基于核心素养养成的“全称量词命题和存在量词命题的否定”

李智钢

摘 要：数学概念教学在数学教学中处于核心地位。数学概念的形成过程是一个归纳、概括、抽象的过程，概念学习过程应是一个探究的过程。在探究过程中体会其产生的必然性以及本身蕴含的哲理性，认识概念的内涵和外延，促进数学抽象、逻辑推理等核心素养的发展。

关键词：量词;教学设计;概念教学;核心素养

数学概念教学在数学教学中处于核心地位。数学概念的形成过程是一个归纳、概括、抽象的过程，概念学习过程应是一个探究的过程。在探究过程中体会其产生的必然性以及本身蕴含的哲理性，认识概念的内涵和外延，促进数学抽象、逻辑推理等核心素养的发展。

一、内容和内容解析

“全称量词命题和存在量词命题的否定”是人教A版普通高中教科书数学必修第一册第一章集合与常用逻辑用语1.5节第2课时。

“全称量词命题和存在量词命题的否定”是学习了1.5.1全称量词与存在量词后，继续对于含有一个量词的命题的否定形式的深入探究。这更能体现两种命题之间的关联性。全称量词命题“”是假命题，那么就说明存在反例，也就是说“”不成立，也就是说，“”与“”是一真一假的关系，从而验证了“”的否定是“”，即全称量词命题的否定是存在量词命题。同样，如果判断一个存在量词命题“”是假命题，也就是说，不存在成立，说明对所有的不成立，即“”成立，进而说明了“”的否定是“”，即存在量词命题的否定是全称量词命题。

对全称量词命题和存在量词命题的否定，体现了它们之间的相互既对立又统一的关系，一方面“所有”的否定是“不是所有”，就是存在反例，另一方面“存在”的否定是不存在，就是“都不”，这两者之间的逻辑关系非常有助于处理很多数学问题，会对今后的学习起到重要的作用。

另外引入了新的数学符号“”“”“”，以及特定命题的数学符号表示：;;;。鼓励学生多使用符号语言，对数学内容进行表达，体会其简洁、准确的特点。从而培养学生能够准确地运用符号语言表达数学内容的良好习惯。

基于以上分析，确定本节课的教学重点：使用存在量词对全称量词命题进行否定，使用全称量词对存在量词命题进行否定。

二、目标和目标解析

（一）通过学过的数学实例，理解全称量词命题的否定是存在量词命题和存在量词命题的否定是全称量词命题的规律。

（二）初步使用量词、否定等符号进行数学表达、论证和交流，提升逻辑推理素养。

达成上述目标的标志是：

1.通过引入对一个数学命题进行否定，可以得到一个新的命题，称为原命题的否定，举例体会一个命题和它的否定只能一真一假的规律。通过对数学中一些简单的含有一个量词的全称量词命题和存在量词命题进行否定，分析得到新命题的特点，引导学生归纳出全称量词命题和存在量词命题的否定的一般形式，体会如何正确的使用存在量词对全称量词命题进行否定，以及如何正确使用全称量词对存在量词命题进行否定。加深全称量词命题的否定是存在量词命题和存在量词命题的否定是全称量词命题的规律理解。

2.通过一些熟知的数学事实，改写成含有一个量词的命题，并对其进行否定或者加以证明，体会符号语言表达数学内容的准确性、简洁性，引导学生在今后的数学学习中，自觉地运用符号语言表达数学内容，交流数学对象。

三、教学问题诊断分析

对两种命题的否定，应多从逻辑上进行引导，可以借助真假性加以引导判断，这样更容易接受，否定全称量词命题，将否定放到语句的哪个位置，学生是需要思考和判断的。学生很容易出现的错误就是把“”作为全称量词命题的否定形式。例如：命题“所有的矩形都是平行四边形”容易错误的否定为“所有的矩形都不是平行四边形”，那么在教学过程中就需要借助举例子并判断真假来说明，如果全称量词命题是假命题，那么说明存在一个反例，强调“并非都是”是否定全称量词命题的关键点，最终通过逻辑推理，确定它的否定形式应是将全称量词转化为存在量词，并将后面的语句进行否定，即“”，也就是说，“都是”的反面不是“都不是”，而是“不都是即存在不是的”。同样，对于存在量词命题的否定也需要深刻理解，学生经常会忽视量词的转换而仅去否定语句，如果不能充分引导，那么就无法培养好学生的逻辑思维和转化思想。通过举例子帮助学生思考辨析“存在量词”在语句中的作用，要否定“存在成立的”，就需要说明是“不存在成立的”，也就是“都不成立”，需要让学生充分理解这个逻辑上的转换。这样在学生对于这两种命题的否定充分理解之后，让学生能够通过归纳总结出含有一个量词的命题的否定需要“改量词，否结论”，逻辑推理和等价转化上也同时能得到提高。

本节课的教学难点是正确地写出含有一个量词的全称量词命题和存在量词命题的否定并判断其真假。

四、全称量词命题和存在量词命题的否定

（一）概念的引入

一般地，对一个命题进行否定就会得到一个新的命题，这一新命题称为原命题的否定。生活中的字词如何否定？“否定”的含义是什么？

生活中，一般加否定词“不”字，含义是“取反”。如：

对（错）真（假）

是（非）善（恶）

正（反）美（丑）

你能从生活中的“否定”中得到启发，对数学概念进行否定吗？

數学中“否定”时也常常添加“不”字。如：

集合 属于（不属于）包含（不包含）

等式 相等（不相等）不等式大于（不大于或小于等于）

若换为数学符号还会进行否定吗？

集合∈（）（）

等式=（≠）不等式>（≤）

“x，y都是零”如何否定？（不妨从几何角度进行思考，如图一所示将x与y视为平面直角坐标系内，点的横、纵坐标）。

点P是原点，点P不是原点。

O（0，0）点P可在坐标轴上，也可在象限内。

“x，y都是0”“x，y不都是0”与“x，y都不是0”

哪个是正确的否定？

教师与学生共同归纳总结：由生活中词语的否定有“取反”的意思，过渡到数学中词语的否定往往可以添加“不”或者“无”等常用否定词。体会否定与“取反”的联系。感受数学来源于生活高于生活，感受数学符号作为数学语言在表达上的简洁。

一个命题和它的否定能够同真或者同假吗？你能否结合具体的例子加以解释？

师生活动：学生独立思考，举出数学实例，交流讨论。

追问：命题和命题的否定有怎样的真假关系？

师生活动：教师与学生共同归纳总结：一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假。

从学生熟悉的简单命题出发，进一步体会添加常见的否定词“不”字的作用。归纳总结命题和命题的否定的真假相反关系。

你能否从集合运算的角度或物理电路的角度再解释一下否定的含义呢？

师生活动：学生回忆已学的集合运算的知识，以及物理电路的知识，对命题与命题否定真假关系的“对立性”含义加以解释。

从学生熟悉的知识出发，借助前面集合知识，物理学科电路知识进行分析深刻理解命题和命题的否定的真假相反关系。

（二）概念的形成

命题：“所有的学生都戴眼镜”有两种否定方式。

生甲：“并非所有的学生都戴眼镜”。

生乙：“所有的学生都不戴眼镜”。

你觉得哪种否定说法正确？为什么？

师生活动：学生独立思考，交流讨论，做出判断说明理由。

追问：能否从命题与命题的否定的真假关系角度思考，给出正确的判断？

师生活动：学生分析命题及两种命题的否定的真假，结合二者真假关系，给出正确的判断。

从学生熟悉的情境出发，引入全称量词命题的否定问题。通过命题及命题的否定的真假关系帮助同学们认识到正确的否定方式。为后续探究全称量词命题否定的符号表示做铺垫。

（三）概念的巩固应用

写出下列命题的否定，并判断真假：

（1）任意两个等边三角形都相似;

（2）x∈R，x2-x+1=0。

师生活动：学生分析题意，给出解题思路。教师根据学生情况，可以就以下问题进行追问。然后在学生回答的基础上进行板书示范。

追问：

（1）三角形相似的判定定理是什么？如何判断存在量词命题为假命题？

（2）解一元二次方程的实根方法？如何证明全称量词命题为真命题？

（四）单元小结、布置作业

教师引导学生回顾本单元所学知识，并引导学生回答下面的问题：

（1）请用结构框图表示本节所学的知识。

（2）如何否定含有一个量词的全称量词命题和存在量词命题？你能举例说明吗？

五、目标检测设计

教材35页复习参考题1，复习巩固7。

写出下列命题的否定，并判断它们的真假：

（1）a∈R，一元二次方程x2-ax-1=0有實根;

（2）每个正方形都是平行四边形;

（3）;

（4）存在一个四边形ABCD，其内角和不等于360°。

考查学生是否会对含有一个量词的命题进行否定，以及是否会判断全称量词命题、存在量词命题的真假。

参考文献

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018.

[2]史宁中，王尚志.普通高中数学课程标准（2017年版）解读[M].北京：高等教育出版社，2018.

[3]深度学习：走向核心素养（理论普及读本）[M].北京：教育科学出版社，2018.

[4]数学学科德育：新视角，新案例[M].北京：高等教育出版社，2007.

[5]史宁中.高中数学核心素养的培养评价与教学实施[J].中小学教材教学，2017（5）：4-9.

[6]追求理解的教学设计（第二版）[M].上海：华东师范大学出版社，2017.