从概念出发思考高等数学教学中蕴含的哲学思想

马明娟 陈炟名 刘乃嘉

摘要：概念是高等数学中比较难理解的内容。为了更好的理解概念的本质，本文从有限和无限的对立统一、内容和形式的对立统一、量变和质变的对立统一、近似和精确的对立统一等哲学的角度去分析概念的本质和内涵，从而为概念在高等数学中以及现实生活中的应用奠定了基础。

关键词：对立统一有限无限量变质变内容形式近似精确

概念（Idea;Notion;Concept）人类在认识过程中，从感性认识上升到理性认识，把所感知的事物的共同本质特点抽象出来，加以概括，是本我认知意识的一种表达，形成概念式思维惯性。在人类所认知的思维体系中最基本的构筑单位。中华人民共和国国家标准GB/T15237.1-2000：“概念”是对特征的独特组合而形成的知识单元。德国工业标准2342将概念定义为一个“通过使用抽象化的方式从一群事物中提取出来的反映其共同特性的思维单位”。从广义上讲：事物能够改变模型的性质称为事物的概念。

在文献[1][3][4]中，作者从几个简单的概念进行了描述。高等数学是一门基础学科，所涉及到的概念非常多，如何能够相对统一的从概念本身出发充分认识其内涵和外延，对于概念的理解也至关重要。本文从哲学的角度去分析高等数学中一些概念所呈现的思想，分析概念的本质，从而更好地了解概念的抽象过程、概念的发展过程、概念的系统或体系的形成过程，为更好的运用打下坚实的基础。

有限和无限的对立统一

无限由有限构成、无限不能脱离有限而独立存在。有限并不存在于无限之外，它是构成无限的环节、部分和因素。

高等数学中很多概念体现了这一思想，比方说极限、导数、积分。其

中导数和积分最终都表示成了特殊形式的极限，因此我们就以极限的表达

M M0

从左边看是无限向有限的转化，自变量一直在发生变化。从右边看，得到一个精确的数值，是有限中包含着无限。因此说，这也就是有限和无限的对立统一。

n 1

n

1

部分和序列。如果存在极限，设为S，说明u1 u2 u3     un+

这无限项相加能加出一个结果S，称为级数  un的和，此时称级数  un

n 1n 1

是收敛的，否则就是发散的。可见，我们用有限sn讨论了无限  un。

n 1

内容和形式的对立统一

内容与形式是辩证法的一对基本范畴。内容是事物一切内在要素的总和。形式是这些内在要素的结构和组织方式。空间解析几何中的一些概念、微积分基本公式、格林公式、高斯公式等等都是这方面很好的体现。我们就以空间解析几何中的数量积和向量积来看。

从形式上来看，就是两个向量点乘和叉乘。但是从内容上来看描述的是一类问题，所有抽象成不在同一方向上的两个量的计算。任何事物既有其内容，也有其形式，不存在无内容的形式，也没有无形式的内容。数量积和向量积，内容的不同，形式也是不一样的。内容决定形式，形式服从内容，并随内容的变化而变化。内容是经常变化的，形式相对比较稳定。当我们求磁通量、电荷等相关内容时我们也会想到这一形式，利用向量的数量积来表示。事实上，直角平面坐标、极坐标、空间直角坐标、球面坐标、柱面坐标，都是利用代数形式反映几何内容。数学的形式化、符号化不仅使数学本身受益非浅，而且给人类文化科学提供了通用简便的形式语言。

量变和质变的对立统一

任何事物都是质和量的统一体。量变和质变既有区别又有联系，两者之间有着辩证关系。事实上，这方面的概念有很多，所有最终转换成极限形式的一些概念都是这方面的体现形式。定积分、导数、连续、二重积分、线积分、面积分、体积分等等。这些概念最具代表性的就是定积分。为了求曲边梯形的面积，先将该曲边梯形分割成若干个小曲边梯形，每一个小曲边梯形的面积可以由小矩形的面积近似，这些个小矩形面积的和来近似原曲边梯形面积。因为所求的值仅为近似值，所以上述过程是量变的过程，没有发生质的飞跃。当分割无限加细，也就是各个小曲边梯形的最大宽度趋于零时，就得到原曲边梯形面积的精确值，这也就发生了从量变到质变的飞跃。从我们的计算的过程来看，也充分的说明量变是质变的准备，量的变化达到一定的度，就不可避免地引起质变，质的变化才导致事物根本性质发生变化。事实上，数学理论的形成過程就是从量变到质变的过程，学生的学习过程也是一个由量变到质变的积累过程，对于高等数学这种理论抽象、论述严谨、学习难度较大的学科，不能急于求成，要循序渐进，最终才能达到具有观察能力、思维能力、推理能力和创新能力的这样的质的飞跃。这也好比我们平时遇到困难也是一样，我们要分析事情的前因后果各个去击破，最终达到质的飞跃，从而很好的解决问题。

近似和精确的对立统一

对事物的近似认识不是不科学的表现，从粗略的近似到精确的计算，是认识的必由之路。只有在近似认识的基础上才能进一步得到精确值。微积分的发展史也很好的说明了这一点。正是由于这种精益求精的精神，牛顿和莱布尼兹在前人近似的基础上创立了微积分。事实上，高等数学中涉及到近似到精确的相关概念也有很多，导数、定积分、曲线弧长、体积计算等等，这些都是采用“以直代曲”“化整为零”“以不变代变”这种从近似到精确的思想。以导数为例进行说明。在导数概念产生之前，我们利用平均速度来近似瞬时速度。平均速度表示的是一个时间间隔上物体运行状态，如何精确的表示物体在某一时刻的状态，也就是我们要求的瞬时速度，就可以用平均速度的极限来表示，这就实现了从近似到精确的转化，利用函数的导数来精确描述。

结束语

总之，数学的一些概念中处处蕴含着哲学思想，而且这些思想也不是孤立的。很多概念是多种思想结合，这就要求数学教师应具备足够的哲学知识，并能用哲学的观点去分析数学的发展，从事数学教学，这才能变抽象枯燥为具体生动。而且教师若能在自己的教学中注意用唯物辩证观引导学生，加强哲学思想的渗透，这不仅能够使学生更好的掌握数学知识，而且能够培养学生的辩证思维能力，使学生更好的了解数学理论的发展规律，掌握数学科学的精髓，发现数学各部分内容之间的内在联系，从而在“立德树人”的教育方针建设任务中起到画龙点睛的作用。

参考文献

[1]刘云章.极限法的哲学思考[J].中学数学教学参考，2002（7）;

[2]李政.数学思维中的哲学思想浅析[J].苏州职业大学学报，2005（2）;

[3]陶有德.哲学思想在高等数学中的体现及应用[J]高等农业教育，2011（9）;

[4]敖登.谈高等数学中的唯物辩证法[J]，数学学习与研究，2018（11）.