基于可靠度方法的全基质吸力段土-水特征模型研究

刘青灵 ，简文彬 ，许旭堂 ，聂 闻

（1.福州大学紫金矿业学院，福建 福州 350116；2.福州大学环境与资源学院，福建 福州 350116；3.福建农林大学交通与土木工程学院，福建 福州 350116；4.中国科学院海西研究院泉州装备制造研究所，福建 泉州 362200）

土-水特征曲线（soil water characteristic curve, SWCC）描述的是土壤基质吸力与持水量（饱和度、含水量）之间的量化关系[1]。其表征了土壤的持水能力、渗透系数[2]、剪切强度[3]、颗粒分布[4-5]。全基质吸力段的土-水特征曲线是降雨型滑坡体进行科学分析评价的前提和基础[6]。然而，常规的土-水特征曲线试验过程耗时长，并且采用单一的设备或试验方法仅能获得局部基质吸力段（低吸力或高吸力）的土-水特征曲线[7]。如何根据有限的试验数据集，快速、准确推断该类型土壤的全基质吸力段的土-水特征曲线，并应用于岩土稳定性分析是亟需解决的基础课题[8-9]。

土-水特征曲线模型的研究起源于20世纪60年代，基于基质吸力在脱湿和吸湿变化过程中体积变化为0的假设，Gardener等[10]，Brooks等[11]，Mualem[12],Fredlund等[13]提出了一系列土-水特征曲线模型。这些模型中，VG模型是岩土工程中最常用的模型[14]。Gallipoli等[15]提出土-水特征曲线应当考虑土体的变形，Ciervo等[16]认为应当引入多峰孔隙密度分布函数表征土-水特征曲线。目前研究多是基于孔隙结构连续分布假设得出土-水特征曲线，近期研究中计算模型考虑了基质吸力变化过程中土壤的体积变形[17]这一因素。土-水特征曲线的基本参数有进气值、反弯点斜率、残余饱和度、残余基质吸力值[18-19]。准确确定这些基本参数是非饱和土强度、渗透性及土体本构关系研究的基础[20]。测量基质吸力的方法有接触式滤纸法、轴平移法、电/热传导传感器法、张力计法[21]。目前研究侧重土壤类型[22]、微观结构[23]、孔隙分布[24-25]、密度等因素对土-水特征曲线的影响，如何建立适应性强的土-水特征曲线模型，以便应用于岩土大数据分析研究较少。另一方面，目前土-水特征曲线模型参数多、计算过程复杂，且不能够适用不同类型的土壤，这些不利因素限制了模型的广泛使用。

为解决上述问题，本文尝试引入可靠度分析方法，从土壤孔隙微元破裂失稳的角度出发，建立一种新的土-水特征曲线模型。该模型能够依据有限局部吸力试验数据推断全基质吸力段的土-水特征曲线。

1 土-水特征曲线试验

试验土类型为福建东南沿海广泛分布的残积土（表1），该土样的工程地质性质较差，台风降雨后容易产生崩塌、滑坡、泥石流等不良地质现象。该类型土黏粒含量较大，小于0.075 mm粒径对应的累积含量百分比为61.4%，试验用土的平均粒径（D50）为0.050 mm，有效粒径（D10）为0.008 mm。

表1 残积土的物理性质Table 1 Physical properties of the residual clay profiles

采用英国GDS公司生产的Geo-experts压力板仪对土体进行试验，按照《土工试验规程（SL237）》对试样进行抽真空饱和，然后分10级进行加压、脱湿和排水，获得土体在低基质吸力段（小于1 000 kPa）的土-水特征曲线，各级别对应的基质吸力值为0, 5, 10, 25, 50,75, 100, 200, 400, 600 kPa。试验数据记录频率为12 h/次，平衡标准为24 h内排水小于试样体积的0.05%。试验装置由压力板仪组件、控制面板、垂直气动加载系统和水体积量测系统4部分组成（图1）。

图1 Geo-experts压力板仪装置Fig.1 Pressure plate apparatus system for SWCC

制备干密度1.48 g/cm3的7个环刀黏土样本，采用滤纸法试验获取土体高基质吸力段（大于1 000 kPa）的土-水特征曲线[26]，各试样对应的初始含水率为

10.0%、11.5%、13.5%、15.0%、16.5%、19.0%、20.0%，不同含水率试样试验14 d后，记录试验结果。根据物理方法计算试验基质吸力[27]：

式中：ψ——基质吸力；

R——气体常数；

T——绝对温度；

V——纯水的摩尔体积；

P——土样孔隙水的蒸汽压；

Psw——相对于土样中水溶液的饱和蒸汽压。

2 土-水特征模型

固态颗粒、液态水以及气体是大自然中土的3个组成部分。土体中的水常分为2类，一类是结合水，特指受物理分子吸引力吸附于土粒表面的吸附水；另一类是自由水，它不受土粒表面电场影响，可以正常流动，并传递静水压力[28]。地下水水位、降雨等外界条件的改变，将改变土体中自由水的状态。饱和度S为[29]：

式中：θ——土的含水量；

——不饱和度。

土体在脱湿（失去水）和湿润（捕获水）的过程中，结合水的含量受到的影响很微小，因此土壤的残余饱和度Sr和残余含水率 θr基本保持不变[30]。

一种给定的土样中虽然土样内部各个孔隙的体积和半径都不相同，但其总孔隙体积V是确定的。将孔隙体积V进行离散，分为n个孔隙微元（n趋向于正无穷）。微元孔隙的半径为dr，体积为dv，孔隙微元Ω(n)={n1,n2,···,nn}。在任意时刻，某一孔隙微元将呈现以下3个状态的一种：（1）自由水逸散，（2）静止状态，（3）自由水捕获：

可靠度分析方法在岩土工程领域得到了广泛的应用[31-32]，它通常假设研究目标（结构疲劳寿命）满足某种概率分布，从而获得与实际工程一致的分析结论[33]。基质吸力间接表达了土体宏观的持水能力，是微孔隙单元失去水、获得水、静止状态时的宏观体现。因此，在宏观层面上，土样的基质吸力与含水状态存在对应关系。某一时刻i，数量Ni的孔隙微元在外界条件的影响下破裂失稳，自由水逸散；孔隙微元随即处于不饱和状态，基质吸力变化值为 d ψ。假设土样孔隙微元的破坏服从一种概率分布，其概率密度是基质吸力 ψ的函数，为pdf(ψ)。在宏观基质吸力区间[ψ,ψ+dψ]， 破坏的孔隙微元的数量为npdf(ψ)dψ；在基质吸力水平 ψ ，得出破坏的孔隙微元的数量值[34]：

土-水特征曲线描述的是基质吸力空间与含水率分布空间、饱和度分布空间的一一映射关系。因此，获得土样孔隙微元的破坏概率分布后，能够建立一个新的模型准确描述土-水特征曲线。

首先，定义精度为1×10-6，采用极大似然估计法（maximum-likelihood, MLE）、最小二乘法获得最优化模型参数

式中：l(α)——似然函数；

M——误差函数；

采用决定系数R2描述模型与试验值的接近程度：

式中：Si—— 土样试验饱和度值；

决定系数R2越趋近于1，表明模型越能够与试验数据匹配。

采用对数正态分布描述离散孔隙微元破坏失稳从而失去水的概率：

式中：ψ——基质吸力；

μ——变量对数的平均值；

σ——变量对数的标准差。

将式（10）代入式（5）得到饱和度S：

式中：erf(u)——高斯误差函数。

将式（11）代入式（5）得到含水率与基质吸力的关系：

基质吸力与含水率的关系：

式中：erfcinv(u)——逆互补误差函数。

3 结果和讨论

3.1 残积黏土的土-水特征可靠度模型

将残积黏土试验结果分为2类：低基质吸力段（基质吸力＜1 000 kPa）（10组数据）试验结果，高基质吸力段（基质吸力≥1 000 kPa）试验结果（7组数据）。基于本文给出的土-水特征模型，分3种情况建立基质吸力ψ与饱和度S的关系曲线（图2）：

（1）依据全部试验数据（17组），见图2（a），进行土-水特征模型计算，获得模型参数 μ =5.68， σ =2.93；此时决定系数R2=0.977 6。

（2）依据低基质吸力段试验数据（10组），见图2（b），获得模型参数 μ =5.61， σ =2.77；此时决定系数R2=0.980 4。

（3）依据高基质吸力段试验数据（7组），见图2（c），获得模型参数为 μ =5.64， σ =3.05；此时决定系数R2=0.972 1。

图2 基于不同来源试验数据推断土-水特征曲线图Fig.2 Relationships between the matric suction and saturation of residual soil

3种情况建立基质吸力 ψ与饱和度S的关系曲线，其对应的模型参数 μ和 σ是相近的，且模型决定系数R2均大于0.972 1，接近于1。因此，对于福建省东南地区广泛分布的残积黏土，本文提出的土-水特征模型可以依据局部吸力段试验数据推断该类型土壤全基质吸力段的土-水特征曲线，并具有良好的匹配关系。针对采用单一的试验设备或方法只能获得部分基质吸力段（低吸力段或高吸力段）试验数据的情况，运用本文的模型，可以快速、可靠地获得全基质吸力段的土-水特征曲线。

3.2 孔隙微元失稳概率分布对模型的适用性

对残积黏土土-水特征曲线试验数据，分别运用可靠度理论中常用的指数分布、正态分布、对数正态分布、韦伯分布、瑞利分布、伽马分布、广义极值分布等7种概率模型描述土样孔隙微元破裂失稳的概率分布（表2），建立残积黏性土的土-水特征模型，讨论 不同概率分布条件下模型的适用性。

表2 基质吸力空间的不同概率描述Table 2 Different probability distribution models for the test data

计算结果表明，采用低基质吸力段局部数据（10组）建立残积黏性土土-水特征模型时，不同的概率分布均可以得出全基质吸力段的土-水特征曲线，此时对数正态概率分布拥有最高的决定系数，R2为0.980 4；正态概率分布次之，R2为0.978 2。然而，当采用高基质吸力段局部数（7组）建立残积黏性的土-水特征模型时，一些概率分布（如广义极值分布、韦伯分布、正态分布等）不能较好地得出全基质吸力段的土-水特征曲线，表现为模型参数跳跃，模型决定系数低于0.70；此时对数正态概率分布仍然拥有最高的模型决定系数，R2为0.972 1；瑞利概率分布次之，R2为0.829 0。因此，从土样孔隙微元破裂失稳、失去自由水的假设出发，基于可靠度理论，建立土-水特征模型是可行的，其对不同的概率分布模型具有很强的适应性。采用对数正态分布描述孔隙微元破裂失稳概率时，土-水特征模型的适用性最优，其具备根据局部基质吸力试验数据给出全基质吸力段土-水特征曲线的能力，且模型决定系数趋近于1.0。

3.3 模型参数分析

典型的土-水特征曲线分为毛细管饱和区、变化饱和区和残余饱和区3个区域。本文模型可以表达土-水特征曲线的3个区域，见图3（a），此时 μ= 8， σ=2。土壤在脱湿、吸湿工况下，其对应的土-水特征曲线不同。不饱和土在湿路径下的曲线滞后于干路径的土-水特征曲线，即同一含水率，吸湿过程对应于更低的基质吸力。不饱和土孔隙的大小、形状不均匀性分布是滞后效应的主要原因。采用两组模型参数（μ=6， σ=2；μ=8， σ=2）可以很好地逼近模拟土壤在干路径和湿路径的滞后效应，见图3（b）。模型参数 σ是土壤土-水特征曲线的形状参数，见图3（c）， σ 越小，表明在变化饱和区中，土-水特征曲线中的曲线斜率越大，下降梯度越大。模型参数μ是土壤土-水特征曲线的中值比例参数，见图3（d），μ值越大，土样完全饱和时对应的基质吸力越大。

图3 模型参数与SWCC曲线的关系Fig.3 Relationship between the model parameters and SWCCs

3.4 模型在不同土类型的适用性

为了进一步验证本文土-水特征模型对不同类型土壤的适用性，从美国农业部获得不饱和土的水力性质数据库（Unsaturated Soil Hydraulic Database，简称UNSODA）提取不同土壤试验数据[35]。考虑试验结果的代表性和完备性（图4），分别取31个砂土样本，9个粉砂土样本，12个黏土样本（表3）。

图4 UNSODA土壤选择样本类别分布图Fig.4 Textural distribution of the 52 samples used in this study

表3 UNSODA不同土壤特征试验数据Table 3 Basic information of the selected soil data from UNSODA

对不同类型土壤样本，运用土-水特征模型，得出砂土，粉砂土，黏土的土-水特征曲线（图5），不同类型土壤的土-水特征模型具有很高的决定系数，R2＞0.996 6。砂类土具有最小的模型参数 μ和 σ ；黏土类土壤具有最大的模型参数 μ和 σ ，μ= 6.44，σ=3.96。

图5 不同类型土壤的土-水特征曲线Fig.5 SWCCs with different soil texures

3.5 模型比较分析

常用的土-水特征曲线模型有Gardner模型(Gard)、Brooks and Corey模型(BC)、Van Genuchten模型（VG）、Kosugi模型、Fredlund and Xing模型等（表4）。

表4 土-水特征曲线模型Table 4 Different models for the soil characteristic curve

选择常用的VG模型、Gard模型、BC模型、Kosugi模型与本文模型进行比较，抽取UNSODA2.0数据库中的3类土壤样本试验数据进行模型比较验算。根据基质吸力大小和顺序，将不同类型土壤土-水特征试验结果分为A组（低基质吸力试验组）和B组（高基质吸力试验组）。

（1）砂土样本（31个样本）

VG模型、 Garden模型和本文模型都可以根据有限的低吸力段A组数据估计全吸力段的土-水特征曲线，见图6（a）。但是，Kosugi模型具有使用局限性，当仅有低吸力段局部数据时，该模型不能应用有限的试验数据推断全基质吸力段的土-水特征曲线。

图6 局部数据推断条件下模型与决定系数关系Fig.6 Coefficients of determination of different samples based on the diverse calculation models

（2）粉砂土样本（9个样本）

VG 、Garden和Kosugi模型都不能很好地根据A组局部低吸力段数据推断全基质吸力段的土-水特征曲线，见图6（b），其决定系数表现出很大的波动性。

（3）黏土样本（12个样本）

VG模型不能很好地根据A组局部低吸力段数据推断全基质吸力段的土-水特征曲线，该模型的模型决定系数表现出很大的波动性，见图6（c）。Garden、Kosugi模型能较好地根据局部低吸力段局部数据估计全基质吸力段土-水特征曲线，但这2种模型的决定系数仍然有小的波动。

不同模型对比结果表明，当采用全部试验数据获得全基质吸力段土-水特征曲线时，上述模型都有很好地匹配关系。然而，当采用A组局部试验数据推断全基质吸力段土-水特征曲线时，上述模型表现出局限性。而本文提出模型的决定系数一直趋近于1，表现出良好的模型匹配关系。

4 结论

（1）从土样孔隙微元破裂失稳、失去自由水的假设出发，基于可靠度理论，建立土-水特征模型是可行的，其对不同的概率分布模型具有很强的适应性。特别地，采用对数正态分布描述孔隙微元破裂失稳概率时，本文模型的适用性最优。

（2）试验研究表明，对于福建省东南地区广泛分布的残积黏性土，本文提出的土-水特征模型可以依据局部吸力段试验数据推断该类型土壤全基质吸力段的土-水特征曲线，并具有良好地匹配关系。

（3）进一步的验证表明，本文模型对于不同类型（砂土、粉砂土、黏土）的土壤样本适应性均很好，不同类型土壤的土-水特征模型决定系数很高。

（4）与其它土-水特征模型相比，本文模型可以根据低基质吸力段或高基质吸力段的局部试验数据建立土壤全基吸力段的土-水特征曲线；并能够快速获取大量土壤类型的土-水特征曲线，适用于建立各种类型土壤的全基质吸力段土壤土-水特征曲线。