师范专业认证背景下“常微分方程”课堂教学探析
——以合肥师范学院为例

周 辉，王 文

(合肥师范学院 数学与统计学院，安徽 合肥 230601)

常微分方程中的许多应用问题来自自然界，人们常常通过数学模型将实际问题转化成一个或多个变量的变化率问题，再利用极限理论将其变为常微分方程进行研究[1,6]。因此，常微分方程通常被用来研究对象的演化规律，是解决实际问题的重要理论工具，这就使得在师范专业认证背景下，需要教师在开展教学过程中对课程的课堂教学做到有的放矢[2-5]。

1 挖掘课程思政元素

合肥师范学院数学与应用数学专业师范生选用王高雄等编著的《常微分方程》(第三版)作为教材，该教材在绪论部分的第一节介绍了大量源于实际的常微分方程模型。教师讲授该部分内容时融入恰当的思政元素，不仅有助于提高学生对该课程的学习兴趣，而且还能帮助学生理解“遵守自然规律、爱护大自然”的意义，这对师范生道德情操的培养有着潜移默化的作用。

研究以绪论中的传染病模型教学为例，探讨融入课程思政的教学设计过程。教师先引入当前在全球蔓延的新型冠状病毒疫情，结合一些国内抗击疫情的生动案例，让学生感受到能在学校安心上课来之不易，要珍惜时光，刻苦学习。随后向学生提出如何用数学知识较准确地描述病毒的传播问题，再介绍教材中的SI模型和SIR模型的建模过程并分析各变量的生物意义与适用条件。通过分析两个模型的局限性，考虑感染者的康复因素，引入移除者变量R。教师板书模型的传播示意图，学生根据该示意图，自主尝试建立如式(1)的SIR模型：

(1)

最后，教师根据学生学过的导数定义，对模型进行解释，阐述模型在传染病动力学分析预测中的应用。同时，结合当前新型冠状病毒的传播特点，指出此模型应用的局限性，激发学生的学习兴趣和求知欲。

2 建模思想融入课堂教学

“常微分方程”作为数学与应用数学专业学生完成“数学分析”课程学习后的分析类课程，其理论在其他学科领域具有很强的应用性。而在师范认证背景下，学科素养对应于师范认证毕业要求中的“指标2”。该指标突出了培养中学教师具有扎实的学识和创新精神在人才培养目标中的重要性。因而，在“常微分方程”课堂教学中既要重视数学理论推理和计算能力的培养，也要重视教学过程中创新思维的培养。

建模思想是“常微分方程”课堂教学活动中培养学生创新意识的重要途径之一。数学建模也是中学数学的核心素养之一，对学生创新精神的培养起着不可替代的作用。因此，教师要把建模思想融入数学与应用数学师范生的“常微分方程”教学活动，并摆在突出位置。数学建模的目的主要是解决实际问题，教师应结合理论教学内容，创设实际问题情境，设置模型条件，激发学生想象力，培养学生的数学建模能力。通过对学生建模以及数值模拟的训练过程，有效促进对学生相互协作与沟通能力的培养。

教师在选取建模问题时可结合应用性与时效性，这有利于帮助学生感受学习“常微分方程”课程的重要价值，获得成就感，提高学习动力。如，当下全球新型冠状病毒传播的显著特点是病毒潜伏期长、不易被医学检测，这给卫生防疫部门的流行病学调查和疫情防控带来很大困难。教师可在模型(1)的基础上提出病毒的潜伏期问题：如何改进模型(1)使之体现潜伏期特点。为了帮助学生完成建模，教师可给学生提供一些经典的时滞模型(如Nicholson模型、Macky-Glass模型、时滞Logistic模型等)的相关文献供学生课下阅读。在实际应用中，由于个体或群体在感染到康复的过程中可能会存在潜伏期、感染期或免疫期等不同的时滞，每个学生出发点不同，所建立模型也会有所差异。教师重点介绍几个目前被公认的带时滞的传染病模型，并对学生建立的模型加以比较分析。比如在分析考虑免疫期的SIR模型时，可讲授Brauer等[6]所构建的经典时滞模型：

(2)

教师首先引导学生从形式上分析模型(1)与模型(2)的异同，随后重点分析时滞τ代表的生物学意义，最后布置对模型(1)与模型(2)进行数值模拟的作业，让学生从直观上理解时滞对SIR模型的动力学影响。

3 搭建与中学数学的联系

目前，一些师范高校只重视对课程内容本身的教学，而忽略与中学教学内容的联系。在师范专业认证背景下，数学与应用数学师范专业的“常微分方程”课程目标应遵循“学生中心、产出导向、持续改进”的理念。这就要求教师在讲授该课程的过程中，适当建立与中学数学的联系。这也有助于学生以后承担中学数学教学任务的知识体系构建。

比如在《常微分方程》第六章第三节关于奇点的内容中，以二维的自治微分方程组为例，通过平移变换将此自治方程转化为如下二维的线性微分方程：

(3)

得到模型(3)的特征方程：

λ2+pλ+q=0

(4)

其中：p=-(a+d)，q=ad-bc。

方程(4)是一个关于特征值λ的一元二次方程，而关于一元二次方程实根的存在性和个数问题是中学数学重要内容之一。教师可在课堂中提出关于方程(4)根的分布情况，鉴于一些学生在面对方程(4)时容易忽略其具有复特征根的情况，教师要强调忽略复根对系统(3)带来的影响。此节内容突出了复特征根对系统的稳定性的关键作用。

同时，教师可以设置一些开放作业，如要求学生通过对模型(1)与模型(2)的比较，探讨时滞对系统动力学的影响；思考如何求出系统(5)[7]的特征方程；或要求学生根据中学三角函数知识与欧拉公式并参照方程(4)根分布，对系统(5)的特征方程根的分布情况做详细讨论等。

(5)

教师将学生作业的完成情况作为该课程成绩考核的一部分，突出课程的过程性评价。同时，适当开放线上课程资源，采取混合式教学等模式，将教材内容以外的知识纳入互动式课堂教学过程，这更有利于提高课堂教学效果，拓宽学生视野，激发学生学习兴趣。

4 总结

研究基于数学与应用数学专业师范认证的背景，探析了“常微分方程”课程的课堂教学改革与实践。通过课程思政、建模思想以及与中学联系等三个方面，分析他们和师范专业认证指标的契合点与支撑度。结合具体教学过程案例，探讨如何实施教学活动。通过对课堂教学改革的探索，突出师范认证背景下特殊指标体系的要求，帮助教师改进传统的课堂教学，培养师范生中学数学教学的能力。