长记忆时间序列均值多变点的ANOVA型检验

刘 豆，赵文芝

(西安工程大学 理学院，陕西 西安 710048)

0 引 言

变点问题是统计学研究热点问题之一。变点指在某一时刻前后观测值存在明显的差异，遵循2种不同的模型，即前后2个子序列可以由2种不同的数学模型呈现，反映了观测值本身发生了某种机制的转变。1954年PAGE[1]发表的一篇质量检验的文章提出了变点问题，该问题提出之后即被人们广泛关注，现在变点问题已被大量应用于经济金融等领域。

通常均值变点检验的方法有最小二乘检验、CUSUM检验、比率检验、贝叶斯检验、似然比检验等。HORVTH和KOKOSZKA等用CUSUM估计量估计均值变点,并给出极限分布[2-3]。但是，CUSUM方法的缺点之一是需要估计长期方差,在应用中非常不方便。由于长期方差不易准确估计，一旦估计结果较差，会使检验方法出现第一类错误的概率难以控制。HIDALAGO等用Wald法[4]，KUAN等用最小二乘方法[5]检验均值变点；SHAO和赵文芝等采用比率统计量研究了均值变点检验问题[6-7]。然而，以上文献只研究了均值单变点检验情况。

在实际的统计检验中，所选数据不一定只有一个变点，因此多变点检验问题的研究具有重要意义。BAI等研究了线性模型多变点的估计及其检验问题[8-11]。他们放宽了现有的限制性假设条件，提出了Sup-Wald型检验并讨论多变点估计的序贯估计方法，为研究多变点问题提供了一种新的思路。此外，BARDET等采用拟似然比的方法得到一般因果参数模型多变点的一致估计[12]；KEJRIWAL等用Wald法检验持久性多变点问题[13]；夏志明等提出基于局部比较法研究多变点个数及其位置的估计[14]；文献[15-18]研究线性多变点模型并且应用到实际数据中进行变点检测；NORIAH等提出了用ANOVA统计量研究独立同分布序列的均值多变点检验[19]；吕会琴等在厚尾相依序列下研究了均值多变点的ANOVA型检验[20]。以上文献都是采用不同方法研究短记忆序列多变点问题。然而，在气温、水文以及地质等领域会出现长记忆序列。由于受各种因素的干扰，长记忆序列也有可能存在均值多变点。在上述研究的基础上，付国龙用滑动比法检验长记忆均值多变点[21]；徐琼瑶等提出似然比扫描法研究长记忆均值多变点检验[22]。对于长记忆序列均值多变点检验的文献并不多，仍然有许多问题值得讨论。本文采用ANOVA型统计量研究长记忆序列的均值多变点检验，将文献[19]的研究方法推广到长记忆序列上，考虑长记忆序列均值多变点检验。

1 长记忆模型及统计量的极限分布

假设n个观测值X1,X2,…，Xn是由式(1)给出：

(1)

式中：μ1,μ2,…，μk+1为常数，n为样本容量；

考虑假设检验问题H0:μ1=μ2=…=μk+1; H1:μ1≠μ2≠…≠μk+1。

di,n=[nτi]-[nτi-1],i=1,2,…,k+1

文献[23]提出了分数布朗运动过程Bd，表达式为

其中B0是标准布朗运动。这里的Bd具有高斯性，均值为零，协方差函数S为

|t-s|1+2d+|s|1+2d)·

其中0≤t≤1，n→∞。

定义ANOVA型检验统计量

(2)

定理1假设X1,X2,…,Xn是长记忆序列且满足式(1)，则在原假设H0成立的条件下，当n→∞时，有

(3)

(4)

假设{(et}是一个0

其中0≤t≤1，c>0，n→∞。可得

从而，基于式(4)可以证明,在原假设H0成立时，当n→∞，有下式成立:

(5)

根据式(2)，对式(5)不断积分可以得到式(3)。

成立。

由于

且

2 数值模拟

考虑如下数据生成过程

Xt=μ(t)+et,t=1,2,…,n

其中{et,t=1,2,…,n}为FARIMA(0,d,0)过程。

首先通过Monte Carlo方法对变点个数k=2，长记忆参数d分别为0.1、0.2、0.3、0.4进行数值模拟。对每一个d都会分别产生一个FARIMA(0,d,0)序列，重复进行5 000次，将得到的5 000个样本按从小到大的顺序排列。选取在经验水平α=0.05下检验统计量Tn(k)极限分布的分位数，结果见表1。

表 1 检验统计量极限分布的α分位数Tab.1 The α quantile of limit distributionof the test statistic

从表1可以看出，在检验水平α=0.05下，长记忆参数d对检验统计量极限分布的α分位数的值有同向影响，即长记忆参数d越大，检验统计量极限分布α分位数的值就越大。

分别取样本容量n=200和n=400，变点位置(k1,k2)分为

等3种情况，分别代表变点发生时刻的早期、中期和晚期。在均值(μ1,μ2,μ3)=(0,1,2)的条件下，对模型在α=0.05的检验水平下模拟500次，模拟结果见表2～4。表3中括号外的数据表示样本容量n=200时的经验势函数值，括号里的数据表示样本容量n=400时的经验势函数值。

表 2 样本容量n=200，400的Tn(k)的经验水平Tab.2 The empirical size of Tn(k) withthe sample size n=200，400

观察表2可以发现，当样本容量n增加以及长记忆参数d的变化呈持续增加时，Tn(k)的经验水平明显增加，表明样本容量对Tn(k)的经验水平有很大的同向影响，说明检验水平失真较小，该检验是有效的。

表 3 样本容量n=200，400的Tn(k)的经验势Tab.3 The empirical power of Tn(k) with thesample size n=200，400

观察表3可以发现，当样本容量n增加时，Tn(k)的经验势明显增加，显示样本容量n对统计量Tn(k)的经验势有明显的同向影响，而且样本容量n越大，效果越明显。另外，当长记忆序列参数d的变化呈持续增加时，经验势函数值会越接近于1，即表明该方法具有有效性。

表 4 变点个数对检验统计量临界值的影响Tab.4 Effect of the change point number on the critical value of the test statistic

从表4可以看出，在检验水平α=0.05，不同的长记忆参数下，随着变点个数的增多，检验统计量对应的临界值越来越小。

进一步用Matlab软件拟合得出，在α=0.05，长记忆参数d(0

当k=1 时，

C1(d)=121.9d2+137.7d+200.3

(6)

当k=2时，

C2(d)=0.169d2+0.527 8d+0.524 6

(7)

当k=3时，

C3(d)=5.155×10-4d2+9.025×10-4d+

2.198×10-3

(8)

对于不同的长记忆参数d(0

3 实例验证

用2组统计学中比较经典的实际数据进一步验证该方法的有效性。2组数据分别为北半球的月平均气温数据(1854—1989年)以及尼罗河年最低水位(622—1281年)。以上数据来自于文献[24]。

Beran对北半球月平均气温数据(1854—1989年)的拟合模型为d=0.37的长记忆序列[24]。对这组数据进行变点检测，将数据代入Tn(k)中可计算其临界值为tn(k)=398.447。该值大于k=1，d=0.37的临界值267.937 2。应该拒绝原假设,即该组数据存在变点。从图1可以看出，该组数据存在明显变化，即存在变点，但是变点的位置有待进一步的估计。

图 1 北半球月平均气温数据(1854—1989年)Fig.1 Monthly mean temperature data of the northern hemisphere from 1854 to 1989

Beran对尼罗河年最低水位数据(622—1281年)的拟合模型为d=0.33的长记忆序列[24]。对这组数据进行变点检测,将数据代入Tn(k)中可计算其临界值为tn(k)=5.245。该值小于k=1，d=0.33的临界值259.015 9且大于k=2，d=0.33的临界值0.717 2。应该拒绝原假设,即该组数据存在变点。从图2可以看出，该组数据存在明显变化，即存在变点，但是变点的位置仍有待进一步的估计。

图 2 尼罗河年最低水位(622—1281年)Fig.2 Yearly minimum water levels of the Nile river from 622 to 1281

4 结 语

利用ANOVA统计量研究关于线性长记忆均值多变点检验问题。当变点个数已知时，原假设下证明了极限分布，备则假设下得到了一致性检验。根据数值实验以及实例分析验证了所提方法的有效性。但是，对于变点具体位置的估计以及变点个数等还有待进一步的研究。