注浆体的弹性模量，kPa；ba为结构水平方向计算宽度，m；S为锚杆的水平间距，m.

从式(1)可以看出，当锚固长度增加其他参数不改变时，刚度系数是减小的，即在相同的拉力作用下，锚固段越长，锚杆发生的位移越大.工程中往往通过适当增加锚固段的长度来提高锚杆的抗拔力，用来控制基坑的水平位移.按照规程中刚度系数的计算方法进行设计，若要控制基坑的位移，增大弹性支点的刚度，则应减小锚固段长度，这显然和工程实际经验不符.并且从计算公式中不难发现，计算结果仅与锚杆自身的材料性质有关，而不含任何土体的参数，也就是说无论在什么土层中，只要锚杆的设计参数一致，那么在相同的拉拔力下，其位移都相等，显然这也与实际不符.因此该计算公式存在一些不足.

分析其原因，锚杆的刚度系数通过在拉拔作用下锚杆的拉力和锚头的位移求得.在弹性状态下，锚头的位移s包括自由段的伸长量Δs1、锚固段的变形量Δs2及锚固段远端的位移Δs3，如图1所示.

s=Δs1+Δs2+Δs3

(3)

要求得这些位移，首先要确定锚杆的内力分布形式，规程中的计算方法对锚杆剪应力的分布作出了两点假设：

1) 锚固段末端剪应力为0(则锚固段远端的位移Δs3为0)；

2) 锚固段剪应力呈线性分布，如图2所示.

设锚固段近端的剪应力为τmax，根据假设剪应力沿锚固段为线性分布，则距离锚固段z处的剪应力为

(4)

图2 剪应力沿锚固体分布简化图Fig.2 Distribution of shear stress along fixed anchor length

则距离锚固段近端z处的锚固体轴力为

(5)

式中：D为锚固体直径，mm.

距离锚固段近端z处的锚固体的轴向变形为

(6)

由式(4～6)以及边界条件P(0)=T，可得到锚固段近端的位移为

(7)

式中：T为锚杆的轴向拉力，kN.

锚头的总位移为

(8)

从而得到规程中的锚杆刚度系数计算公式：

(9)

通过推导过程，可以发现其存在两个问题.第一，假设条件，锚固段远端处剪应力为0，所以锚杆端头的位移为0.这种假设存在很大误差，因为剪应力为0，只能说明土体和锚固体的相对位移为0，一般情况下研究者认为锚固段所在的稳定区土体没有位移，但是在锚杆预应力的作用下，锚固段的剪应力对锚杆周围土体的位移场影响较大，锚固段末端的土体会发生位移，即Δs3不可以忽略；第二，对于锚固段剪应力为线性分布，而实际剪应力是沿锚固段向末端曲线衰减，两种分布相差较大，因而导致Δs2的计算相差也较大.

2 改进的锚杆刚度系数

在分析了规程公式推导过程的基础上，得到了其存在的两个主要问题.为了得到更精确的锚杆刚度系数计算公式，本文以拉力型锚杆为例，利用更准确的锚固段剪应力分布函数并将锚固段远端的位移计算在内，进行锚杆刚度系数公式的推导.

2.1 基本假定

为了推导锚杆刚度系数，作如下基本假设：

1) 土体为均匀的线弹性、各向同性的半无限空间弹性体；

2)锚固段视为线弹性体；

3)锚固段与周围土体接触良好.

2.2 锚固段剪应力分布

锚固段轴力由前端向末端呈逐渐减小的趋势.锚固段被固定在稳定土体中距离土体表面较远，因此在对锚固段的受力进行分析时，可以认为是位于弹性无限体中，忽略土体表面边界的影响.李金德[14]在假定锚杆锚固体与岩土体为性质相近的弹性材料的基础上，利用弹性力学Mindlin问题的解答，对锚杆锚固段的剪应力和轴力分布进行了求解.锚杆锚固段轴力分布函数：

(10)

对式(10)进行求导，可得到锚杆锚固段表面的剪应力沿杆体分布的表达式：

(11)

2.3 锚头位移分析

本文以普通的拉力型锚杆为例进行研究.如图1所示，通过其受力变形可以看出，在拉力作用下锚头的总位移包括自由段的伸长量Δs1、锚固段的变形量Δs2及锚固段远端的位移Δs3.

假设锚杆受到的拉力为P，则在拉力P作用下，自由段的伸长量为

(12)

根据轴力的分布函数可以求得锚杆锚固段在拉力P作用下的总伸长量为

(13)

锚杆末端端头的位移Δs3等于末端处土体的位移.当锚杆的轴力以锚固体与周围土体的剪应力分散到周围土体中时，剪应力会引起土体的变形.这种受力模型可视为弹性理论中的Mindlin问题,如图3所示，当半空间体内受法向集中力作用时，无限体内任意点在z方向产生的位移为

图3 竖向集中力作用下应变解示意图Fig.3 Diagram of strain solution under vertical concentrated force

(14)

为了便于计算，取锚固体和z轴重合，即锚杆近端端头坐标为x=y=z=0，则远端锚杆端头的位移为

(15)

2.4 锚杆刚度系数计算

求得锚杆在拉拔力作用下的总体变形后，便可得到锚杆的刚度系数为

(16)

3 算例分析

为了验证所推导公式的正确性，结合工程实例对本文计算方法所得到的结果进行对比分析，对规程中计算公式存在的问题进行分析，验证本文计算方法的合理性和适用性.

3.1 工程背景

兰州某基坑场地内包含拟建住宅楼、商业建筑、整体地下车库，基坑开挖深度约10 m.由于拟建场地用地红线周围紧邻建筑物，可用于支护结构施工的范围有限，且周围环境对基坑的水平位移控制要求严格，因此对该基坑采用排桩预应力锚杆支护结构进行支护.根据《岩土工程勘察报告》显示，场地内土体自上而下依次为杂填土、粉土和卵石，土体物理参数见表1，基坑开挖深度范围内无地下水.依据JGJ 120—2012 《建筑基坑支护技术规程》，该基坑重要性系数为γ0=1.1，基坑典型支护剖面如图4所示.

表1 土体基本物理参数

图4 支护方案剖面图Fig.4 Sectional diagram of planned supporting structure

3.2 模型建立

为了更好地反映本文计算方法在规程计算方法中存在的两个问题，分别通过调整锚固段长度和土体的弹性模量来计算本文锚杆刚度公式和规程锚杆刚度计算公式.对比分析本文计算方法的合理性，并与软件模拟结果对比，验证本文计算方法的准确性.

采用有限元软件Plaxis2D对实例中的桩锚支护结构进行模拟.将本工程视为平面应变问题，模型尺寸为50 m×30 m，具体的模型如图5所示.土体的本构模型采用Mohr-Coulomb模型，支护桩等效为板单元，锚杆锚固段采用土工格栅单元，自由段采用点对点锚杆单元.同时假定位移边界条件：左右边界水平位移为零，竖直方向允许发生位移，模型底部边界固定.

图5 有限元计算模型Fig.5 Finite element calculation model

3.3 对比分析

由图6可以看出，规程中的计算公式，由于不考虑土体参数，当土体的弹性模量E发生改变时，锚杆的刚度系数不会改变；而本次计算方法获得的锚杆刚度系数，则随着土体弹性模量E的增大而增大.因为土体弹性模量增大，土体的变形减小，则锚固段远端的位移减小，锚头总位移减小，所以锚杆刚度系数增大.本文计算结果与Plaxis2D模拟结果趋势相同.总体上本次计算方法小于软件模拟结果，是因为基坑内侧土体开挖释放的土压力会造成土体产生一定的位移，从而使模拟结果得到的锚杆刚度系数略小于本文计算值.只有在土体弹性模量小于10 MPa时，由于土体弹性模量太小，基坑开挖引起了桩后土体的变形，因此使得利用锚头位移和锚杆轴力求得的锚杆刚度系数较小.在常用土体弹性模量范围内.本次计算结果与软件计算结果较吻合.

图6 锚杆刚度系数k与土体弹性模量E的关系Fig.6 Relation between anchor stiffness coefficient k and soil elastic modulus E

将粉土的弹性模量E取为2.0×104kPa，将锚固段的长度la由4 m调整到15 m，其余参数保持不变，根据本文的计算公式、规程计算公式和软件模拟，得到如图7所示的结果.

图7 锚杆刚度系数k与锚固段长度la的关系Fig.7 Relation between anchor stiffness coefficient k and length of anchorage la

由图7可以看出，当锚杆长度变化时，利用规程中计算公式获得的锚杆刚度系数随锚固长度的增加而减小.这也体现了大量学者对规程计算方法的质疑，即锚固段长度越大，对基坑变形控制效果越差.本次计算方法得到的锚杆刚度系数，则是随锚固长度的增加而增大，体现了设计中通过增加锚固段长度来控制基坑位移的思想，并且当锚固段到达一定长度后，锚杆刚度系数基本趋于稳定，说明一味地增加锚固段长度对控制基坑的位移效果不大.本次计算结果和软件的模拟结果总体较接近，只有在锚固段较短的时候相差较大.原因是锚固段长度小于抗拔要求，锚杆被拔出，锚固段产生了较大的剪切位移.因而锚杆在满足设计要求的前提下，本次计算方法用于工程实践是可行的.

4 结论

本次研究通过对规程中锚杆刚度系数的推导进行分析，指出了公式中的不足，并以此作为突破点对锚杆刚度的计算公式作出改进，得到了适用性更强、更加符合工程实际的锚杆刚度系数计算公式；分析了锚杆刚度系数与土体弹性模量、锚固段长度之间的关系，得到以下结论：

1) 土体的弹性模量对锚杆剪应力分布和土体位移都有影响，因而造成对锚杆刚度系数的影响.随着土体弹性模量的增加，锚杆的刚度系数明显增大.因而在进行锚杆的设计时，为了达到位移控制的效果，还应考虑土体的弹性模量.

2) 锚杆的刚度系数还与锚固段长度有关系，增加锚固段长度可以提高锚杆的刚度系数，从而更有效地控制基坑的变形.但是,当锚固段长度超过一定的限值时，增强效果就不再明显，因而不能一味地增加锚固段的长度.

3) 本文计算方法与软件模拟吻合较好，初步验证了计算公式的正确性，但仍与实际情况有出入，还需要在更多的试验和实际工程中进一步验证和完善.