平面向量核心考点综合演练

■欧阳亮

一、选择题

3.下列说法正确的是（ ）。

A.单位向量都相等

B.若a∥b，则|a|＝|b|

C.若|a|＝|b|，则a＝b

D.若a＝λb（b≠0），则a与b是平行向量

图1

图2

图3

8.（多选题）已知向量a＝（2，1），b＝（1，－1），c＝（m－2，－n），其中m，n均为正数，且（a－b）∥c，下列说法正确的是（ ）。

A.a与b的夹角为钝角

B.向量a在b方向上的投影为

C.2m＋n＝4

D.mn的最大值为2

9.（多选题）△ABC中,＝b，在下列命题中，是真命题的为（ ）。

A.若a·b＞0，则△ABC为锐角三角形

B.若a·b＝0，则△ABC为直角三角形

C.若a·b＝c·b，则△ABC为等腰三角形

D.若（a＋c－b）·（a＋b－c）＝0，则△ABC为直角三角形

10.（多选题）已知e1，e2是两个单位向量，λ∈R，|e1＋λe2|的最小值为，则下列结论正确的是（ ）。

11.（多选题）若向量i，j为互相垂直的单位向量，a＝i－2j，b＝i＋mj，且a与b的夹角为锐角，则实数m的取值范围不是（ ）。

12.（多选题）下列关于平面向量的说法中不正确的是（ ）。

二、填空题

图4

三、解答题

图5

18.已知向量a＝（1，2），b＝（3，x），c＝（2，y），且a∥b，a⊥c。

（1）求向量b与c。

（2）若m＝2a－b，n＝a＋c，求向量m与n的夹角的大小。

19.已知向量a，b的夹角为120°，且＝2，c＝ma＋3b。

（1）当b⊥c时，求实数m的值。

（2）当m＝6时，求向量a与c的夹角。

20.已知向量a与向量b的夹角为，且|a|＝1，|2a－b|＝。

（1）求|b|。

（2）若a⊥（a－λb），求λ的值。

21.已知a，b，c分别是△ABC三个角A，B，C所对的边，且满足acosB＋bcosA＝。

26.如图6，已知平面四边形ABDC中，满足cos∠ABD＝－且cos∠CBD＝。

图6

（1）求∠ABC。

（2）若△ABC的外接圆的面积为3π，且，求△ABC的周长。

27.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2acosC＋c＝2b。

（1）若点M在边AC上，且cos∠AMB，求△ABM的面积。

（2）若△ABC为锐角三角形，且b2＋c2＝a＋bc＋2，求b＋c的取值范围。

参考答案与提示

一、选择题

3.提示:对于A，单位向量的模相等，但方向不一定相同，A 错误。对于B，当a∥b时，其模|a|与|b|可能相等或|a|＝λ|b|，λ≥0或|b|＝λ|a|，λ≥0，B 错误。对于C，当|a|＝|b|且a与b同向时，可得a＝b，C错误。对于D，a＝λb（b≠0），则a与b是平行向量，D 正确。应选D。

12.提示:由平面向量平行的推论知A 正确。对于B，向量共线，只需两向量方向相同或相反即可，点A，B，C，D不必在同一直线上，B 错误。对于C，由a·c＝b·c，可得（a－b）·c＝0，则（a－b）⊥c，不一定推出a＝b，C 错误。对于D，由平面向量中三角形重心的推论知D 正确。应选B，C。

二、填空题

三、解答题

21.提示:（1）由a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，代入acosB＋bcosA＝得（sinAcosB＋sinBcosA）cosC＝sinC·cosA，即sin（A＋B）cosC＝sinCcosA。因为A＋B＝π－C，所以sin（A＋B）＝sinC，所以sinCcosC＝sinCcosA。

因为C是△ABC的内角，所以sinC≠0，所以cosC＝cosA。又A，C为三角形的内角，所以A＝C。