区间值序列与区间值函数列的收敛性

2022-01-11 05:09李改利

延安大学学报（自然科学版） 2021年4期

李改利，高丽

(延安大学数学与计算机科学学院，陕西延安 716000)

区间数理论的基本思想是应用区间数变量代替点变量进行计算。早在1931年，Young给出了区间数的概念，区间数理论作为处理不确定性问题的理论基础之一，被广泛应用于工程技术和管理决策等诸多领域中。为了更好的处理一些实际问题，人们在区间值空间中引入了多种度量(距离)公式。我们拟定在区间值空间上的Hausdorff度量下讨论区间值序列与区间值函数列的收敛性问题[1-9]。

本文在介绍区间数及区间值空间的基本概念及其相关性质的基础上：1)引入了区间值序列的收敛性概念并给出其相关性质；2)引入了区间值函数列的收敛性概念并给出其相关性质。

1 预备知识

1.1 区间数的定义及区间值空间上的度量

定义1.1[1]设a,b∈R且a≤b，则称有界闭区间[a,b]为R上的一个区间数，R上全体区间数构成的集合称为区间值空间，记为[R]。当b≥a≥0时，称[a,b]为正区间数，其全体构成的集合称为正区间值空间，记[R+]为；当a≤b≤0时，称[a,b]为负区间数，其全体构成的集合称为负区间值空间，记为[R-]。

定义1.2[4]设z1=[a1,b1]，z2=[a2,b2]∈[R]，则称

dH(z1,z2)=max{|a1-a2|,|b1-b2|}

为区间数z1,z2的Hausdorff距离。

区间值空间[R]在Hausdorff距离之下成为完备的度量空间[9]，并且具有下列性质：

dH(ka,kb)=|k|dH(a,b),k∈R,

dH(a,b)≤dH(a,c)+dH(c,b)，

1.2 区间数的运算及大小关系

2 区间值序列的收敛性

定义2.1 设[a1,b1]，[a2,b2]，…，[an,bn]…是一列定义在同一个区间值空间[R]上的区间数，则称[a1,b1]，[a2,b2]，…，[an,bn]…为定义在区间值空间[R]上的区间值序列。记为{[an,bn]}⊂[R](n=1,2,…)，且[a,b]∈[R]。

定义2.2[4]设区间值序列为{[an,bn]}⊂[R](n=1，2，…)，且[a,b]∈[R]，如果对任给的ε>0，存在自然数N，当n>N时，有

dH([an,bn],[a,b])<ε，

从而有

定理2.2[1]设[an,bn]，[cn,dn]∈[R](n=1，2，…)，

[a,b]，[c,b]∈[R]，k∈R，如果

则有

证明由于

因此只需要证明和、积与倒数的运算即可。

dH([[an,bn]，[a,b])<ε，当n>N1；

dH([cn,dn]，[c,d])<ε，当n>N2。

取N=max{N1,N2}，则当n>N时，上述两个不等式同时成立，从而

dH([an,bn]+[cn,dn]，[a,b]+[c,d])≤

dH([an,bn]+[cn,dn]，[an,bn]+[c,d])+

dH([an,bn]+[c,d],[a,b]+[c,d])=

dH([cn,dn]，[c,d])+dH([an,bn]，[a,b])<

ε+ε=2ε，

设[an,bn]·[cn,dn]=[rn,sn][a,b]·

[c,d]=[r,s]，其中

rn=min{ancn,andn,bncn,bndn}，

sn=max{ancn,andn,bncn,bndn}，

r=min{ac,ad,bc,bd}，

s=max{ac,ad,bc,bd}。

从而

dH([an,bn]·[cn,dn]，[a,b]·[c,d])=

max{|rn-r|,|sn-s|}。

若rn=ancn,r=bd，则rn≤bndn，r≤ac，从而

rn-r=ancn-bd≤bndn-bd,

rn-r=ancn-bd≥ancn-ac。

则由数列极限的四则运算及夹逼定理得

当rn与r为其他情况时，证明过程类似，从略。

则对ε>0，当n>N时，有

dH([an,bn]·[cn,dn]，[a,b]·[c,d])=

max{|rn-r|,|sn-s|}<ε，

由实数列极限的相关运算性质得

定理2.3 设[an,bn]∈[R](n=1，2，…)，且[a,b]，[c,d]∈[R]，k∈R。若

则[a,b]=[c,d]。

证明因为

所以对任给的ε>0，分别存在N1,N2∈N，有

dH([an,bn]，[a,b])=max{|an-a|,|bn-b|}<ε，

当n>N1；

dH([an,bn]，[c,d])=max{|an-c|,|bn-d|}<ε，

当n>N2。

则|an-a|<ε,|bn-b|<ε,|an-c|<ε,|bn-d|<ε。

从而

|a-c|=|(an-a)-(an-c)|≤

|an-a|+|an-c|<

ε+ε=2ε，

|b-d|=|(bn-b)-(bn-d)|≤

|bn-b|+|bn-d|<

ε+ε=2ε。

取N=max{N1,N2}，则当n>N时，上述两个不等式同时成立，从而有

dH([a,b],[c,d])=max{|a-c|,b-d}<

ε+ε=2ε，

即[a,b]=[c,d]。

定理2.4 设两个区间值序列{[an,bn]},{[cn,dn]}∈[R](n=1,2,…)都收敛，若存在N∈N+，使得当n>N时，有[an,bn]≤[cn,dn]，则

证明设

则有

dH([an,bn]，[a,b])<ε，

dH([cn,dn],[c,d])<ε，

[a,b]-ε<[an,bn]，当n>N1；

[cn,dn]<[c,d]+ε，当n>N2。

取N={N0,N1,N2}，上述两个不等式成立，则当n>N时，有

[a,b]-ε<[an,bn]≤[cn,dn]<[c,d]+ε，

则有[a,b]<[c,d]+2ε。

由ε的任意性有[a,b]≤[c,d]，

3 区间值函数列的收敛性

定义3.2 设f1(x),f2(x),…,fn(x),…是一列定义在同一个区间I上的区间值函数，则称f1(x),f2(x),…,fn(x),…为定义在区间I上的区间值函数列，记为{fn(x)}。

定义3.3 设{fn(x)}为区间I上的区间值函数列，且f(x)在I上有定义。若对x0∈I，有区间值序列f1(x0),f2(x0),…,fn(x0)，…收敛，则称区间值函数列{fn(x)}在点x0处收敛，并称x0为区间值函数列的收敛点。如果区间值序列f1(x0),f2(x0)，…，fn(x0)，…发散，则称区间值函数列{fn(x)}在点x0处发散。如果区间值函数列{fn(x)}在区间I上的每一点都收敛，则称区间值函数列{fn(x)}在区间I上收敛。区间值函数列{fn(x)}所有收敛点组成的集合，称为区间值函数列{fn(x)}的收敛域。

定义3.4 设{fn(x)}和f(x)分别为定义在区间I上的区间值函数列和区间值函数，如果对任给的ε>0，存在N>0，当n>N时，对任意x∈I，有

dH(fn(x),f(x))<ε。

则称区间值函数列{fn(x)}在区间I上一致收敛于f(x)。

定理3.1 设{fn(x)}和{gn(x)}为定义在区间I上的两个区间值函数列，且k∈R，如果有