微型桩筏基础轴向刚度的计算方法

赵心涛，孙曰波，李亚男

(潍坊职业学院 农林科技学院，山东 潍坊 261041)

0 引 言

微型桩是一种地基加固方法.随着钻孔技术的发展，微型桩施工设备越来越轻便化，其应用范围也越来越广泛[1].Abd Elaziz等[2-4]对微型桩进行了足尺荷载试验，而这些研究忽略了筏板刚度对筏土间的相互作用、桩筏荷载分担及基础沉降的影响；Abd Elaziz等[2-11]采用有限元分析方法对微型桩筏基础或微型抗滑桩进行承载性能研究；孙书伟等[12-13]结合现场工程情况对微型桩的力学性能进行了研究.综合现有的国内外关于微型桩的研究成果可以看出，多数研究工作都是针对微型桩的工程应用和力学机理展开的，能直接用于指导工程设计的成果不多.

相关学者已经对桩筏基础在减小基础最大沉降和不均匀沉降方面的性能、轴向刚度的计算等方面进行了大量研究工作.Poulos[14]提出了粗略估算—详细检查—精细分析(Pre-liminery detailed examination,refined analysis,PDR)方法评估桩筏基础的轴向刚度.Katzenbach等[15]通过工程实例研究方法，Horikoshi等[16]通过离心试验方法，Gandhi等[17-22]通过有限元数值计算方法分别研究了桩筏基础的承载性能，结果表明，与浅基础和传统筏板基础相比，桩筏基础能有效地减少最大沉降、不均匀沉降和基础结构内力.

可以看出，国内外相关学者对桩筏基础的研究成果较为丰富，而对微型桩筏基础承载性能的研究较为有限.考虑到微型桩筏基础的轴向刚度的确定对设计工作的重要性，本研究以前人的离心试验结果为原型，采用三维有限元分析方法对微型桩筏基础的轴向刚度进行定量化分析，并在一般桩筏基础的轴向刚度计算公式的基础上，提出了微型桩筏基础的轴向刚度计算公式，以供工程设计参考.

1 有限元模型的建立及参数校准

考虑到与有限元数值计算方法相比，离心试验的成本高很多，而且进行多变量分析工作量较大，因此本研究在离心试验[23]的基础上建立对应的有限元数值计算模型，并且采用离心试验结果对模型参数进行校正.在保证模型参数有效的情况下，采用单因子变量法对微型桩筏基础的轴向刚度进行分析.

1.1 有限元模型

离心试验的加速度为50 g，微型桩的原型直径为150 mm，长度为10 m，主要研究了3种情况下微型桩的承载性能：1)以原型尺寸筏板厚度为0.6 m的微型桩筏为基础；2)以原型尺寸筏板厚度为0.6 m的筏板为基础；3)以微型桩单桩为基础.

为提高计算效率，本研究考虑到模型的两重对称性，取1/4的模型进行建模计算，如图1所示.为减少模型边界效应的影响，采用试算法，最终得出的模型边界为：模型左右边界距离筏板边缘的距离为2.5倍的筏板宽度，底部边界到微型桩底部的距离为1.0倍的微型桩长度.在有限元计算中，土体和微型桩采用3维10节点4面体单元，筏板采用6节点三角形板单元，平均单元尺寸为100mm.1/4即800kN的荷载集中施加在筏板中心位置.

图1 几何模型图

具体计算中，材料本构模型参数取值参照原始的离心试验结果[24]，采用莫尔—库仑破坏准则模拟土体的力学行为，所采用的模型参数如表1所示.

表1 本构模型参数表

具体在模拟中，考虑了抗剪强度和弹性模量随深度增加，有，

su(z)=su0+z×suinc

(1)

Eu(z)=Eu0+z×Euinc

(2)

式中，su(z)和Eu(z)分别表示深度z处的抗剪强度和弹性模量，/kPa；su0和Eu0分别表示地表处的抗剪强度和弹性模量,/kPa；suinc表示抗剪强度随深度的增加率；Euinc表示弹性模量随深度的增加率.

为简化计算，同时考虑到实际工程中微型桩和筏板一般不易损坏，所以采用线弹性模型模拟两者的力学行为.通过12节点的界面单元模拟桩筏板与土体间的相互作用，界面单元采用Mohr-Coulomb破坏准则，当剪应力达到土体的屈服剪切强度时，界面发生滑移.在PLAXIS 3D中使用表征界面单元的强度占相邻土体抗剪强度的百分比的参数Rint来表征界面的抗滑性能，本模拟取值为0.95.

1.2 模型参数校准

为了保证计算的准确性，必须先对模型参数进行校准.本研究采用三次离心试验的结果[23]进行参数校准，最终得出的参数如表1所示，计算结果和离心试验的结果的对比如图2所示.

图2 有限元计算结果和离心试验结果的对比

1.3 模型计算变量

为明确微型桩筏基础的轴向刚度，采用单因子变量法，以距径比和筏板厚度为变量，重点关注周向刚度的变化.计算中主要考虑了工程上常用的集中荷载和均布荷载两种情况，对集中荷载的计算主要考虑了如图3所示的筏板立柱的分布.

图3 集中荷载对应的立柱位置示意图

同样取1/4模型进行计算，通过集中荷载的逐渐增加直至达到指定位移值.对均布荷载的计算同样采用荷载逐渐增加达到指定位移值的方法.

默认情况下，微型桩直径Dmp=250.0 mm，长度Lmp=10.0 m，矩形筏板尺寸Br×Br=21.0 m×21.0 m，筏板厚度为tr=0.6 m.微型桩间距分别取S=5.0Dmp、8.0Dmp、10.0Dmp、16.0Dmp和20.0Dmp5种情况；筏板厚度分别取tr=1.2 m，0.6 m和0.3 m 3种情况.此外，对无微型桩的筏基和微型桩筏基础进行了对比.

2 有限元计算轴向刚度分析

根据有限元计算结果可以得出荷载—位移曲线，得出轴向刚度.在不同的筏板厚度情况下，轴向刚度Kmpr随距径比S/Dmp的变化如表2所示.

表2 不同距径比下轴向刚度表

从表2中可以看出，当筏板厚度从0.3 m增加到0.6 m时，轴向刚度增加了约12%；而当筏板厚度由0.6 m增加到1.2 m时，轴向刚度增加了约23%，说明筏板厚度对轴向刚度的影响不可忽略.这是因为刚性较大的筏板会产生较小的差异沉降，更容易将荷载传递到土体中，从而降低土体的应力集中，增加轴向刚度.

轴向刚度随距径比的减小而逐渐增加，当筏板厚度为1.2m时，距径比由20减小为16(减小了20%)，相应的轴向刚度增加9.14%；当距径比由10减小为8时(减小了20%)，相应的轴向刚度增加8.12%.表明随着距径比的减小轴向刚度增长率逐渐变小，这主要是因为减小距径比，会减小微型桩桩间距，导致相邻土体中的剪应力重叠效应加剧，从而加大土体强度的发挥，轴向刚度增大,当土体强度增加到一定程度后该剪应力重叠效应会减弱，表现为刚度的增长速率减小.

3 轴向刚度计算公式及验证

3.1 PDR法简介

Poulos[14]提出了一种简化估算桩筏基础的轴向刚度方法(PDR方法)，该方法能同时考虑群桩效应和筏板刚度的影响.具体桩筏基础的轴向刚度Kpr为，

(3)

(4)

式中，Kpg为群桩刚度；np表示群桩中包含的桩数；Kp表示单桩的轴向刚度；ef表示群桩效应指数，其值对摩擦桩在0.3～ 0.5之间变化，对端承桩为0.6，主要取决于桩的长细比(L/Dmp).当距径比S/Dmp分别为5、8、10、16和20时，所对应群桩效应指数ef的取值分别为0.47、0.42、0.38、0.33和0.32.

刚性矩形筏板基础的轴向刚度为，

(5)

式中，Lr和Br分别表示矩形筏板基础的长度和宽度,/m；Gsr和vs分别表示在2/3Br深度位置处的土体的剪切模量和泊松比；β表示形状效应系数，对方形筏板取为1.03.

单桩的轴向刚度可以表示为

Kp=Gsl×Dp×

(6)

桩筏相互作用系数arp为，

arp=1-{ln(rc/ro)/ζ}

(7)

3.2 PDR法对微型桩筏基础的适用性探讨

上述的PDR方法计算轴向刚度是建立在稍大直径的桩基基础上，对微型桩是否适用需要做进一步的验证.对如表2所示的不同距径比、不同筏板厚度情况下的轴向刚度采用公式(3)进行计算，由于公式(3)计算过程无法考虑筏板厚度，因此当距径比相同时，对不同厚度筏板计算得出的轴向刚度相同，因此PDR方法计算的轴向刚度只有一条曲线.PDR方法计算轴向刚度与有限元计算结果对比如图4所示.

图4 原始公式与有限元计算结果对比

从图4中可以看出，当筏板厚度较大(1.2 m)时，PDR法计算结果误差较小，为3%左右；当筏板厚度减小(0.6 m)时，PDR法计算结果误差达到了18%；当筏板厚度进一步减小(0.3 m)时，PDR法计算结果误差达到了26%.造成这种误差的原因是用PDR法计算轴向刚度时没有考虑筏板厚度的影响，而在计算微型桩筏基础的轴向刚度时不考虑筏板厚度是不合理的.

3.3 改进的PDR法计算微型桩筏的刚度

式(3)所对应的PDR方法可以用来估算桩筏基础的轴向刚度，由于微型桩筏基础与普通桩筏基础的不同(一般微型桩的桩截面尺寸小、桩间距也较小)，筏板柔度对轴向刚度的影响也不同于一般桩筏基础.因此，直接采用式(3)来计算微型桩筏基础的轴向刚度是不合适的.为此，考虑引入表征微型桩筏基础的筏板柔度对轴向刚度影响的物理量ωmpr，对式(3)进行修正，确定系数ωmpr和筏板刚度之间的定量化关系，有，

(8)

矩形筏板的刚度计算[16]，

(9)

式中，Er和vr分别表示筏板的弹性模量和泊松比;Es和vs分别表示土体的弹性模量和泊松比;tr表示筏板厚度,/m;α0表示形状效应系数，对矩形筏板取为0.5；SB和SL分别表示微型桩筏基础沿长度与宽度方向的微型桩间距,/m.式(9)在考虑了筏板刚度影响的同时，考虑了微型桩的分布对筏板刚度的影响，以及筏板和土体间的相对刚度影响.随着桩间距的减小，筏板刚度会增大，这符合实际情况.

通过式(9)可以计算得出表(2)所示的不同距径比不同筏板厚度情况下的筏板刚度Kf，根据式(8)计算得出ωmpr，采用函数拟合手段建立ωmpr和Kf之间的关系.在拟合的过程中主要尝试了工程上常用的多项式函数、对数函数、指数函数、双曲函数和三角函数，结果表明对数函数效果好，其函数关系式为，

ωmpr=0.055ln(Kf)+0.6

(10)

3.4 改进PDR法计算微型桩筏基础轴向刚度的基本流程

改进PDR法计算微型桩筏基础轴向基本流程如图5所示.首先收集筏板、桩、土体基本力学参数；然后按照式(9)计算筏板刚度Kf，并结合式(10)确定系数ωmpr；再后根据式(4)、(5)和式(7)分别确定群桩刚度Kpg、筏板轴向刚度Kr、桩筏相互作用系数arp；最后根据式(8)即可以确定微型桩筏基础轴向刚度Kmpr.

图5 微型桩筏基础轴向刚度计算流程图

3.5 改进PDR法的验证

为验证改进PDR法在计算微型桩筏基础轴向刚度方面的适用性，取筏板厚度tr为0.9m,距径比S/Dmp分别为20、16、10、8、5的5种情况，分别采用有限元计算方法和图5所示的改进PDR法的基本流程进行微型桩筏基础轴向刚度的计算,两种方法计算结果对比如表3所示.从表3中可以看出，采用改进PDR法计算轴向刚度误差在4%～9%范围内，完全可以满足工程实际的需要.

表3 改进PDR法计算轴向刚度验证表

4 结 论

为了明确微型桩筏基础的轴向刚度，本研究结合有限元数值计算及理论分析手段对轴向刚度的计算进行分析，以便更好地指导微型桩筏基础的设计工作.提出了微型桩筏基础的轴向刚度计算公式，给出了相应的计算流程并得出如下结论：

1)与普通桩筏基础不同，微型桩筏基础筏板厚度对轴向刚度的影响不可忽略.刚性较大的筏板会产生较小的差异沉降，更容易将荷载传递到土体中，从而降低土体中的应力集中，增加轴向刚度.

2)随着距径比的减小，微型桩筏基础轴向刚度增长率也逐渐变小，但仍然在增长.实际工程中盲目减小距径比不一定经济合理.

3)改进后的PDR法计算微型桩筏基础轴向刚度误差在4%～9%范围内，完全可以满足工程实际的需要，建议可以在设计工作中参考使用.