教师资格考试中“数学分析”相关考点分析与思考

程晓亮 高 超 郝连明 凤宝林

(1.吉林师范大学 吉林 四平 1360002；2.牡丹江师范学院 黑龙江 牡丹江 157011)

引言

1993年10月,我国在《教师法》中首次明确提出了“教师资格考试”这一名称。2001年召开的全国教师资格制度实施会议形成了教师资格考试认定的双轨制,即师范生毕业直接认定教师资格，而非师范生须通过教育学和心理学的考试后才可以进行认定。2011年教育部师范司和教育部考试中心联合发布《中小学和幼儿园教师资格考试标准(试行)》统一了考试科目,中学教师资格笔试考试变为三科,分别是“综合素质”“教育知识与能力”和“学科知识与教学能力”。2013年8月,教育部发布《中小学教师资格考试暂行办法》(教师〔2013〕9 号)规定:从2015年开始,实行师范生与非师范生教师资格认定方式的并轨。即所有申请认定教师资格人员必须参加并通过教师资格考试才能获得教师资格证书[1]。截止目前,全国仅内蒙古、新疆、西藏等少数地区师范生没有参加全国教师资格统一考试。

通过文献的查阅,发现对教师资格考试试题的分析研究各有侧重。如刘云等通过对试题中各知识模块进行分析发现：各试题模块分值与大纲的规定和要求有一定的差别。由此体现出教师资格考试命题的开放性和灵活性,提出师范院校的数学课程应更加具有师范性,并且应该跳出单一知识传递的窠臼[2];覃城阜等通过试题的分析发现：三大模块各有侧重点,了解试题的内容框架以及考查的重要知识点是学生顺利通过教师资格考试的关键之处,并且提出高等院校应加强教育实践活动[3];胡典顺等对试题进行分析发现：教师资格考试自身和师范教学都需要进一步改善,试题对高中课程内容的考查应该增加以及应关注国家的教育政策[4]。在“数学学科知识与教学能力”的试卷中主要考查学生对数学学科知识的掌握和运用、高中数学课程知识的掌握和运用以及数学教学知识的掌握和应用[5]。很多研究主要是对整个试卷中各个模块进行分析,但是对于某一模块下知识点详细的分析却很少,基于此，本文对2016年至2020年共9套高级中学数学学科知识与教学能力中的数学分析问题进行研究和分析。

一、教师资格考试中数学分析试题分析

(一)试题类型、数量分析

通过笔试大纲可知数学分析考查的试题类型为三种,分别是单项选择题、简答题、解答题。2016年至2020年9套试题中数学分析内容的考题题型与数量统计以及各试题题型分值见下图1与图2。由下图可知数学分析选择题的数量在2016年上半年和2018年下半年考试中考查数量最多,为3道共15分;在2018年上半年和2019年上半年最少,为1道共5分;其余年份的选择题数量均为2道共10分。在9套试卷中简答题考查7次,其中简答题的数量在2018年下半年考试中最多,为2道共14分,除去没有考的年份其它年份考查数量均为1道共7分。解答题只在2016年上半年和2018年下半年没有考查,由图2可知2017年下半年仅在解答题第二问考查定积分其分值为4分，2019年上半年仅在解答题第二问考查极限其分值为5分。通过图1可知,在9套试卷中选择题是必考试题。在对简答题的考查中仅2016年下半年、2017年上半年以及2019年上半年没有出现。在解答题的考查中仅仅只有2016年上半年和2018年下半年没有出现,其它年份中都有所考查。由此可见选择题是每年考试的必考题型,其考查的知识点主要以计算类为主,而简答题和解答题考查的是学生独立思考问题的能力以及解决数学问题的能力。可见不同的题目考查的功能也不相同[6]。

图1 9套试题中数学分析试题题型与数量统计

图2 9套试题中数学分析各试题题型分值统计

(二)试题分值分析

在教师资格考试中每道单项选择题5分,每道简答题7分,每道解答题10分。 2016年至2020年9套试题中数学分析内容分值情况如图3所示。由图3可知数学分析试题分值从2016年上半年至2018年上半年保持平稳在21分上下波动,从2018年下半年到2019年下半年波动较大,2019年上半年教师资格考试是9套试题中数学分析所占分值最少的一年仅仅只有10分,2020年下半年与2019年下半年考查分值相同为27分。数学分析试题总体分值的变化趋势大约在20～22分之间,占据学科知识的三分之一。

图3 9套试题中数学分析试题总分值统计

(三)试题考查知识点分析

通过对9套教师资格考试历年真题的知识点分值统计如图4所示。由图4可知数学分析考查知识范围包括极限、导数与微分、微分学基本定理、积分、幂级数。通过统计可知在考查知识范围内导数与微分、极限所占分值最高,在对导数与微分的考查中主要考查导数的意义和性质,以及对参数方程求导和驻点问题;在对极限的考查中主要考查极限的求法以及极限的基本性质,对于大部分求函数极限的题都可以转化为两个重要极限。 两个重要极限在极限的计算中有重要作用,它能将许多复杂的极限计算迅速简化,应用十分灵活,这两个重要极限可以说是全部微积分学计算的基础,在教师资格考试中经常以选择题的方式出现。数列极限之所以占据很大一部分是因为数列极限是数学分析最重要的基础之一也是高等数学的基础之一,它不仅与函数极限密切相关,而且对今后学习其它方面的理论也提供了必要的准备条件,极限的基本性质主要考查极限的符号语言以及保不等式性,在今后的学习中应重视对极限的定义与性质的理解。

微分学基本定理主要考查罗尔定理、拉格朗日中值定理和零点的存在性问题,一般情况下判断根的存在性通常用罗尔定理,拉格朗日中值定理通常用来比较不等式;在积分的考查中主要以考查定积分和不定积分为主,并且求出原函数及其值;在级数的考查中以幂级数为考查重点,主要考查幂级数的敛散性以及对其收敛域的求解。在收敛数列性质的学习中,知道收敛数列具有唯一性、有界性、保号性、保不等式性、迫敛性[7]。这些性质在历年的真题中都有所涉及,只有掌握好基础知识才能进一步提高自己的专业知识能力,而性质与定义恰恰经常被忽视,所以在今后的学习中应该重视对定义性质类知识的学习。

图4 9套试题中数学分析考察知识点的分值统计

通过统计可以发现极限的求法、极限的基本性质、幂级数、函数的性质大多都以选择题的形式出现,所以在今后的学习中应该加强对其计算的练习，重视计算类题目以及对性质的理解,选择题在教师资格考试中比较容易得分,大多数是基础题型,主要考查的是以性质类和计算为主,考查学生的计算能力和逻辑思维能力,在日常学习中应加强练习;导数与微分、微分学中值定理在考试中占据大部分的分数,而且出题形式比较灵活,在选择题、简答题、解答题中都有所涉及,所以在今后的学习中应该加强对导数与微分的学习,强化性质以及相关知识点。此类试题考查学生的逻辑思维能力以及对知识的掌握程度；通过分析问题能够抓住题干中的主要的信息并进行思考。此类题型可以提高学生的分析问题与解决问题的能力。

二、 数学分析中典型试题分析

再如,2015年下半年考题中的第14题,叙述并证明拉格朗日微分中值定理,并阐述拉格朗日中值定理与中学数学内容的联系。2018年下半年考题中的第11题,设f(x)是[0,1]的可导函数,且f'(x)有界,证明：存在m>0，使得对于任意x1,x2∈[0,1],有|f(x1)-f(x2)|

这两个题都是考查微分学基本定理即拉格朗日定理。拉格朗日中值定理在微积分学中地位很重要,并且在中学数学教学中的应用十分广泛,解决极值问题,证明不等式等等。微分学基本定理在教师资格考试中也是重点考查的知识点之一,在9套试题中出现5次通过简答题和选择题出现，所占分值很高,重点考查学生对知识的理解程度以及思维逻辑和写题思路。

通过统计可以知道极限及其基本性质考查4次，主要考查对性质和定义的理解。积分，即不定积分和定积分共考查6次，其中4次以选择题形式出现,其它2次以简答题方式出现。

三、基于数学分析试题分析的思考

通过对试题的分析可以发现,在对数学分析试题的考查中侧重对导数与微分以及极限的考查,明确数学分析试题的考查重点可以明确国家对师资质量的基本要求,也可以为在大学学习数学分析起到导向性的作用。通过对9套试题的分析,发现教师资格考试中数学分析的考查知识点需要进一步改善,并且通过试题的分析对今后的教师教学以及学生的学习也有很大的启示。

(一)应增加数学分析相关知识点的考查

通过对数学分析试题的考查发现所考知识点以数学分析一元微积分与级数为主要考试内容,对数学分析中其它的内容没有考查,知识面相对较窄。实际上，高中数学中已经从一定层面上学习了一元微积分,只是没有在实数理论意义下严格系统化的知识体系。考查知识面不够及其缺乏内在联系，不能突出大学数学分析学习的重要意义,不利于学生树立站在高观点下进行中学教学的观念。就考试准备而言,容易造成有些学生为应付考试而去学教师资格考试所涉及的知识点，而不去学习与考试无关的知识点,知识系统性把握出现断层。

根据教师资格考试现行大纲，试卷内容对于计算类的考查主要以极限的求法以及幂级数为主,应适当增加微分及其应用内容的考查。另外，现行大纲没有涉及多元函数微积分的考核。应逐渐从一元函数微积分过渡到多元函数，适当增加累次极限、偏导数以及隐函数相关的知识内容的考查，其次也应增加对曲线积分与重积分的考查。特别重视对格林公式及其应用的考查，它揭示了平面闭区域的二重积分与区域边界上曲线积分之间的联系,是二元微积分的重要内容，其理解与应用能力能够体现应试者更高的数学理解水平。

(二)应注重设置综合性题目考查专业能力

教师资格考试中数学分析题目客观性强,重点考查的是学生对基础知识的掌握程度。多数题目都属于单一性的考查微分中值定理、导数、极限、定积分、连续性等知识点,缺乏综合性和开放性,对专业能力的考查起不到相应的效果。实际上,微积分中核心的内容来自于实践应用,微积分中重要思想方法等都是微积分学习的重点。考试题目应考虑综合的、开放的设计微分和积分的应用内容,在侧重知识的同时重点考查思想及其应用,注重提出与发现问题,分析与解决问题能力的考查。应该不断探索创新出新题型,建设大容量题库,不仅能够提高学生发现和解决问题的能力和培养创新思维，而且可以有效保障考试的客观公平。更应促进专业化的发展,只有不断改革和完善才能保证我国教师资格考试制度平稳有序的发展,发挥建设教师队伍的作用[8]。