准零刚度悬架的低频隔振仿真分析

吴波，艾星然

（武汉理工大学 机电工程学院，武汉 430070）

悬架的隔振性能对汽车行驶平顺性的影响极为关键。传统线性悬架对于外界高频率振动有很好的隔振效果，但根据经典隔振理论分析可知，线性悬架在受到外界低频激励时，是无法实现有效隔振的。一些高档型汽车可以利用主动悬架、半主动悬架或空气悬架来有效隔振，但对于低档型汽车来说，在针对低频隔振问题时主要通过降低悬架刚度来解决，然而降低悬架刚度会降低汽车操控稳定性，同样会给汽车性能带来不良影响。针对汽车行驶平顺性与操控稳定性这两个互相约束的问题，准零刚度原理在一定程度上可以进行有效平衡。

准零刚度概念最早是1989年由Alabuzhevti等[1]提出的，以准零刚度原理为基础建立的隔振系统具有高静低动（高静刚度，低静位移，低动刚度）的特性，能够减小系统动刚度，进而大幅度降低振动系统低频段的幅值，有效隔离低频振动。CARRELLA等[2-3]提出经典三弹簧式准零刚度隔振机构，在此结构中斜置的两个螺旋弹簧构成负刚度元件具有几何非线性，与垂直放置的螺旋弹簧并联成准零刚度结构，在弹簧压缩至水平是达到准零刚度效果。李吉等[4]设计基于负压空气和橡胶囊的全新低频隔振器，并进行实验和仿真分析。丁鹏垒[5]将滚轮-凸轮结构与麦弗逊悬架相结合构成新型准零刚度悬架，此结构相对其他准零刚度机构所占空间较小，结构简易，适合应用于汽车悬架中。碟簧作为非线性弹性元件，在结构参数满足一定条件下会具有负刚度特性，当然也可具有准零刚度特性，但是碟簧的位移量限制特别大，只有在受到小振幅激励时才有一定的作用，而在相对较大振幅激励时完全无法满足条件，而应用到汽车悬架中更是差之千里。对此，郏剑宇[6]提出将具有准零刚度特性的多片碟簧组与普通弹簧结合得到新型准零刚度悬架来解决碟簧无法满足悬架减振器行程问题，并通过实验进行验证。但对于低成本两座新能源车来说，普通碟簧刚度相对较大，在该车型悬架中使用的隔振效果并不理想，所以将普通碟簧更换为刚度较小的膜片碟簧，并与螺旋弹簧进行串联应用到麦弗逊悬架中构成新型准零刚度悬架。

本文对膜片碟簧的静态特性进行分析，确定膜片碟簧具有准零刚度特性的条件。然后建立膜片碟簧与线性弹簧串联结构的静力学模型进行分析其是否具有准零刚度特性。再通过建立新型准零刚度悬架的数学模型，确定随机路面激励模型，利用Runge-Kutta法进行求解，得到新型准零刚度悬架的振动特性并与等效线性悬架进行对比，结果显示准零刚度悬架相对于原线性悬架在隔振方面具有一定优越性。

1 膜片碟簧的静态特性

膜片碟簧与碟簧的静态特性相似，具有变刚度特性，通过对膜片碟簧参数的优化选择可以使膜片碟簧具有准零刚度特性。图1所示为一膜片碟簧，该膜片碟簧的弹性模量为E，泊松比为μ，内、外半径分别为d、D，内锥高为H，厚度为a，f为单片碟簧的变形量。

图1 膜片碟簧结构示意图

由文献[7]关于膜片碟簧受压力后恢复力的定义可知：

其中：f为膜片碟簧的位移量，

对式（1）进行无量纲化后得到：

图2 碟簧不同高厚比对应的无量纲恢复力与位移关系

将式（2）对求导可得无量纲化刚度为

由式（3）可知在∈[-β,β]范围内，膜片碟簧的无量纲刚度也是关于=0对称，且当=0时膜片碟簧无量纲刚度具有最小值为

图3为不同β值对应的膜片碟簧无量纲刚度与位移之间关系式。由图可知，膜片碟簧受载荷后恢复力具有非线性且当取得合适高厚比，膜片碟簧具有准零刚度特性，此时有=0，则此时，对应的无量纲位移=0，即xz=h，此时膜片碟簧的位移量刚好为膜片碟簧的内锥高，即膜片碟簧在被压平时处于准零刚度点。当时，则膜片碟簧处于正刚度特性区域；在时，膜片碟簧具有负刚度特性，负刚度特性范围在无量纲位移内，可以通过改变膜片碟簧内、外半径和高厚比等参数增大负刚度范围。

图3 碟簧不同高厚比对应的无量纲刚度与位移关系

2 新型准零刚度悬架

2.1 准零刚度悬架结构设计

准零刚度隔振结构与汽车悬架系统结合存在一定的难点，首先，由于悬架空间结构限制，一般准零刚度隔振器都是由正负刚度元件并联而成，结构虽然简单，但是所需空间相对于传统减振器较大；其次，准零刚度隔振结构可行位移量无法满足汽车悬架减振器的行程。对于将准零刚度应用到汽车悬架上要在解决这两个基本问题的基础上合理进行低频隔振优化。本文采用膜片碟簧对合组合方式与麦弗逊悬架中螺旋弹簧进行串联构成新型准零刚度隔振系统，图4所示为该新型准零刚度麦弗逊悬架支柱总成的三维模型图。在膜片碟簧组与螺旋弹簧连接处有一中间质量块进行连接，为防止膜片碟簧组在系统受外界激励后产生扭矩发生扭转，将中间质量块设计为如图5所示的齿状结构，但是同时会产生摩擦力作用，由于摩擦不是主要影响因素，在后面仿真部分对于此部分摩擦进行忽略处理。

图4 新型准零刚度悬架支柱总成

图5 膜片碟簧组与螺旋弹簧中间连接块结构示意图

2.2 准零刚度结构静力学分析

膜片碟簧组与线性弹簧串联得到准零刚度结构示意图如图6所示，膜片碟簧个数为n，准零刚度结构位移为x，膜片碟簧总位移为xz，线性弹簧位移为xv。

图6 膜片碟簧与线性弹簧串联结构示意图

膜片碟簧采用对合组合时，n个膜片碟簧组合受压后的恢复力与单片膜片碟簧的关系为

在轴向力作用下，不考虑中间质量块，该准零刚度结构的力位移关系式为

式中：C,E,a,h,μ同式（1）。

将式（7）无量纲化可得：

由上一节可知，需要膜片碟簧满足准零刚度特性条件在于高厚比值为。由于膜片碟簧受载回复力计算公式的复杂性，利用MATLAB进行求解得到系统无量纲恢复力与无量纲位移关系式如式（9）所示。

在图7(a)中是等效刚度比M值对准零刚度结构回复力-系统总位移影响，为保证清楚分析出M值对结构回复力-位移关系的影响，将膜片碟簧数目的取值设为中间值n=10。在图7(b)中是对合膜片碟簧数目对准零刚度结构回复力-位移关系的影响，同理将将M值设置为M=0.5。

图8所示为准零刚度结构无量纲刚度与无量纲位移关系图，图8(a)中显示的为等效刚度比M值对准零刚度结构刚度-位移的影响，其中膜片碟簧数目n=10。图8(b)中显示的为膜片碟簧数目n对准零刚度结构刚度-位移关系的影响，其中取M值为M=0.5。

通过对图7与图8的综合分析可知，由对合组合的膜片碟簧组与线性弹簧串联后结构为非线性结构，并且在取得合适等效刚度比M值和膜片碟簧数目n值后，可以满足准零刚度特性，并且由于膜片碟簧组与线性弹簧采用串联的缘故，系统在图示范围内显示的刚度值比原线性弹簧刚度小，悬架动行程范围一般在-60 mm～60 mm之间，显而易见，该结构完全可以满足悬架动行程，并且在该行程内都能有效降低系统动刚度。

图7 准零刚度结构无量纲回复力与无量纲位移关系

由图7（a）、图8（a）分析可知，M值越小，结构的非线性程度越高，越能达到准零刚度特性（即刚度最小值为零）。当M值增大到一定程度后，膜片碟簧组刚度较大，相对于刚度较小的线性弹簧来说，其相当于刚性体，整个结构只有线性弹簧起作用，故M值过大时，该结构只会呈现线性特性。在刚度比M不断增大的过程中，系统刚度的最小值会向上发生偏移，且达到最小值时系统的位移值也会发生偏移。

图8 准零刚度结构无量纲刚度与无量纲位移关系

由图7（b）、图8(b)分析可知膜片碟簧数目n对准零刚度结构的影响尤其明显，总体影响呈现为n值越大，系统非线性程度越明显，刚度变化越缓和，准零刚度特性越明显。随着n值的降低，系统刚度最小值会向上偏移，刚度达到最小值时的位移量也会变小，并且系统渐渐趋于线性系统。

由图8可知，系统的无量纲刚度在在某种条件下是无法满足准零刚度条件的，此时我们需要约束等效刚度比M与膜片碟簧数目n的关系来使系统达到准零刚度。系统在处于静平衡位置即膜片碟簧被压平时，系统的刚度需要为零。

由式(8)可知，当膜片碟簧处于压平状态时即xz=h，系统的总位移为

在刚度比M值与膜片碟簧数目n满足式(11)关系时，系统在处于静平衡状态时具有准零刚度特性。

3 被动准零刚度悬架建模与仿真

3.1 汽车1/4悬架模型

将准零刚度原理与麦弗逊悬架进行结合的主要目的在于提升悬架系统的隔振性能，利用准零刚度原理的高静低动特性提高系统对低频外部激励的隔振效果。为了对新型准零刚度悬架隔振性能进行研究，建立如图9所示1/4垂直振动悬架系统模型，其中m1、m2、m3分别为簧下质量、簧上质量和碟簧与螺旋弹簧的中间连接块质量，z0、z1、z2、z3分别为路面随机激励位移量、簧下质量块位移量、连接块位移量和簧上质量快位移量，k0、kv、kz分别为汽车轮胎刚度、螺旋弹簧刚度和碟簧刚度。

在垂向振动系统中车辆共有3个自由度，分为簧上质量块、中间质量快和簧下质量块的垂向振动，建立动力学方程如下：

其中：

图9 1/4准零刚度被动悬架动力学模型

设状态变量x=输出y=z3，则有：

其中：

3.2 参数确定

针对轻量级低成本的新能源汽车进行分析，当研究车辆处于半载状态时取m1=45 kg，m3=500 kg，取中间质量块质量m2=0.2 kg，悬架阻尼系数c=1 800 N·（m/s）-1，轮胎刚度k0=180 N·mm-1。螺旋弹簧刚度kv=13 N·mm-1。

膜片碟簧的参数选取首要考虑是为了匹配该车型原线性悬架方便仿真分析部分对其进行分析对比，其次，要依据在本文第2节中对准零刚度结构的分析。膜片碟簧参数E为弹性模量，一般取E=2.06×1011N·mm-1，μ为泊松比，值为0.3，内锥高H=3.8 mm，t=2.7 mm，D=100 mm，d=51 mm。

仿真中的随机路面激励输入参考文献[1]中随机路面激励建立，该路面模型依据B级路面建立而成，考虑到路面不平度和车速等因素的影响。路面随机激励输入模型得随机路面激励如式中所示：

其中：zq(t)为路面激励，车速u=20 m/s，f0为滤波器的下截止频率，取值为f0=0.1 Hz，ω(t)是高斯白噪声，Gq(n0)是路面不平度系数，选取B级路面作为路面输入，选择Gq(n0)=64×10-6m3，n0为空间频率参考值，通常定义n0=0.1 m/s。

3.3 MATLAB/simulink仿真

MATLAB/simulink是常用的数学分析软件，可以通过简单有效的方式对动力学方程进行求解分析。根据式（13）在MATLAB/simulink中建立仿真模型如图10至图11所示。图10为新型准零刚度悬架系统动力学仿真模型，图11为等效线性悬架系统动力学仿真模型，等效线性悬架系统与准零刚度悬架系统唯一区别在于缺少准零刚度结构部分，即缺少对合膜片碟簧组部分，对两者进行求解对比，分析准零刚度悬架优越性是否成立。

图10 准零刚度悬架系统动力学仿真模型

图11 等效线性悬架系统动力学仿真模型

在对准零刚度悬架模型和等效线性模型进行求解时采用定步长的Runge-Kutta法。由于激励函数的限制，对该动力学方程的求解采用定步长求解器。在仿真模型中输入相应参数，设置计算时长5 s，选择求解器为定步长的Ode4方法对模型分别进行求解。

4 仿真结果分析

4.1 时域结果分析

通过系统的时域图结果，可以直观且准确地分析出系统的稳定性、瞬态和稳态性能。如图12至图14所示。为用Runge-Kutta方法对2阶微分方程进行求解后得到准零刚度悬架系统和等效线性悬架系统的车体位移z、时间t响应曲线、速度v、时间t响应曲线和加速度a、时间t响应曲线。为方便对比，将准零刚度悬架系统求解结果与等效线性悬架系统求解结果放于同一图框中。由结果对比可知，准零刚度悬架系统在垂向振动时位移和速度都要小于等效的线性悬架系统，且效果较为明显。在加速度-时间响应曲线中，准零刚度悬架系统在整体效果中具有优势，但是显示出的优势较小，准零刚度悬架系统瞬时加速度幅值在1.5 m/s2以内，而等效线性悬架系统的瞬时加速度幅值超过1.5 m/s2。

图12 系统位移-时间响应曲线

4.2 幅频特性分析

图13 系统速度-时间响应曲线

图14 系统加速度-时间响应曲线

新型准零刚度悬架的主要目的在于提高汽车悬架在受到低频外部激励时的隔振效果，所以对于幅频特性的研究是最为体现准零刚度悬架隔振性能的。在MATLAB/Simulink中对得到的时域信号数据进行离散傅里叶变换，分别得到悬架系统对应的位移、速度和加速度增益影响的Bode曲线如图10至图12所示。通常汽车所受路面激励范围在0.5 Hz～25 Hz以内，所以图中频率范围选择在0.1 Hz～25 Hz进行研究。

由图15至图17可知，无论是对悬架系统的动行程、速度和加速度，准零刚度悬架增益都比等效线性悬架要小，且对比影响最大的范围都集中在0.1 Hz～6 Hz内。悬架系统在低频范围内会形成一个共振峰，准零刚度悬架系统的共振峰峰值明显比等效线性悬架的共振峰峰值小，并且悬架动行程内峰值频率点有大幅减小，而在速度与加速度增益对比中，峰值频率点减小幅度较小。在高频范围内，准零刚度悬架系统增益会比等效线性系统有所增加，但是影响极小。整体效果上来看，准零刚度悬架在低频隔振性能上有所提升。

图15 系统垂向振动动行程频率响应曲线

图16 系统垂向振动速度频率响应曲线

图17 系统垂向振动加速度频率响应曲线

4.3 RMS值对比分析

均方根是计算偏差的平方和与采样次数n比值的平方根[8]，能直观反映振动状态和相对差距。这里对准零刚度悬架和等效线性悬架的车体垂向振动的数值解进行均方根值评价，公式为

将在Simulink中得到的时域分析数据导入到MATLAB工作区中，分别计算准零刚度悬架和等效线性悬架的悬架动行程、速度及加速度数据的均方根值并进行对比，得到如表1所示的结果。由表中结果对比可知，准零刚度悬架对外界随机激励的减振效果比等效线性悬架的更具优势。

表1 车体垂向振动RMS值

5 结语

本文针对轻量级低成本的新能源两座车的低频减振问题设计了一种结构简单新型准零刚度悬架。该新型悬架在麦弗逊悬架基础上，结合膜片碟簧的准零刚度特性，将对合膜片碟簧组与螺旋弹簧进行串联构成准零刚度悬架，能与麦弗逊悬架进行合理适配。建立1/4车辆垂向振动动力学模型，在MATLAB/Simulink中进行仿真，得到准零刚度悬架的时频特性曲线及RMS值，并与等效线性悬架进行对比分析，可以得出以下结论：

(1)膜片碟簧组与线性弹簧串联结构具有非线性特性，并且在满足一定条件下具有准零刚度特性。

(2)准零刚度悬架在垂向振动时，悬架振动幅度、速度和加速度相对等效线性悬架都有所减小。

(3)在0.1 Hz～6 Hz的低频范围内，准零刚度系统的悬架动行程、速度和加速度的幅值增益都明显降低。在6 Hz以上，准零刚度悬架系统的增益由极小幅度的增大，对于高频段，增益是有极小恶化的，所以后期应该对准零刚度悬架系统在高频段表现有所改善。

(4)由车体振动RMS值可以看出，车体振动位移有所减小，但是在振动能量上减弱较小，有待进一步改善。