具有非线性自食的L-V竞争系统局部稳定性研究具有非线性自食的L-V竞争系统局部稳定性研究

2021-11-04 02:46雷朝铨刘楚蕾许丽莉
龙岩学院学报 2021年5期
关键词:行列式平衡点动力学

雷朝铨,刘楚蕾 ,许丽莉

(1.宁德师范学院 福建宁德 352100;2.厦门大学 福建厦门 361005)

自然界中,物种同类相食是一种很常见的现象,这可能是由于缺乏食物等原因引起的。已经有很多学者提出各种具有自食的生态种群模型[1-6],并对模型展开研究,但大部分工作都是假设自食是线性的。2016年ALADEEN等学者[7]才提出具有非线性自食的Leslie-Gower捕食—食饵模型,并研究了模型的动力学行为。受文献[6]启发,笔者提出如下具有非线性自食的Lotka-Volterra竞争模型:

(1)

令(x(t),y(t))表示系统满足初值条件x(0)>0,y(0)>0的解,且只考虑系统在Ω0={(x,y)∈R2|

x≥0,y≥0}上的动力学行为。易证系统(1)的解是正且有界的。

1 平衡点的存在性

系统(1)的平衡点满足以下方程组:

(2)

(3)

将式(3)化为

αx2-(r+c1-c-αd)x-d(r+c1)=0。

(4)

得到式(4)的判别式

Δ1=(r+c1-c-αd)2+4αd(r+c1)>0。

(5)

系统的正平衡点满足方程组:

(6)

Ax2+Bx+C=0。

(7)

其中,A=mn-αβ,B=d(mn-αβ)+β(r+c1-c)-mb,C=d[β(r+c1)-mb]。

而式(7)的判别式为

Δ=[β(r+c1-c)+d(mn-αβ)-mb]2-

4d(mn-αβ)[β(r+c1)-mb]

=[β(r+c1-c)-d(mn-αβ)-mb]2-4cdβ(mn-αβ)。

(8)

(9)

根据A的正负,分以下几种情形对正平衡点展开讨论。

因此,当

定义函数f(x)=Ax2+Bx+C,则有

(10)

因此,当

因此,当

因此,当

因此,当(H7),(H8),

(H10)

Δ=0,

因此,当(H4),(H7),(H8),(H11),(H12),

(H13)

Δ>0,

因此,当(H7),(H8),(H11),(H13),

因此,当(H8),(H9),

2017年河北省非油气持证矿山企业综合利用产值17.86亿元,较上年增加10.4亿元;实现矿产品年销售收入506.25亿元,较上年增加107.33亿元;实现利润总额69.28亿元,较上年增加40.87亿元。

综上所述,得到如下结论。

(2)若满足以下条件之一:

(7)若系统均不满足(1)-(6)的条件,则系统不存在正平衡点。

2 平衡点的局部稳定性

系统(1)的Jacobi行列式为

(11)

定理2 在系统(1)中,E0(0,0)始终是一个不稳定结点。

证明系统在平衡点E0(0,0)处的Jacobi行列式为

J(E0)的特征值为λ1=r+c1>0,λ2=b>0,因此E0(0,0)始终为不稳定结点。

证毕。

定理3 在系统(1)中,

证明由于x1满足(3)式,因此系统在平衡点E1(x1,0)处的Jacobi行列式为

定义函数g(x)=αx2-(r+c1-c-αd)x-d(r+c1),可知x1是g(x)唯一的正零点。

证毕。

定理4 在系统(1)中,

证毕。

定理5 在系统(1)中,

证明:为便于讨论,将系统的正平衡点统一记为E*(x*,y*)。由于正平衡点满足式(6),因此系统在正平衡点E*(x*,y*)处的Jacobi行列式可化简为

(12)

由Routh-Hurwitz判据可得,正平衡点E*(x*,y*)是局部渐近稳定的充要条件为DetJ(E*)>0,即

cdβ-(x*+d)2(mn-αβ)>0。

(13)

(-B+2dA)(x*+d)-2cdβ<0,

(14)

当Δ>0时,有

3 结论

众所周知,经典的Lotka-Voterra竞争模型至多有4个平衡点,其中正平衡点最多1个,本研究表明,考虑自食之后,系统的正平衡点具有多种情形,适当条件下可以有0、1或者2个,特别有2个正平衡的情形下,有一个是局部渐近稳定的,一个是不稳定的,也就是说,在这一情形下,正平衡点不可能是全局稳定的,这是与Lotka-Volterra竞争模型完全不一样的动力学行为。

本研究只探讨了该系统的平衡点的存在性和局部稳定性,在后续工作中将对系统的全局动力学行为展开研究。

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