基于豪斯道夫分形导数的膨胀性非饱和多孔介质反常扩散（模型）吸收方程

单战 吴子恒

摘要：吸收是非常普遍的过程，发生在从多孔介质到新的纳米材料和生物组织的各种类型的材料上，而大多数关于吸收的研究报告都集中于“刚性”多孔介质上，这与经受膨脹和收缩变化的真实多孔介质的性质相矛盾。这里，我们参考材料坐标系，提出了从分形工具中的豪斯道夫导数出发，导出新的异常吸收随时间变化函数，并进行了曲线拟合。此类扩散对于多孔介质的吸收属于快扩散类别，这是传统吸收方程所不具备的，我们希望所提出的我们希望所提出的新吸收方程为膨胀性非饱和土壤中污染物的预测和治理提供准确的力学模型和具体的参考建议。

关键词：膨胀性非饱和;反常扩散;豪斯道夫导数

1.介绍

土地是人类和生态系统赖以生存的基础。 目前，土壤严重污染、土地缩减以及不稳定的环境变化的问题十分突出，人类面临严峻挑战。当下的迫切任务是为环境和土壤解毒--寻求缓解土壤污染和恢复土壤健康的技术措施和途径，这是关系食物链污染安全，影响人畜和生态系统健康的紧急问题。面对如此严峻的现实，2016年国务院公布了《土壤污染防治行动计划》。定量研究溶质（包括化学元素，肥料和微生物等微小颗粒）是治理土壤不可缺少的一步。这些污染物在膨胀性非饱和土壤中的运移属于溶质迁移。为了解决此类环境污染问题，分析膨胀性非饱和土壤中溶质迁移过程的机理是前提。然而，溶质在膨胀性非饱和土壤中的机理仍不明确，对应溶质浓度长期演化的规律仍很不成熟，相应力学本构模型研究是环境流体力学一个重要基础问题。

通常情况下，非饱和土壤内部结构为非均质、各向异性，其内部溶质迁移是一类非菲克扩散。根据溶质粒子的迁移速率，可以分为快扩散、慢扩散和特慢扩散。快扩散和慢扩散统称为反常扩散，其扩散粒子的均方位移是时间的幂率函数。分数阶导数是目前常用于描述和刻画膨胀性非饱和土壤中反常扩散的主要力学工具，能够准确刻画溶质浓度的演化规律。需要指出的是，分数阶导数是一个非局部算子，包含卷积积分，计算量比较大，且模型参数未与介质的结构特征和分形维数之间建立联系。与分数阶导数相比，豪斯道夫导数是一种局部算子，计算成本低，该导数通过幂律时空尺度变换，刻画介质的分形特征。豪斯道夫分形导数模型能够描述污染物浓度空间的扩展高斯分布和时间的扩展指数衰减，时间和空间导数分别与扩散粒子轨迹的分形维数和介质结构的分形维数建立了量化关系。因此，本项目将采用理论和实验数据分析相结合的方法，同时考虑介质变形对扩散过程的影响，引入豪斯道夫导数，建立机理明确且参数较少的力学模型。结合实验数据，给出确定模型参数的确定的方法，量化模型参数与介质结构特性之间的关系，分析模型参数的物理意义，为膨胀性非饱和土壤中的反常扩散现象提供理论依据。

2. 膨胀性多孔介质上吸收的分数扩散波方程

残差平方和为0.8274，可见拟合效果较好。而α=1.2640意味着这种扩散属于反常扩散类。（大于1属于快扩散、其中大于1小于2时表征快吸附，β大于0小于1时表征慢吸附，β等于1时表征正常吸附）相比之下，传统的扩散模型所没有的特征。

3. 结论

本文介绍了膨胀性非饱和多孔介质使用材料坐标系中的扩散表达式。结果表明，与已公布的实验室数据，可得到材料扩散系数，分形维数等参数。本实验中的阶为1.2640，意味着该介质的扩散属于反常扩散。

参考文献

[1]Ninghu Su. Equations of anomalous absorption onto swelling porous media.2009

[2]Ninghu Su. Equations of anomalous absorption onto swelling porous media.2010

[3]陈文，蔡伟，梁英杰.豪斯道夫导数模型及其工程应用[J].2018