过两定点的劣弧圆心角越小弧长越短的应用及证明

王伟民

(安徽省太和县宫集镇中心学校 236652)

从一道在多种物理教辅资料动力学板块中常见的题目说起——：

例题1 一段S形单行盘山公路的示意图如图1所示，弯道1、弯道2可以看作两个不同水平面上的圆弧，圆心分别为O1、O2，弯道中心线半径分别为r1=10m和r2=20m，弯道2比弯道1高h=12m，有一直道与两弯道圆弧相切.质量m=1200kg的汽车通过弯道时作匀速圆周运动，路面对轮胎的最大径向摩擦力是车重的1.25倍，行驶时要求汽车不打滑(sin37°=0.6，sin53°=0.8).

(1)求汽车沿弯道1中心线行驶时的最大速度v1；

(2)汽车以v1进入直道，以P=30kw的恒定功率直线行驶了t=8.0s进入弯道2，此时速度恰为通过弯道中心线的最大速度，求直道上除重力以外的阻力对汽车做的功；

(3)汽车从弯道1的A点进入，从同一直径上的B点驶离，有经验的司机会利用路面宽度，用最短时间匀速安全通过弯道，设路宽d=10m，求此最短时间(A、B两点都在轨道的中心线上，计算时视汽车为质点).

这道题目是不久前有老师在“物理通报”期刊群询问的一道题目.能够发现，该题目涉及的物理问题是一个综合性很强的动力学问题，需要运用到运动学、动力学的多个公式并结合能量转化等相关知识方能解决.图2是参考答案解析中给出的第三个分问题对应的插图，其中汽车运行时间最短的路线是过AB两点并且与轨道内侧圆弧(也就是小⊙O1的圆周)相内切的一段劣弧——即图2中以O′为圆心的劣弧AB.询问者手头有该题目的参考答案，也能看明白参考答案的解析过程，他询问的问题是，如何证明圆弧AB是汽车由A到B最短时间对应的路径？因为教辅资料给出的参考答案的解析，或者网上百度的解析过程，都是直接说图2中与弯道内侧圆弧相内切的劣弧AB的长度是所有过AB两点的劣弧中长度最短的劣弧，但并没有给出证明的过程.

图2中，由于受弯道的限制，汽车从A点运行到B点无法走直线，所以，只能走曲线，在转弯过程中要使汽车在两定点之间运行时间最短，必须使汽车在不侧滑的情况下以最大速度沿最短的路线行驶，而要保证汽车不侧滑且匀速行驶，必须使车的运动轨迹是过AB两点的圆弧.图2中，在弯道路面范围内，过AB两点可以作无数条圆弧，它们的圆心均在线段AB的中垂线上，如果我们用圆规在AB的上方画出很多以AB为公共弦的劣弧的话，给人的感觉是，圆弧所在圆的半径越大，圆弧所对的圆心角越小，对应的劣弧看起来就越短(当然，也可以在弯道路面范围内画出一些过AB两点的优弧，但这样的优弧肯定比同半径的劣弧长，显然不可能是汽车速度最大时对应的最短路径).如果这种感觉正确的话，那么，其中与弯道内侧边缘相内切的劣弧将是所有劣弧中半径最大的，不用说也是汽车以最大速度行驶时所用时间最少的运动轨迹，因为半径最大时在汽车不侧滑的情况下车的速度也达到了最大.但是，仅凭感觉是不能作为推理依据的，必须找到一种逻辑证明的方法才可以.那么，我们如何证明过两定点的所有劣弧中，所在圆半径越大的劣弧其长度越小呢？

如图3所示，O1和O2是已知线段AB中垂线上同侧的两点，其中O2到AB的距离较大，⊙O1、⊙O2均过A、B两点，设两圆的半径分别为R1和R2，公共弦AB在两圆中所对的圆心角分别为∠AO1B=θ1，∠AO2B=θ2，则有θ1>θ2，R1L2的结论.

因为L1=θ1R1，L2=θ2R2(θ1、θ2单位为弧度，且满足0<θ2<θ1<π)，所以，欲证L1>L2，只需证明θ1R1>θ2R2即可.

图3中：

∴θ1R1>θ2R2，即L1>L2.

这就是说，过平面内两定点的劣弧，圆弧所对圆心角越小，圆弧所在圆的半径越大，劣弧的长度就越小.

图2中，在弯道路面范围内，以AB为端点可以作无数条劣弧，易知，劣弧所在圆的半径越大，劣弧与弦AB组成弓形的高就越小——将弦长AB视为常量l，可以写出弓形高h与圆弧半径R间的函数关系式，上述结论的正确性性可以通过函数的增减性来进行证明(限于篇幅，这里不再证明).当弓形高h小到过AB两点的劣弧与轨道内侧圆弧相内切时，汽车运行圆弧轨迹已经到了弯道的内侧边缘，此时汽车运行轨迹圆弧半径最大，汽车不侧滑时对应的速度也达到最大，而此时汽车运行轨迹的长度最小，所以，过AB两点并且与弯道内侧圆弧相内切的劣弧，是汽车由A点驶向B点时间最短的运行轨道.

在上面的推理过程中，我们用到的主要是数学知识，而且过程比较复杂，构造关联函数之后两次求导，利用函数的增减性并结合特殊值间的关系进行论证，作为求解物理问题，这样的做法好像已经偏离了“物理方向”.如果考虑教学的重点和针对性，在物理习题课教学中分析并讲解这道题目时，我们可以跳过证明这一环节，就像参考答案给出的解析过程那样，将“过两定点的劣弧的长度随劣弧所在圆半径的增大而减小”这一规律当成一个“数学定理”直接使用，或者只是在解题过程中增添一句话——可以证明“过两定点的劣弧的长度随劣弧所在圆半径的增大而减小”，其正确性的推证无需体现在解题过程之中.不过，作为教师，在备课过程中还是应该对上述结论进行严密的逻辑论证，毕竟该结论不是“数学定理”，凭感觉进行判断是在犯经验主义错误，而且未必正确，命题的正确性需要逻辑论证的.