拉格朗日乘子法：解决高中数学优化问题的重要工具

摘 要：拉格朗日乘子法是多元函数条件极值问题中的非常有效的一种方法。本文将利用拉格朗日乘子法解初等数学中约束优化问题，并举例说明用法。

关键词：条件极值;拉格朗日乘子法;最优化

一、高中数学约束优化问题：教学难点

众所周知，求带有约束条件的最值（最大值或最小值）问题即条件极值是在实际应用中经常碰到的一类问题，它是运筹学的一个重要内容，对于形成最优化思想有着重要的作用，并且在实际生产活动中也有着广泛的应用，也是高考考查的重点内容。约束优化问题涉及直线与圆（圆与圆的位置关系、直线与圆的位置关系）、三角函数（三角恒等式、三角变换）、不等式和平面向量等知识。其基本思路是运用函数与方程思想将约束条件问题转化为求函数的最值问题，而解决最值问题的常用工具则是导数与不等式。

在运用导数求最值问题时，有些问题较为复杂，求导计算量大，需要进行高阶求导。同时，复杂问题常常涉及分类讨论思想，但学生在实际处理过程中往往会出现不明确分类标准，讨论重复遗漏，讨论结果处理不当等问题。对于分段函数的表示及其求导，学生往往束手无策，无从下手.因此，利用导数解决问题有其局限性.在运用不等式求最值问题时，处理复杂不等式尤其是多元变量的复杂不等式时，学生往往不能很好的利用相关衍变公式与解不等式的技巧。譬如在何时取等号，在如何对不等式进行放缩上阻力重重，不易把握，因此，如何较为有效地解决高中数学应用题约束优化问题，成为教学难点.

二、拉格朗日乘子法解决约束优化问题：突破点

条件极值不仅是初等数学中的重要内容，也是数学分析中的一类重要问题.求解的常用方法和最有效的工具就是拉格朗日乘子法，运用拉格朗日乘子法成为解决复杂约束优化问题的突破点。

1.拉格朗日乘子法

2.拉格朗日乘子法的优点

在高中阶段大部分只涉及一元函数，并就一元函数的导数的应用进行深度挖掘。常规思路就是消元，将二元函数转化为一元函数，将多元函数降维处理以达到删繁就简的效果。有时候反其道而行之，如果将一元化二元，二元化多元，对函数进行升维处理往往有出其不意的效果，拉格朗日乘子法就是升维的有力工具。其特点是思路明确，条理清晰，引入参变量使得计算量骤然减小，求解迅速。

3.拉格朗日乘子法的应用

三、拉格朗日乘子法解决约束优化问题：注意点与难点

作为一种优化解法，拉格朗日乘子法主要运用在约束优化问题即条件极值，运用一元函数转化为二元函数这一思想进行求解，从而将条件极值问题转化为非条件极值问题。即使不能在正规解答大题中运用，也可以将该解法解出正确结果，从而规避繁荣复杂的运算。而在填空题与选择题中可以直接用快速解出答案。

但值得注意的是，拉格朗日乘子法也有其局限性，并不适用于所有约束优化问题。比如在面对非线性约束条件下的二元函数最值问题时，它的非线性约束条件往往是一个二元二次不等式，可行域就是非线性约束条件中不等式所围成的平面区域，区域内的各点的坐标即为可行解;当目标函数是线性函数时，就是通常所说的二元线性规划问题，可转化为直线与曲线的位置关系来解决;当目标函数不是线性函数时，可以利用目标函数所具有的几何意义转化求解。另外，由于拉格朗日乘子法涉及偏導数，如何构造拉格朗日函数以及如何求偏导数成为教学难点。对于成绩较好的学生，教师可做适当地引导与讲解，可以为学生补充微积分的相关知识。

四、结束语

总之，在面对高中应用题约束优化问题时，我们应该将拉格朗日乘子法作为一种解决问题的重要工具，而不应该把它视为大学数学分析课本里高高在上的数学理论。数学本身作为一个工具不仅具有启发学生的发散思维和逻辑思维的作用，更应当将其运用于实际问题中，让学生在运用的过程中发现、体会并感悟数学的应用价值。

参考文献：

[1]张方东.高中数学分类讨论思想的应用[J].亚太教育，2015（8）.

[2]吴元泽.关于拉格朗日乘数法的一点思考[J].教育教学论坛，2018（8）

[3]朱茂春.拉格朗日乘子法在初等数学及Holder不等式中的应用[J].课程教育研究，2019（19）.

作者简介：

吴征（1999.07-），男，汉族，江苏省泰州市人，江苏师范大学数学与应用数学（师范）专业本科在读，主要研究方向：中等教育。

（江苏师范大学）