追根溯源揭本质 拓展思维促提升
——高三数学复习的实践与思考

王 玲 (天津市武清区杨村第一中学 301700)

1 重视“课程标准与考试说明”的指导作用和“高考题”的导向功能

《普通高中数学课程标准》是教材编写、教学组织、考试评价的重要依据，对教材中的教学内容在教学中到底把握到什么程度，给出了明确的说明，《考试说明》则对高考考什么、怎么考、考多难进行了细化，高考试题是对它们最直观的解释.近几年的高考试题进一步体现了新课程的理念和要求，较好地把握了稳定与创新之间的关系，稳中有变、变中有新，试卷的框架结构保持不变，达到了知识结构、能力结构、题型结构和难度结构的合理统一.就是在这种稳定命题形式下，每年的高考成绩还是不理想，究其原因，主要还是学生只知道解题规律，总结套路，没学会如何分析、如何思考、如何运用，是解题能力上出现了问题.因此教学上要调整复习策略.

2 复习策略

2.1 教学生学会思考

在以前的复习中教师总结基础知识、解题规律和模型，学生模仿并记忆，然后进行大量训练；反复训练后学生确实能掌握一些常规模型，但时间长了发现效果并不好，说明学生还不会思考.因此，教学中要改变重结论轻过程的教学方法，重视概念、性质、定理得来过程的教学，这些知识的形成过程正是数学能力的培养过程，也是确保运算准确、合理、灵活的前提.然后再直接或间接地应用概念、性质、定理蕴含的方法解决相应的问题，同时总结应用概念、性质、定理解题的方法.

这道题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线和圆的方程等基础知识；考查用代数方法研究圆锥曲线的性质、运算求解能力以及用方程思想解决问题的能力.它确实是一道基本题，但如果平时教学中不重视这些最基础的概念和最基本的方法的渗透和应用，学生反而会把问题复杂化，甚至不知如何下手.通过直接解方程组得到点坐标的方法可能不会列入他们的选择范围，他们会搜寻一些解题套路，结果思维受阻，把它看做了一道难题.可见教学中要重视运用概念、性质、定理解题的基本方法，要教学生逐步学会应用.

2.2 教学生学会应用

数学教学的核心是发展学生的思维能力，使学生从不自觉到自觉地运用思维方法，善于对问题进行分析、综合、归纳、类比和概括，即“学会数学地思维”，从而获得对数学知识本质和规律的认识能力.复习可采用“递进式教学”策略.递进式教学根据学生思维特点和认知规律设置问题，便于学生接受，能促进学生形成良好的思维方式.具体地讲，递进式教学是利用已经掌握的典型方法、解题经验作为解决新问题时思考的基础，把一个复杂问题分解成若干个已知的简单问题，层层递进，最后破解难题．从命题的角度看，凭空编制的数学题目几乎是不存在的，递进式教学还具有还原命题者思考轨迹的功能．这对我们从更高的层次认识数学解题、学习解题方法、消除数学的神秘感也大有益处.递进式教学主要有以下两种形式：

(1)结论上递进.数学问题之间是有联系的，有些问题本身在形式上、结论上有密切的关系，有些题目的结论则是另外一些题目结论的一般化或特殊化.

例2已知q和n均为给定的大于1的自然数，设集合M={0,1,2，…，q-1}，集合A={x|x=x1+x2q+…+xnqn-1,xi∈M,i=1,2,…，n}.

(1)当q=2,n=3时，用列举法表示集合A；

(2)设s,t∈A,s=a1+a2q+…+anqn-1,t=b1+b2q+…+bnqn-1,其中ai,bi∈M,i=1,2,…,n,证明：若an

分析 第(2)问是一组数值的大小比较问题，可从最基本的数值比较开始，如37<58，479<500，大小关系非常简单，也就是位数相同的数从最高位开始比即可．如何来证明？就以479<500为例，从根源上看，可以想到数的进制，我们把479和500表达成十进制数：479=4× 102+7×101+9×100，500=5×102+0×101+ 0×100．这样一种等价的表达形式为解题提供了一种思路，我们把它推广成任意的两个三位数abc和xyz进行证明：abc=a×102+b×101+c×100，xyz=x×102+y×101+z×100，我们可以考虑比较大小的最基本方法——作差法，abc-xyz=(a-x)×102+(b-y)×101+(c-z)×100，等式右边的数值有正有负，不能直接看出它和0的关系，又由于它涉及不等关系，可以考虑不等式的证明方法，其中放缩法应用比较普遍，不妨一试．最简单的就是把右边各项放大到最大，结果成功得到-1<0，问题得证.如果把十进制数改成其他进制,此思路一样适用，而本例不就是q进制问题吗？这样第(2)问就迎刃而解了.

另外，从这道题所证结论上看，还可以这样考虑：在导数中我们经常遇到恒成立问题，处理方法主要是找最值之间的关系，借鉴这种思路，我们可以试证smax

这种方法借鉴了导数中恒成立问题的解题方法，用到的还是那些基础知识和基本的数学思想方法，但却展现了知识的一种迁移能力．因此，我们要教学生学会从相近的问题、不同的问题的解法中发现共同点，这样思维也会逐渐深化.

(2)思维方式上递进.有些数学问题是在思维方式上有一定的相似之处，通过类比，就会找到新问题的解法.我们知道，越是普通的思路、越是平凡的方法，就越有价值，越有生命力．因此，我们要引导学生探求解题思路，并尽可能地让最普通的思路获得成功，让学生感到数学解题并不神秘，在思维方式上逐渐形成正向的迁移.

仿照上面的想法，确实可以找到思路：

以上两题是思维方式上的递进，由等比数列中等量关系的解题方法想到在不等关系上的应用；不是猜测结论，而是移植推导方法.很多数学概念和性质定理的证明方法，本身就是重要的数学方法，理解证明的过程有时比记住结论更重要，因为证明过程很可能是一种有底蕴的数学方法.公式、定理是结果，指向单一而明确；而过程是生动的，它包含着更多的思想.学生能在陌生的环境下或是题目背景改变的情况下运用熟悉的知识方法解决数学问题，就是能力上的进步.

当然，一道稍复杂一点的数学问题的解决往往用到多种方法，用到的递进式策略也可能不唯一，所以学生面对复杂的数学问题还要合理选择、灵活应用，逐步学会创造.

2.3 教学生学会创造

陶行知先生说:“好的先生乃是教学生学.”我们也认为教师不仅是让学生获得学习的知识和方法，而且更为重要的是，让学生学会创造知识.当学生离开教师的指导、离开课堂，能不能独立解决问题、发现问题，面对复杂的陌生问题时能不能找到解决的方法，那就看学生是否有独立的数学思维，是否有良好的数学学习品质.我们要让学生掌握的数学知识方法活起来，而不是僵化地应用，学生必须要有自己对数学的理解，尽可能在解题时能通过转化、观察，联系到熟悉的方法，也就是化为自己熟悉的问题.一轮复习结束后可以直接进入综合复习，不再进行专题复习．因为在明确主题的情况下，学生的思维容易僵化，只会直接应用，而高考是在更广阔的背景下自己选择方法解题，这不仅需要学生有系统知识和解题方法，而且更重要的是学生面对考题能独立分析，灵活选择方法解题，这也能真正检验学生选择数学方法的能力，符合高考的方向.

例4在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x+y-4=0相切，则圆C面积的最小值为( ).

分析 这虽然是一道直线和圆的问题，但只用这些知识直接研究半径，还有些困难.答案提供的思路是把重心转移到圆心上，通过探究条件可知圆心这个动点符合抛物线定义的条件，于是突破了这个难点.利用CD=CO=r，即点C到直线2x+y-4=0的距离与到点O的距离相等，可知点C的轨迹是抛物线，可得下面解法：

可见，大多数学生在明确主题的前提下，还是能用常规方法解决一些问题的．比如复习均值不等式求最值专题时，由于指向明确，还能应用总结的那些方法解题．而我们一轮复习基本可以达到这个目的.但当综合练习时，遇到求最值问题还能不能想到应用那些方法，就是知识的迁移问题了，包括刚才这道高考题，本身不是求轨迹问题，却通过探究点C轨迹顺利解决.因此，一轮复习结束就可以直接进入综合复习，这样能更早地锻炼学生面对一些陌生的题目或题目背景时，冷静分析，灵活选择方法解题，逐步提高学生的解题能力.

3 结束语

在高三复习课中，我们要敢于舍弃原有复习模式中低效的做法，不断寻找高效的复习策略和方法，把握解决问题的核心与关键，即揭示问题的本质.只有不断改变，而且善于改变，才能使学生真正学会思考、应用、创造，从而提高学生的学习能力、思维能力，获得可持续发展的核心素养.