对一道函数试题的质疑

李瑞华 (江苏省南京市六合区程桥高级中学 211504)

王安寓 (江苏省南京市六合区实验高级中学 211500)

临近高一上学期期末，高一年级数学组组织教师编撰了3套高一数学上学期期末模拟试卷，其中选了一道高难度的函数恒成立问题(题目1)作为第3套试卷的压轴题，同时，题目1也是2018—2019年度南京市高一上学期期末统考试题的第20题(试卷压轴题)．笔者在独立解答时发现，题目1存在瑕疵．下面，笔者将对题目1的疑惑整理成文，与读者交流．

1 题目呈现，简要分析

题目1(2018—2019南京高一上期末试卷)给定区间I，集合M是满足下列性质的函数f(x)的集合：任意x∈I，f(x+1)>2f(x)．

(1)已知I=R，f(x)=3x，求证：f(x)∈M；

(2)已知I=(0,1]，g(x)=a+log2x，设g(x)∈M，求实数a的取值范围；

(3)已知I=[-1,1]，h(x)=x2+ax+a-5(a∈R)，讨论h(x)与集合M的关系．

标准答案 (1)f(x+1)-2f(x)=3x+1-2×3x=3x>0，故f(x+1)>2f(x)，从而f(x)∈M．

(3)若h(x)∈M，则当x∈[-1,1]时，h(x+1)>2h(x)恒成立，即-(x+1)2+a(x+1)+a-5>2(-x2+ax+a-5)恒成立，即x2-ax-2x+4>0恒成立．记H(x)=x2-ax-2x+4，x∈[-1,1]．

综上，-7

所以，当-73时h(x)∉M．

第(1)问的求解是正确的．由于f(x)=3x的定义域是R，所以f(x+1)的定义域也是R，问题转化为对任意的实数x，f(x+1)>2f(x)恒成立，用比较中的最基本方法——作差法求解即可(标准答案中正是如此求解)．

第(2)(3)问的求解，笔者认为是存在瑕疵的．先从形的角度对第(2)问作简要分析．

作出y=g(x),y=g(x+1),y=2g(x)的图象，我们从图象上观察，研究y=g(x+1)与y=2g(x)的函数值的大小关系．

对于不等式g(x+1)>2g(x)，有两种不同的思考切入点．①g(x+1)与2g(x)中的x不是同一个x，二者互不相干，即它们是两个自由的变量；②g(x+1)与2g(x)中的x是同一个x．

先看思考切入点①．g(x+1)与2g(x)中的x不是同一个x，两个x是自由的量，没有关系，那么g(x+1)>2g(x)，就相当于g(x1+1)>2g(x2)对任意的x1,x2∈(0,1]都成立．由恒成立的知识知g(x1+1)min>2g(x2)max，反映到图象上，y=g(x+1)的图象的所有点都在y=2g(x)的图象的上方．我们知道，y=g(x+1)的图象是由y=g(x)的图象向左平移一个单位而得到，y=2g(x)的图象是由y=g(x)的图象上各点横坐标不变、纵坐标伸长到原来的2倍而得到．左右平移时，不改变函数的值域——y值不变，因此，y=g(x+1)的值域与y=g(x)的值域相同．沿y轴伸缩会影响函数值域，因此，y=2g(x)的值域是y=g(x)的值域的2倍．

当a=0时(图1)，y=g(x+1)的值域与y=2g(x)的值域相同，那么g(x+1)>2g(x)恒成立是错误的；

当a<0时(图2)，y=2g(x)的值域y=g(x+1)的值域，那么g(x+1)>2g(x)恒成立是错误的；

当02g(x)恒成立是错误的．

综上，当a<1时g(x+1)>2g(x)是不能恒成立的．

图1 图2

图3 图4

读者会说，在一个式子中，相同的字母含义是相同的，即应该是思考切入点②：g(x+1)与2g(x)中的x是同一个x．众所周知，g(x)>f(x)对x∈I恒成立，反映到图象上，就是对任意的x∈I，函数y=g(x)的图象在函数y=f(x)的图象上方．任意的x∈I，g(x)>f(x)，即任意的x0∈I，当x=x0∈I时，g(x0)>f(x0)．反映到图象上，就是直线x=x0与y=g(x)的图象交于点P(x0,g(x0))，直线x=x0与y=f(x)的图象交于点Q(x0,f(x0))，则点P在点Q上方．

我们来看第(2)问中两个函数y=g(x+1),y=2g(x)的图象，以a=0的图象为代表(图4，另两类可一样操作)，作出直线x=x0(x0∈(0,1))，我们直观地看到，直线x=x0与y=g(x+1)的图象没有交点，与y=2g(x)的图象有一个交点；没有交点和有一个交点，如何比较交点位置？

由此可以看出，两种思考切入点都是存在问题的，从而第(2)问的解答是存在瑕疵的．那么是题目错了，还是解答过程出错了？还有别的解法吗？还有新的思考切入点吗？

命题人的意图是好的，想考查学生应用分离参数法解决恒成立问题，想考查重要的对数函数的性质、对数运算(从标准答案也能看出)，但是标准答案是错误的，或者说是有瑕疵的．为找到错误的根源，我们再来回顾以下几道题目．

2 类题再现，寻根求源

与题目1的第(2)(3)问一样要注意函数定义域的题目有很多．举例如下：

题目2已知函数f(x)=log3x,x∈[1,9]，求函数y=[f(x)]2+f(x2)的最大值．

题目3函数y=lg(x2-2x-3)的单调递增区间是( )．

A．(-∞,1) B．(-∞,-1)

C．(1,+∞) D．(3,+∞)

简解 由x2-2x-3>0得x<-1或x>3，故函数y的定义域是{x|x<-1或x>3}．因为u=x2-2x-3在x<1时递减，在x>3时递增，y=lgu在u>0时递增，且当x<-1或x>3时u>0，所以y=lg(x2-2x-3)的单调递减区间是(-∞,-1)，单调递增区间是(3,+∞)，故选D．

评注在求解题目3时，有部分学生错选了C．造成错选的原因很简单——学生忘记在函数定义域内研究函数的单调性．这种错误，每位教师上课时都会强调，且不只一次地强调．但是轮到考试，总会有学生错选．而遇到更隐秘的函数问题时，甚至部分教师也将函数定义域“束之高阁”．如题目1的第(2)(3)问．也就是说，笔者认为，题目1第(2)(3)问是遗忘了研究使式子有意义的x的范围．

题目4不等式ln(x2-1)>ln(1-x)的解集为．

简解 原不等式等价于x2-1>1-x>0，解得x<-2．故原不等式的解集为(-∞,-2)．

评注解不等式时首先要保证不等式中各式子有意义(即存在)，然后再解不等式．题目4还可以改变试题的呈现方式，得题目5．

题目5已知函数f(x)=lnx，则不等式f(x2-1)>f(1-x)的解集为．

简解 易知函数f(x)在定义域(0,+∞)上单调递增，故原不等式可化为x2-1>1-x>0，解之得x<-2，故原不等式的解集为{x|x<-2}．

评注求解题目5时，保证不等式中各式子都有意义，再应用函数单调性去掉法则f，转化为简单的一元一次、一元二次不等式组求解．如同 题目2～题目4一样，极易忽视函数定义域．

我们将题目5中的函数解析式隐去，用抽象函数命制，得到题目6．

题目6已知定义在区间(-1,1)上的奇函数f(x)在[0,1)上单调递减，则不等式f(m-1)+f(m2-1)>0的解集为．

评注无论是抽象函数不等式还是显性函数不等式，求解时都必须保证不等式中各式子有意义．无论是函数值域单调性还是解函数不等式，都离不开函数的定义域．

由题目2～题目6，我们应能想到题目1的第(2)(3)问的求解的瑕疵所在——没有考虑式子f(x+1)>2f(x)中各部分有意义，即x+1和x都得属于I．

3 对题目1第(2)(3)问的修改

题目7给定区间I，集合M是满足下列性质的函数f(x)的集合：任意x∈I，f(x+1)>2f(x)．

(1)已知I=R，f(x)=3x，求证：f(x)∈M；

(2)已知I=(0,2]，g(x)=a+log2x，设g(x)∈M，求实数a的取值范围．

对题目1第(3)问的解答做修改(题目不变)：

综上，a>-7．

所以，当a>-7时h(x)∈M；当a≤-7时h(x)∉M．

由对题目1第(2)(3)问的质疑，我们再次感受到函数定义域的重要性．在求解函数问题时，一定要记得先求函数的定义域，特别是以复合函数形式出现的题目．