具有马尔可夫链的二维罗塞尔系统的异步输出反馈耗散控制

叶志勇，罗良刚，罗小玉

重庆理工大学 理学院，重庆 400054

近年来二维系统的控制问题受到了广泛关注，得到了极大发展[1-6]．

耗散系统是由Willems在1972年提出，然后由Hill和Moylan进行了推广，使得耗散性在系统和控制系统中起重要作用．耗散性理论概括包含了无源性定理、 有界实引理、 Kalman-Yakubovich-Popov引理和圆判据[7-9]．因此，耗散性及其在控制和滤波中的应用受到广泛关注并且取得重大突破，得到许多新的理论和结果．针对连续时间[10]和离散时间[11]系统的耗散控制器的设计方法被提出．文献[12]考虑随机发生的一种分布式时滞，利用凸优化和随机分析理论，保证了得到的误差系统在耗散性下的稳定性．而对于不确定扰动的T-S模糊系统，文献[13]提出基于非并行分布补偿的严格耗散标准，利用控制器增益中的有界不确定性来处理控制信号增益的实际元件不确定性和使用多李雅普诺夫函数进行控制器综合，得到了相对保守的设计条件．

带有马尔可夫跳的系统也是研究邻域的热点，马尔可夫链的优势在于擅长对突然改变的结构或参数变化进行建模．文献[14]研究了一类马尔可夫跳系统在连续时间和离散时间条件下的非脆弱控制问题，其构造了一个随机正李雅普诺夫函数，基于增益矩阵分解技术，利用李雅普诺夫函数设计了一组模态相关的状态反馈控制和吸引域增益．文献[15]研究了具有乘性噪声的离散时间奇异马尔可夫跳系统的耗散控制，并针对系统模态与控制器模态之间的异步现象，构造了一组马尔可夫链，最后利用线性矩阵不等式给出了保证耗散性和稳定性的充分条件．

虽然目前大多数的研究方向都集中在同步的控制器和滤波器上[17-19]，但同步的控制器和滤波器往往不符合现实，需要的条件过于苛刻，在实际中，控制器或滤波器的模式不能完全跟随系统模式转换，因此，异步控制器/过滤器更现实，也更可取，并且越来越受到关注[20-21]．文献[20]建立了对二维马尔科夫跳的罗塞尔系统的H∞控制问题．文献[21]研究了离散马尔可夫跳系统的无源异步控制问题，采用隐马尔可夫模型描述了系统模式与控制器模式之间的异步现象，利用矩阵不等式技术，给出了保证隐马尔可夫跳变系统随机无源性的3个等价充分条件．因此，我们研究了具有输出反馈控制器的二维罗塞尔系统的异步耗散控制和稳定性，并给出了具有输出反馈控制器的系统的稳定性和耗散的充分条件．

1 预备知识

在这篇文章中，我们将研究下列含有马尔可夫跳的二维罗塞尔(Roesser)模型：

(1)

其中：

xh(i，j)∈Rnh表示在水平方向的状态，同理，xv(i，j)∈Rnv表示在垂直方向的状态，u(i，j)∈Rnu表示控制输入，ω(i，j)∈Rnω表示扰动输入，y(i，j)∈Rny表示输出，z(i，j)∈Rnz表示控制输出．A(γi，j)，B(γi，j)，C(γi，j)，E(γi，j)，F(γi，j)，G1(γi，j)，G2(γi，j)，G3(γi，j)，G4(γi，j)都是已知的相应维数的实值矩阵，它们都是γi，j的函数，γi，j是马尔可夫链．γi，j∈H1={1，2，…，k1}并且具有转移函数矩阵Λ=(λpq)，

(2)

这里的δ>0并且γi，j≥0是从i到j的转移率．

注1本文研究的系统是带有马尔可夫跳的．不带马尔可夫跳的情形，能够作为本文的一个极其特殊的情况．

根据现代概率理论，对∀p，q∈H1有

(3)

系统的边界条件(X0，Γ0)被定义为

(4)

定义零边界条件：xh(0，j)=0，xv(i，0)=0，i，j=0，1，2，…．下面对X0进行假设．

假设1假设X0满足下列条件，

(5)

这里的E(·)表示数学期望，|·|表示欧基米德范数．

假设γi，j的准确数值是难以获得的．若(1)式中F(γi，j)为空矩阵，B1(γi，j)为列满秩的矩阵，本文将设计如下异步输出反馈控制器：

(6)

其中：Ac，11(ηi，j)，Ac，12(ηi，j)，Ac，21(ηi，j)，Ac，22(ηi，j)，Bc，1(ηi，j)，Bc，2(ηi，j)，Cc，1(ηi，j)，Cc，2(ηi，j)，K(ηi，j)都表示表示控制增益，其中ηi，j是决定控制增益的参数，ηi，j∈H2，H2={1，2，…，k2}．同时由γi，j得到条件概率πps，即

πps=P{ηi，j=s|γi，j=p}

(7)

本文利用蒙特卡洛方法得到条件概率矩阵Π=(πps)且满足条件

1)πps∈[0，1]，

对任意的p∈H1，s∈H2．

为了方便计算，分别用p，q，s表示γi，j，γi+1，j(γi，j+1)和ηi，j，即Ap表示A(γi，j)．

将(6)式代入(1)式，得到下面的闭环动力系统：

(8)

这里的

下面根据一维系统的耗散性给出带有马尔科夫跳的二维罗塞尔系统的严格的2D(Q，S，R)-α耗散性定义和系统渐近稳定性．

定义1[20]对二维闭环系统ξ，输入ω(i，j)≡0若对任意边界条件(X0，Γ0)满足

(9)

则称二维闭环系统ξ是渐近均方稳定的．

定义2[20]假设二维闭环系统ξ满足假设1，如果在零边界条件和ω(i，j)∈l2{[0，∞)，[0，∞)}下，下列条件成立

(10)

注2(10)式是由Willems所提出的耗散不等式．

本文将设计一个形如(6)式的异步控制器来保证二维罗塞尔系统ξ的渐近稳定性和2D(Q，S，R)-α耗散性能．

2 主要结论

本节将研究对于带有马尔科夫跳的二维罗塞尔系统ξ的渐近均方稳定性和严格的2D(Q，S，R)-α耗散并提出控制器的设计方法．首先给出一个充分条件：

定理1在假设1的条件下思考闭环二维系统ξ，对给定的α>0以及对称矩阵Q和R，其中

(11)

(12)

其中

则系统ξ是渐近均方稳定的和严格2D(Q，S，R)-α耗散的

证首先定义一个新的矩阵Λ：

(13)

将矩阵(12)前乘Λ，后乘ΛT，那么矩阵(12)转换为下列矩阵

(14)

基于舒尔补定理，下列线性矩阵不等式与矩阵(14)是等价的：

(15)

(16)

对ΔV(i，j)求期望得

(17)

基于φ1得

(18)

将(18)式带入(17)式得

(19)

根据(19)式得到

(20)

另一方面，

(21)

(22)

下面让m和n趋于无穷大，

(23)

(24)

这表示(9)式成立，所以系统ξ是渐近均方稳定的．

(25)

根据舒尔补定理，矩阵(12)的期望等价于

(26)

这里的

下面定义J，由(11)式和(26)式得到

(27)

这里的

注意到

(28)

在零边界条件下结合(27)，(28)式有

(29)

根据定义2系统ξ是严格的2D(Q，S，R)-α耗散．定理得证．

注4通过选择Q=0，S=I和R=2αI，得到系统ξ是无源性的条件，即满足

注5通过选择Q=-I，S=0和R=(α2+α)I，得到了系统ξ是H∞性的条件，即满足

虽然定理1给出了一个形式简单的充分条件，但由于非线性的存在，将其直接用于控制器设计是困难的．接下来进一步研究控制器的设计方法．

(30)

这里的

(31)

(32)

然后将(33)式前乘diag{M-1，I，I，I}和后乘diag{M-T，I，I，I}．

(33)

这里的

注6定理2通过松弛矩阵技术和变量替换处理矩阵不等式(11)和(12)所涉及的非线性问题，成功地将控制设计问题转化为一个基于LMI的问题，利用Matlab可以轻松地解决该问题．

3 数值模拟

本节将使用Darboux方程来验证控制器的有效性．这里选择以下的马尔可夫跳跃系统，相应的系统矩阵如下所示：

G3=0.05G4=0.6

由马尔可夫跳跃组成的系统矩阵满足以下转移概率矩阵和条件概率矩阵：

然后利用定理2中提出的控制器设计方法得到如下控制器增益：

接下来，将通过比较有控制输入和无控制输入时系统状态的演化来进一步证明其有效性．因此，有必要提出边界条件：

而w(i，j)是满足正态分布的随机数，根据这些零边界条件和系数条件可以得到不带有控制输出的开环系统．选择Q=-1，S=1，R=3，得到Qc(Ti，Tj)(图1)与随机场状态z(i，j)(图2)．从图1可知参数α的最小值，即α=1.927 1．图2可知控制器能有效地稳定开环系统．

图1 Qc(Ti，Tj)

图2 随机场状态Z(i，j)

5 结 论

本文研究了基于罗塞尔模型构建的二维马尔可夫系统的2D(Q，S，R)-α耗散控制问题．考虑到系统模式信息的不可获取性，我们将研究重点放在了异步控制上，建立了被控二维系统与控制器之间异步的隐马尔可夫模型．将一维系统的耗散性定义推广到二维系统，得到了保证系统渐近均方稳定性和2D(Q，S，R)-α耗散的充分条件，并且通过优化技术给出了一种控制器的设计方法．在之后的工作中，将考虑在有限域上开展异步控制器的设计及其有效性论证的工作．