思维发展视域下的小学数学教学设计研究

刘可欣，姜立刚

(乐山师范学院 教师教育学院，四川 乐山 614000)

0 引言

思维作为“人脑反映外部世界本质和规律的能力，是对事物认识的活动过程和对信息的一种排序”[1]。教学设计是教学活动得以顺利开展的基础与保障，其内蕴的思维方式既反映了课堂教学的基本出发点，又对教学目标的指向与达成产生直接影响。近年来我国小学数学教学改革如火如荼，但很多教师在教学设计中不能有效把控实体思维与关系思维的相互关系，仍以实体思维为主，尤为关注知识点的掌握，而忽略了知识学习与学生发展及社会发展之间的相互关系，致使课堂教学效果大打折扣，教学目标难以有效达成。数学作为思维训练的体操，教师应如何以教学设计为基础，充分实现其发展学生思维的重要价值呢？本文拟基于北京教育科学研究院刘延革老师“抓住度量本质，串联面积教学”一课[2]，着重分析该课例在教学设计中对实体思维与关系思维的凸显，以“反推”的形式对思维发展视域下的小学数学教学设计操作要点进行探讨，旨在为未来创新小学数学教学设计、深化小学数学变革提供借鉴与参考。

1 小学数学教学中的实体思维与关系思维

实体思维与关系思维作为教学研究的认识论基础，对小学数学的教学设计与实施、改革与发展具有重要影响。在小学数学学科教学体系中，实体思维与关系思维并不是完全割裂性的存在，而是通过相互作用、彼此促进的关系共同推进教学目标的有效达成。

1.1 小学数学教学中的实体思维

“实体”作为实体思维的原始概念，体现着事物的“第一性质”，是事物固有的，不因人的意志而转移的客观存在。实体思维是一种预设世界有其终极性本原或“始基”，并以探寻这种终极性本原作为研究旨归，以普遍的理性抽象为研究方式，以终极性、封闭性、简单性、静止性为特征的二元对立思维方式[3]，其思维逻辑突出表现为二元对立、非此即彼。数学作为一门科学，有其自身客观性，体现了事物本质具有不依赖于他人或他物的改变而存在的根本特征。例如，根据皮亚诺算术公理系统，0是“数与代数”内容领域的基本概念，是所有数产生的始基或本原；同样的，依据希尔伯特公理体系，“点”“线”“面”是图形产生的原始概念，而“点”又是“线”和“面”产生的基础，故而“点”是所有图形的本原。再如，数的本质是大小、量的本质是多少、度量的本质是单位的叠加等等。在教学设计过程中，对于上述数学学科基础知识点的溯源与深究，则是实体思维在小学数学教学实践中的重要体现。

《义务教育数学课程标准》(2011年版)明确提出，“通过义务教育阶段的数学学习，学生能够获得适应社会生活和进一步发展的所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验”[4]。“基础知识”作为“数学四基”中的“首基”，不仅是数学学科知识体系的基础，更是小学数学学科教学得以开展的基础。在教学实践中，教师通过不断挖掘数学学科知识的实体或本原，引导学生准确理解数学知识的本质，学会以客观的态度把握数学学科，从而凸显实体思维与小学数学教学实践的相互关系及其重要价值。但由于实体思维过分强调知识本原，极易导致教师在教学实践中割裂知识内部及知识与他物之间的关系，忽略了“人”在学科教学中的主体能动性，使得学科教学沦为了“知识实体”的机械传承与简单识记，从而失却了教学的“育人”本真。

1.2 小学数学教学中的关系思维

关系思维立足于“关系”，强调“以关系的眼光看待一切”。“关系”体现了事物的“第二性质”，是借助事物的“第一性质”，在人们主观意志下对本事物与他事物、本事物发展过程、本事物与人之间关系的主动性反映。马克思就曾在《关于费尔巴哈的提纲》中提道，“人的本质不是单个人所固有的抽象物，在其现实性上，它是一切社会关系的总和”。教学作为学校教育的主要活动形式，其基本职能在于以文化人[5]。故而，教学不仅是一种活动性存在，更是一种关系性存在，是师生在教学活动中借助教材等相关媒介实现教学相长、人文化成的过程。

“关系思维”下的小学数学教学实践，尤为强调“关系”在学习中的重要价值，重在关注小学数学与学生发展、社会发展之间的相互关系，突出表现为以“教学”为线索将学科、学生与社会三者进行紧密相连，从而引导学生构建系统的知识网络体系、提升数学思维水平及发展问题解决能力等。如，学生对“数”的理解，须建立在明确“数”与生活、生产之间的关系基础上，进而把握“数”是对“量的多少”在“大小”属性上的抽象，并借助生活、生产中的问题情境感悟“数”对人的发展与社会发展的重要价值。同理，对图形的认识，是基于对原始概念“点”的理解，利用“点动成线”“线动成面”“面动成体”的相互关系来理解图形之间的关系，并借助不同类型的问题解决进而感受图形对人自身发展、改善生活及推动社会生产的价值。

总之，在小学数学教学实践中，实体思维能帮助我们从本质上深刻地认识数学与理解数学，关系思维能帮助我们全面而系统地认识数学。数学作为发展学生思维的重要学科，教师在教学设计过程中，应基于实体思维的优势，利用关系思维的特质，借助实体思维与关系思维的不同特点与相互作用关系，引导学生在全面而系统、片面而深刻地学习数学的过程中积累数学学科知识，提升数学思维水平，发展数学学习情感。

2 “抓住度量本质，串联面积教学”的课例分析

本课例以“平行四边形的面积计算”为基础，适当拓展并整合了梯形、三角形及圆等图形的面积计算内容。本课是继“平行四边形的特征”“长方形与正方面的面积计算”基础上的后续学习内容，以平行四边形面积的具体计算为重点，深化面积推导方法为难点。刘延革[2]老师在教学过程中，强调“以度量本质串联面积教学”，既关注了实体思维的基础作用，又凸显出关系思维的发展作用。本文将以本课为例，简要分析实体思维与关系思维在小学数学课堂教学中的具体应用及价值所在。

2.1 以“实体”为基引入新知：直接引入，揭示课题

实体思维强调“实体”是认识事物的本原，本课例以“面积”的本质定义，即“面的大小”，作为教学过程开展的基础。学生在此之前已学过“面积的概念”与“长方形及正方形的面积计算”等内容，为本课教学顺利开展打下良好的知识经验基础。关系思维下的小学数学教学要求关注知识之间的联系，从关系出发来认识事物。因此，上课伊始教师便以回顾面积概念直接引入，引导学生在把握本质定义的基础上进行后续的面积计算方法学习，突出了实体思维在认识事物过程中的基础性作用，亦内隐了关系思维在数学学习迁移中的重要价值。

2.2 以“关系”深化“实体”：回忆旧知，发现规律

关系思维强调“关系”是认识事物的出发点与着眼点。在本课教学中，教师引导学生通过回顾长方形和正方形的面积计算公式及各部分含义来突出“长”“宽”与“面积”之间的关系，进而体会面积计算的本质即度量，度量的本质即面积单位的叠加。在课堂教学中，教师紧紧围绕“面积=每行单位面积的个数×行数”的关系，深刻凸显面积计算的本质即度量，并以此为学习出发点，更好地帮助学生理解面积计算的本质，为学生更好地发展“数学四基”奠定基础。

2.3 以“实体”促生“关系”：创设冲突，引发猜想

以“面积计算的本质理解”为基础，本环节中教师以问题“能用‘每行单位面积的个数×行数’的方法计算平行四边形、三角形、梯形、圆的面积吗”为线索，引发学生思考每一种图形各构成要素之间的关系及长方形与不同平面图形之间的相互关系。本环节旨在通过对图形之间多元关系的思考，引发学生自主构建已有知识经验与新问题之间的关系并主动生成图形面积计算方法，从而为后续的探究学习之旅打开思维之钥。

2.4 以“关系”再深“实体”：动手操作，探索发现

在本环节中，学生利用已有知识经验与新问题“应怎样求得平行四边形的面积”之间的关系，通过动手操作，将平行四边形的面积计算转化为长方形的面积计算，再次深化了面积计算的本质实为度量，即面积单位的叠加。同时，通过对平行四边形面积计算公式中各部分含义的强调，强化“底与高”和“面积单位的行数与列数”之间的关系，从而深化了学生对度量本质与面积含义的深刻理解。

2.5 以“关系”强化“关系”：经验迁移，再次猜想

基于以上教学，学生已通过实体思维与关系思维之间的相互联系，掌握了不同图形面积计算的转化方法，理解了平行四边形面积公式的含义，明确了面积计算的本质。本环节中，教师再次利用平行四边形与三角形、梯形、圆之间的不同关系，抛出问题“这些图形的面积计算都可以用转化的方法解决吗”，引导学生能够自主利用面积计算的本质、图形之间的关系、已有知识经验与新问题之间的关系，再次对图形的面积计算展开探究，通过观察、操作与想象等多种方式探究不同图形面积计算方法之间的关系，从而实现“关系”的进一步深化。

总之，本课教学从面积的本质出发，以“平行四边形的面积计算”为基础，借助长方形、正方形、平行四边形、梯形和圆之间的相互关系，将“平面图形的面积计算”进行串联，从而逐步深化面积计算的本质，明晰各图形面积计算方法之间的关系。如图1所示，本课教学基于实体思维并从实体思维出发，通过挖掘知识与知识之间、知识与经验之间的关系，实现了实体思维与关系思维在教学中的相互融通与作用，从而促进了学生对数学知识的深刻理解、活动经验的积累及思想方法的自主生成。

图1 “抓住度量本质，串联面积教学”课例分析思路

3 基于思维发展的小学数学教学设计建议

如前所述，实体思维视域下的小学数学课堂教学存在着单一性与对立性的局限。教学作为一种关系性的存在，只有“基于实体，凸显关系”，小学数学教学才能更加全面而深刻。小学数学教学作为一个复杂的动态系统，如何在教学设计过程中协调各组成要素之间的关系，充分发挥其各自作用，提高教学效能，是教学设计的主要任务。因此，本文以促进思维发展为目标指向，以小学数学教学设计的一般理论[6]为理论基础，以人教版小学数学教科书一年级上册第六单元“11-20各数的认识”[7]为例，提出创新小学数学教学设计的具体建议。

3.1 教学内容分析，突出以知识实体构建关系网络

教学内容分析是教师开展教学设计的前期工作，主要回答“教学什么”与“为什么教学”的问题。教科书作为教学内容的主要载体，亦是教师进行教学内容分析的重要蓝本。如何更好地基于教科书，学会创造性地使用教材，关键取决于教师对教材内容的理解与再加工。“知识包”(knowledge package)[8]作为数学教学中的重要概念，强调以概念实体为基础根据“关系”构建一系列数学教学知识包。而关系思维视域下的小学数学教学设计，重在突出对教学内容进行系统分析[9]，即以小学数学学科知识的概念实体为基础，通过系统挖掘教学内容中内蕴的学科知识、学生发展与社会需求之间的相互联系，以构建小学数学学科教学关系网络。

“11-20各数的认识”属于小学数学“数与代数”内容领域，本单元是继“1-10各数的认识”与“加、减法的初步认识”的后续学习，是“数数”与“简单加减计算”等知识的拓展与深化，为后续学习“十进制”“数位”和“四则混合运算”奠定基础。教科书在编排中以“生活中各类物体卡片”为情境进行导入；以“摆小棒”活动深化“数是数量的抽象”之本质认识；以“捆扎活动”探究“十”与“一”之间的关系，通过“数多少”“比大小”等活动渗透“十进制”，突出教学难点；以“计数器”摆数进行“数位”概念教学，深化“十进制”理解；以“摆小棒解决问题”，深化简单加减法计算的知识学习；以“排队问题”凸显自然数的基数与序数属性。如图2所示，本课教学内容以数的抽象数本质为基础，围绕数运算的“关系”属性，借助“小棒”渗透数学抽象思想，从而引导学生建立“数模型”与“数运算模型”，发展数学思维，提升数学运用能力。

图 2 “11-20各数的认识”学科教学关系网络

3.2 教学目标设计，重在以关系线索凸显系统视域

教学目标，就是“教学中师生预期达到的学习结果和标准”[10]。教学目标本身即为一个系统性存在，具有内容多维、类型多样、层次多元的基本特点。依据《义务教育数学课程标准(2011年版)》基本要求，小学数学教学目标可概括为“三个维度四个方面”；依据目标实现周期的长短，小学数学教学目标可区划为学年教学目标、学期教学目标、单元教学目标和课时教学目标；依据布卢姆教育目标分类学的基本理念，小学数学教学目标又可划分为了解、理解、掌握、运用等不同层次。关系思维即强调本事物与他事物的相互关系，又关注各事物与人之间的关系，尤其关注事物与人之间的相互作用之关系。因此，小学数学教学目标设计，应在考察课程标准、学科发展、教学内容、学生实际与教师自身等多重关系的基础上，构建不同时长、不同维度、不同方面、不同层次的教学目标系统，以满足学生全面发展的需要。

一年级学生以具体形象思维为主，抽象思维较弱，他们对具体事物的“数量”相对熟悉，但对数本质及基本属性的理解尚未形成。本单元是学生对“10以内数的认识”的拓展，重在利用小棒等直观教具，引导学生对十、十进制、数位等知识点建立抽象概念，初步形成数感。基于课标要求，本单元教学目标设计，应相互联系，三维整合，逐层递进。第一课时作为本单元的教学起点，更是后续学习的基础。因此，本课时应重在建立“十”的数概念，并以此为基对“一”和“十”的相互关系进行探究，从而渗透“十进制”及“数位”，深化数的基数属性与序数属性。因此，本单元第一课时教学目标可设计如下：a) 准确认读11-20各数，准确知道各数的组成；b) 熟练掌握20以内数的顺序并能准确比较大小；c) 能够熟练数出相应物体的个数，经历从数量抽象出数的过程，对数学抽象形成一定的了解；d) 初步体会数与生活的联系，感受数学学习的重要性。

3.3 教学过程设计，强调以知识实体促动关系探究

教学过程设计是教师为实现教学目标而制定的具体实施方案，回答“如何教学”的问题。教学在本质上，就是基于问题解决的学习过程[11]。因此，教学过程设计，应着力帮助或引导学生形成问题解决意识，发展问题解决能力。实体思维在教学过程中往往体现为静态知识点的理解与识记，主要回答“是什么”的问题；而关系思维则往往体现为对知识内外部之间关系的分析与综合，主要回答“怎么样”与“为什么”的问题。实体思维具有基础性，关系思维具有深入性。基于思维科学视域下的小学数学教学过程设计，应充分把握两种思维的不同特性，在遵循学科知识、学生认知与教学展开的三重逻辑基础上，以知识实体构成教学重点，以关系探究生成教学难点，以问题设计为线索贯穿教学全程，促使学生在掌握基本知识点的基础上建立起知识与知识之间、知识与生产生活之间的联系，从而深化学习效果，促动自主生成。

图3 “11-20各数的认识”第一课时教学过程的问题设计思路

基于上述内容分析与目标设计，“11-20各数的认识”第一课时的教学过程以各数的组成、大小与顺序为教学重点，以“一”和“十”的关系探究构建数概念为教学难点。在教学过程设计中，以问题引领新知探究，逐步构建数概念。如图3所示，问题设计贯穿教学全程，不同环节的问题设计具有不同的功用，按照“问题引出—问题探究—问题应用—问题深化”的逻辑思路逐步展开教学活动，引导学生通过“数一数”“摆一摆”“说一说”“看一看”等探究活动逐步构建数概念，明确数关系，了解数应用，深化数知识。

3.4 课堂教学评价设计重在凸显概念实体及相互关系

教学评价设计，作为小学数学教学设计的基本内容[12]，对有效开展小学数学课堂教学与科学评估课堂教学水平具有重要意义。随着基础教育课程改革的持续推进与学生发展核心素养的深入探讨，当下小学数学课堂教学评价逐渐从关注“教学得如何”向“如何才能更好地以教促学”进行转变。实体思维重在关注对事物本质的探索，关系思维更加强调对事物本身内部关系及其与外部之间的关系探究。小学数学教学在关注教学活动各个组成部分的同时，亦强调教学的“时效性”。因此，在课堂教学过程中，教学评价往往以即时性评价为主，强调及时性，重在凸显知识实体及其相互间关系，以引导学生理解学习内容、明确学习方向，为教学过程的继续开展与改进提供思路。

以“11-20各数的认识”教学设计为例，在教学过程中教师可基于学生的课堂表现进行即时性评价，以“实体式评价”考察学生是否理解知识，以“关系式评价”考察学生是否内化知识。教师可利用提问、练习、观察或板演等方式进行评价，并可借助问题设计引导学生进行后续学习。在课堂教学中，教师可设计提问“一捆小棒代表几”“十几是怎样构成的”来考察学生是否理解了“十”的数概念及数的组成；还可设计“捆扎活动”的变式练习，借助一盒10支装铅笔、一捆10本装书籍、一盒12枚鸡蛋等生活中常见物品图片，考察学生是否内化了“一和十的相互关系”及“数与生活的联系”。需要注意的是，在教学评价设计中，教师不应仅关注对数学学科知识学习水平的评价设计，还应关注知识学习与全面发展之间的关系性评价，以从根本意义上促进学生可持续性的全面发展。

思维活动作为课堂教学中的核心活动[13]，对课堂教学质量具有重要影响。随着基础教育课程改革的持续推进，二元对立、非此即彼的实体思维方式已无法满足当前教育教学旨在促进学生全面发展的目标实现需要。因此，为有效改进当下小学数学教学现状，促动小学数学教学的改革与创新，教师需着眼于思维发展的基本视域，充分把握并发挥实体思维与关系思维的不同特性及优势，在把握教学本质的基础上，综合考虑教学系统内外部之相互关系，以发展性的眼光进行教学设计，从而最终实现促进人的全面发展的教育目标。