高一数学运用参变分离和基本不等式求解不等式恒成立问题

2021-07-04 02:15方林
数理报(学习实践) 2021年6期
关键词:恒成立基本不等式分类讨论

方林

摘要:参变分离法是求解不等式恒成立问题的常用方法,可利用等价变形,使得参数与变量分离于不等式的两端,从而转化为基本不等式的最值,来避免变量分类讨论。

关键词:基本不等式;恒成立;参变分离;分类讨论

在高一数学学习中,经常遇到含有参数的某些函数、方程、不等式,并要求确定参数的取值范围题目。同学们在解决此类问题时总有这样的犹豫:到底用分类讨论方法,还是用参变分离法?虽然可以采用对变量进行分类讨论的方法,逐步排除不合理要求的变量范围,最终得出变量的范围,但是比较繁琐,不易做到最终结果。

参变分离法广泛适用于不等式恒成立取值問题,参变分离后可将不等号的两侧分离为参数、代数式,只需求一侧代数式的最值。在求解代数式的最值问题时经常涉及到基本不等式,高一许多不等式恒成立取值问题经过整理、变形、换元等都可以转化为基本不等式,然后利用基本不等式求最值,进而可以求出参数范围。

小结:参变分离是避免参数分类讨论的方法技巧,是不等式恒等转化的策略,将不等式分离为不等号两侧是不同的结构,一侧为参数的代数式,另一侧为变量的代数式,通过基本不等式分析来求代数式最值,再转化求参数取值范围。教学中可引导学生对常见的恒成立问题进行条件转化、方法探究,生成常见的最值情形。

参考文献:

[1]人民教育出版社课程教材研究所,中学数学课程教材研究开发中心.普通高中教科书(数学A版·必修第二册)[M].北京:人民教育出版社,2020:86-89.

[2]人民教育出版社课程教材研究所,中学数学课程教材研究开发中心.普通高中教科书(数学A版·必修第一册)[M].北京:人民教育出版社,2020:92.

[3]金兔,陈浩.不等式的恒成立、恒不成立和不恒成立[J].理科考试研究,2006(7):11-12.

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