科学类比巧归纳 逻辑思考重推理——小学数学计算中的逻辑推理

福建省厦门市湖里区教师进修学校第二附属小学 林伟路

数学计算中的逻辑推理又称数字符号化的逻辑推演法，它是从不加证明的公理（基本运算定律）和基本对象出发，按照逻辑规则推导出计算结果的思维过程。推理能力是义务教育数学新课标提出的十个核心素养之一，它包括合情推理和演绎推理。其中，合情推理是从已有事实出发，依据已有数学知识经验或数学直觉等，通过归纳或类比等推断某些结论的过程，包括类比推理和归纳推理，归纳推理又包括完全归纳推理和不完全归纳推理。演绎推理是从已有事实和确定的公理出发，按照逻辑推理的法则进行证明和计算的过程。在小学数学计算教学中，合情推理是为了让学生理解算理，而演绎推理则是运用算理和算法进行计算。在解决实际问题的过程中，两种推理功能虽不同，但相辅相成，合情推理用于探索新思路、归纳新发现，演绎推理则用于结论的论证和应用。下文结合人教版计算课例的教学谈了几点思考，以期抛砖引玉。

一、应用归纳推理理解运算定律

归纳推理是指由某个事物的部分特征，推出该事物的全部具有这些特征，或者由个别事实概括出一般结论的推理。根据所提供事物对象的范围，归纳推理又分为完全归纳和不完全归纳，完全归纳提供了该类事物的全部对象，而不完全归纳仅仅提供某类事物的部分对象。小学数学计算教学中的大部分运算定律的推理采用的是不完全归纳推理的方法。归纳推理在小学运算定律、数量关系、计算公式与性质等教学中都有运用，如加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律和乘法分配律等运算定律以及小数的性质、积的变化规律、商的变化规律、分数的基本性质等内容都有明显的规律性，学生已有相关的知识经验，都可以运用归纳推理来学习新知识。在实际教学中，教师可以创设有效的学习情境，让学生在情境中体验观察、猜想、对比、抽象和归纳的过程，感受规律的存在，再引导学生通过举例验证等方式归纳运算定律，并注意总结用归纳法获得知识的方法与步骤。比如，加法交换律是学生学习定律的开始，这一节课的教学应该以探究定律和归纳推理的过程为教学的重点。在课堂教学中，教师应为学生设计交换加数位置和不变的问题情境，让学生通过动手列式计算，观察并猜测“和不变”的特征。在此基础上，引导学生理解单纯由几道题是不能直接概括出规律的，还要多举例验证，通过举例验证后归纳概括出的结论才具有一定的科学性。当学生归纳出规律后，教师还要引导学生回顾刚才发现规律的过程，为学生今后运用归纳推理探索与发现规律奠定基础。

图形的周长、面积和体积计算公式以及单价、数量、总价等数量关系的推导，在小学阶段是不需要用演绎推理的论证方式进行教学的，主要采用归纳推理的教学方法。例如，学生在学习长方形的面积时，教师创设长方形长和宽变化引起长方形大小变化的动态情境，激励学生勇于猜想长方形的面积与什么有关、有什么联系。接着再准备几个1 平方厘米的小正方形卡纸，让学生经历动手摆拼成长方形，填写长、宽和面积的变化表，观察归纳长方形的面积与长、宽之间的关系，并通过直观演示让学生理解“长方形面积=长×宽”的算理。通过这样的学习活动，学生在以后探索计算其他图形面积时就会大胆猜想，而且能灵活运用归纳推理发现数量关系，概括总结计算公式规律，从而提高学生的运算能力。

二、借助类比推理探索创新规律

类比推理是通过对两个研究事物进行比较，依据它们某个方面（属性、关系、特征、形式等）的相同或相似之处，推想在其他方面它们也可能有相同或相似之处的一种推理方法。类比推理所得到的结论是通过对两个研究事物的观察比较和分析联想以形成猜想来完成的，是一种由特殊到特殊的推理方法。学习和运用类比法推理可以使我们的观察力、思考力和推理能力得到很好的锻炼。在各种逻辑推理方法中，类比思想方法是富有创造性的一种方法。大数学家拉普拉斯曾经说过：在数学世界中，发现真理的主要工具是归纳和类比。由此可见，类比推理的渗透对于学生的知识迁移与系统建构，培养学生的创造能力有着至关重要的作用。

数学计算教学中的类比推理无所不在，万以内数的认识与大数的认识、分数的基本性质与商不变的性质、小数乘法与整数乘法、分数与百分数、整数四则运算定律推广到小数等都有可以类比之处。在类比中让学生体验知识的内在联系，感悟发现知识的形成过程和方法。如“分数的基本性质”是在学生学习了商不变性质和分数与除法关系的基础上进行学习的，这是培养学生类比推理能力的最好教材内容。教师在课堂上先对除法中商不变的规律进行了复习，而后又复习了分数与除法之间的关系，这为学生建立起分数基本性质与除法商不变规律之间的类比联系奠定了基础。接着，教师鼓励学生根据分数与除法的密切关系进行大胆的猜想，并借助生动的“分饼故事”，为学生提供了进行操作的素材，让学生经历涂色和折纸，感受2/4、3/6、4/8 三个分数的分子与分母虽不同，但分数的大小相等。紧接着，教师进一步引导学生观察研究三个分数的分子和分母有什么变化规律，初步发现规律后，教师又引导学生通过举例验证类比推理出分数的基本性质。在总结环节，教师引领学生回顾本节课是如何探究分数基本性质的学习过程，总结类比推理的步骤和方法，为学生今后运用类比推理探究新知打下了坚实基础。这不仅有助于学生对已学知识进行纵向比较，同时也培养了学生类比推理的能力，在观察、猜想、操作、验证和归纳的过程中，学生探索能力、科学精神和创新意识都得到了发展。通过在教学过程中渗透类比思想，学生可以较为容易地从已知的事实出发，按照确定的规则进行逻辑推理、证明和计算，经历从一般到特殊的推理过程，从而发展演绎推理。同时，从已有的事实和经验出发，通过归纳和类比等形式进行推断，以获得一些可能性结论，经历从特殊到一般的推理过程，从而培养合情推理。

三、利用演绎推理导出一般公理

演绎推理就是从公理出发，经过推导演绎得出具体的个别结论的过程。它的重要意义在于，演绎推理的逻辑形式对人的思维保持严谨性与一贯性有着不可替代的作用。演绎推理在小学阶段绝大部分的运算定律、面积、体积和数量关系等计算公式中有着广泛运用，如周长=（长＋宽）×2=长×2 ＋宽×2、125×88 的竖式计算和简便运算125×88=125×80 ＋125×8 等，都是运用了乘法分配律来进行演绎推理。再如运用加法交换律、加法结合律或者乘法交换律、乘法结合律、连除的性质等运算定律来进行简便计算，使得等式两边大小仍然相等，也是利用了演绎推理的思考。解方程时，采用等式的性质1、等式的性质2 或者加减乘除四则运算各部分之间的关系来解题，也是这些公式或性质在具体问题中演绎推理的应用。

演绎推理在数学逻辑推理中还有特别的应用，还能帮助学生感悟抽象的极限思想。在教学“循环小数”教学中，教师除了重视学生的自主探究过程，重视对循环小数相关概念的教学外，还要重视让学生体会极限的思想。如0.999……=1，对吗？为什么？引导学生分析理解1-0.9=0.1，1-0.99=0.01，1-0.999=0.001，1-0.9999=0.0001，1-0.9999……=0，仔细观察随着小数部分9 的个数不断增多，与1 的差距逐渐减小，而0.999……=1 这一问题是极限思想解决问题的典型案例，学生解决问题的过程就是对极限思想的感悟过程。

归纳推理、类比推理和演绎推理三者构成了计算教学中的小学数学逻辑推理能力。计算中的逻辑推理能力通俗地说是指人们通过敏锐的数据分析，并以此为主要依据，快速地在脑中搜索已掌握计算中的数与式、方程与不等式等内容的概念、性质、运算法则以及解法，并在短时间内找到相应的运算策略推理出正确结果。由于学生的思维尚处在具体形象思维阶段，学生的年龄和心理特征决定了小学数学教学中的逻辑推理以合情推理为主，通过合情推理理解算理，帮助学生了解算法的本质，提升数学素养。计算是数与代数的主要内容和主线，计算本身是严格的演绎推理，它的每一步都是根据运算律或运算法则进行的，通过计算教学中学生逻辑推理能力的培养，能有效提升学生的运算能力与推理能力。