压裂泵头体排液过程的非定常流动数值模拟

魏 超， 周思柱， 李美求

(长江大学 机械结构强度与振动研究所， 湖北 荆州 434023)

引言

压裂泵是页岩油、页岩气等油气藏开采作业中常用的超高压装备。泵头体作为压裂泵的核心承压部件，因长时间泵送高压力、腐蚀性的压裂液而频繁发生开裂失效。泵头体相贯线处的贯穿裂纹是泵头体失效的典型形式[1-2]。

近年来，泵头体开裂失效的研究热点主要集中于宏观裂纹扩展寿命预测和疲劳寿命预测[3-4]。泵头体疲劳失效过程由疲劳裂纹萌生和疲劳裂纹扩展2个阶段组成，压裂液的理化特性会加速泵头体相贯线处的裂纹萌生。合理可靠的泵头体寿命预估，需要引入压裂介质与机械载荷的共同作用对裂纹萌生及扩展过程的影响。相关试验研究发现泵头体高强度钢的疲劳裂纹均源自点蚀坑[5-6]，失效泵头体断面观测发现裂纹起源处亦存在大量的点蚀坑[7-9]，表明相贯线处裂纹的萌生和扩展与腐蚀密切相关。但前述研究仅关注了压裂液的化学特性对泵头体的局部腐蚀，忽略了压裂液的流动速度对局部腐蚀的加速作用。大量研究[10-14]已证实了流动加速腐蚀(Flow Accelerated Corrosion, FAC)对金属电化学腐蚀行为中的传质过程、表面附着物移除、钝化层形成门槛及腐蚀速率具有不可忽视的影响。WEI Liang等[15]发现点蚀的尺寸与流速呈线性正相关；LIU Tao等[16]的研究显示流速变化会影响点蚀形状的演化，点蚀坑受载产生的应力集中会诱发裂纹，而点蚀的尺寸和形状是决定裂纹萌生门槛和萌生位置的主要参数[17-21]。因此，合理的泵头体剩余寿命评价需要考虑FAC对泵头体材料局部腐蚀的影响。

明确FAC对泵腔相贯线处局部腐蚀的影响的前提是掌握泵腔内压裂液的运动规律。然而泵头体内腔压力最高可达140 MPa，现场试验难以获得泵腔内压裂液的流动情况。计算流体动力学(Computational Fluid Dynamics，CFD)联合动网格技术能模拟复杂的流动问题[22-23]，因而被广泛地应用于压裂泵汲液过程的阀盘冲蚀[24]和吸入腔空化特性[25-26]研究。

鉴于此，以5ZB-2800压裂泵泵头体为研究对象，建立了排液过程泵阀及柱塞运动方程，联合CFD和动网格技术，模拟了泵头体相贯线处压裂液非定常流动过程，分析了排出压力、柱塞冲次、柱塞直径及压裂液黏度等参数对相贯线处流速的影响，在此基础上拟合了相贯线处流速预测的数学模型。为后续泵头体材料流速加速腐蚀疲劳试验设计提供理论依据，同时也为应力、腐蚀、环境液流速协同作用下的泵头体腐蚀疲劳裂纹萌生机理研究奠定理论基础。

1 泵阀及柱塞运动的数学模型

图1a为泵头体排液过程柱塞运动示意图。令曲柄与左侧中心线的夹角为0°且曲柄逆时针转动，则排液过程曲柄转角θ=ωt∈[π，2π]。根据几何关系可以得到柱塞从右侧死点到左侧o点的位移x：

(1)

其中，r为曲柄长度，mm；l为连杆长度，mm；λ为曲柄连杆比，λ=r/l；ω为角速度，rad/s。

图1b所示为排出阀运动示意图。考虑魏斯特法尔现象，阀隙中液流连续性方程可表示为：

Qgap=Qint-Svvv

(2)

式中，Qint=Frωsin(ωt-π)为单缸内排出的瞬时流量，m3/s；Qgap=πDvhsinφαvvg为阀隙流量，m3/s；Sv为泵阀的横截面积，m2；vv为泵阀上升过程运动速度，m/s；F为柱塞断端面面积，m2，Dv为泵阀直径，m；α为过流断面收缩系数；h为泵阀的升程，mm；φ为泵阀锥角，(°)；vvg为阀隙流速，m/s。

图1 排液过程泵阀及柱塞运动Fig.1 Motion pattern of pumpvalve and plunger during discharge process

(3)

排出阀的升程和速度为：

(4)

(5)

式中，θ1和θ2分别为吸入阀滞后关闭角和排出阀滞后开启角，可分别由式(6)及式(7)计算。β为体积压缩系数，Pa-1；V为单缸工作容积，m3；V0为余隙容积，m3。

(6)

(7)

2 泵头体排液过程仿真模拟

2.1 仿真模型参数及变量

选取排出压力、柱塞冲次、柱塞直径和压裂液黏度为变量。为了便于仿真模型建立，分析过程中涉及的工作参数如表1所示。

表1 仿真计算参数Tab.1 Parameters used for simulation

2.2 流体计算域模型

柱塞端面及泵阀壁面设置为动网格边界，排出流道设为压力出口，其余壁面默认为wall。由于计算域中含有泵阀及不规则相交区域，采用混合网格划分策略更容易将模型离散化。柱塞运动区域采用六面体网格划分，而泵阀运动区域和剩余区域采用四面体网格划分，如图2所示。因为计算域模型含有大量的混合网格，模拟泵阀与柱塞运动时计算极易发散。通过多次试算发现，指定网格偏斜度为0.7，柱塞运动区域网格尺寸为1.5 mm，泵阀运动区域和剩余区域网格尺寸为2 mm，网格数量为3376497个。表2所示为网格无关性结果，网格数量从300万量级增加到700万量级，而误差仅为2.73%，表明前述网格划分策略能够获得稳定收敛且不受网格密度影响的结果。

图2 流体计算域模型Fig.2 Model of fluid computing domain

表2 网格无关性结果Tab.2 Result of mesh independence

2.3 CFD仿真模拟

排液过程中柱塞和泵阀的运动使得泵腔内流动处于非稳定状态，当单缸最大排量为0.00724 m3/s时，估算得排出流道的雷洛数约为21504，表明此工况下泵腔内流动模式为湍流，因此采用RNGk-ε湍流模型对排液过程进行CFD动态模拟，采用PISO算法求解N-S方程。应用动网格技术控制柱塞及泵阀壁面网格边界运动，其过程为：Fluent解算器向UDF子程序传递时间增量t，UDF依据式(5)和时间增量t计算泵阀的瞬时速度，随后将瞬时速度返回到Fluent，更新泵阀壁面网格节点位置。柱塞壁面动网格参数中曲柄转角范围为180°～360°，曲柄转速按分析工况输入，模拟过程由900个时间步组成。后续仿真算例中，动网格更新参数及压力出口条件等依据研究变量确定。

3 仿真结果分析

3.1 相贯线处流场规律

图3所示为柱塞直径d为101.6 mm，冲次n为120 r/min，排出压力p为109.1 MPa，压裂液黏度μ为1 mPa·s 时泵头体相贯线处流速变化。由图3可知，相贯线附近的流速高于周边区域；随着曲柄转角增大，当柱塞靠近左侧相贯线时，左侧相贯线区域的流速高于右侧相贯线区域的流速；当柱塞越过左侧相贯线时，右侧相贯线区域的流速高于左侧相贯线区域的流速。图5表明左、右两侧相贯线处的峰值流速基本相等。

图3 相贯线处流速变化Fig.3 Flow velocity changes at intersecting line

为了便于观测曲柄运动过程中相贯线线处流速变化情况，在左右两侧相贯线附近建立具有相同尺寸的矩形监测平面，如图4所示。将任意曲柄转角条件下不同监测平面上所有位置的流体运动速度积分后取算术平均值作为当前条件下的瞬时速度，所得结果如图5所示。

图4 相贯线流速监测面Fig.4 Flow velocity monitoring plane at intersecting line

由图5可以看出，4 mm×4 mm的监测平面所得平均流速明显低于另外2组，而5 mm×5 mm和6 mm×6 mm的监测平面上的流速几乎重合，表明5 mm×5 mm 的监测面能够获取稳定的相贯线处流速。相对于左侧相贯线，右侧的流速vr在曲柄转角θ为262°～328°时相对稳定。考虑到泵头体内腔腐蚀疲劳裂纹也起源于右侧相贯线处[4]，所以下文将以右侧相贯线处流速作为相贯线处流速。

图5 不同监测平面条件下两侧相贯线处流速Fig.5 Flow velocity obtained by monitoring plane with different size

由于右侧相贯线的稳定速度区间跨度较大，将以稳定区间的速度均值作为相贯线处流速v，计算方法如式下：

(8)

其中，m为稳定区间流速样本的总数，vi为稳定区间内任意时刻的流速，m/s。

3.2 排出压力对相贯线处流速的影响

令柱塞直径d为95.25 mm，柱塞冲次n为300 r/min，压裂液黏度μ为1 mPa·s。图6a所示为排出压力p为51.5， 64.4， 79.3， 98.9， 137.9 MPa时相贯线处流速随曲柄转动变化情况；图6b所示为不同排出压力条件下相贯线处流速。

从图6a中可以看出，排出压力p在51.5～98.9 MPa范围内，增大工作压力对相贯线处流速的影响不显著。仅当p为137.9 MPa时，其流速曲线的上升段略微高于其他四种工况。图6b中相贯线处流速相互之间的绝对误差不大于0.2 m/s，不同排出压力条件下的相贯线处流速几乎没有差异。泵头体静力学有限元分析表明，p为137.9 MPa时，泵头体内腔表面任意位置的等效应变均低于0.46%，最大变形量约为0.14 mm，相对于泵头体尺寸，因壁面弹性变形而增大的容积几乎可以忽略。因为柱塞冲次恒定，根据式(4)和式(7)可知，排出压力从51.5 MPa增大到137.9 MPa，泵阀的最大升程不变，而泵阀滞后开启角仅增加3.32°。理论上，滞后角的增量使排液周期缩短了1.84%，而排液体积一定时，排液周期的缩短所导致的流速增量亦为1.84%。上述分析表明，相贯线处压裂液流速对排出压力不敏感。

图6 排出压力对相贯线处流速的影响Fig.6 Effects of discharge pressure on flow velocity at intersecting line

3.3 柱塞冲次对相贯线处流速的影响

图7所示为柱塞直径d=95.25 mm，压裂液黏度μ=1 mPa·s，柱塞冲次分别为n=67， 120， 180， 240， 300， 360, 420 r/min条件下相贯线处流速。

从图7可知，柱塞冲次n从67 r/min增加到420 r/min，相贯线处流速从0.71 m/s上升至4.27 m/s，增加了6.02倍。柱塞冲次的线性增大，使得单位体积压裂液的排液时间线性减小，相贯线处流速增加且与柱塞冲次呈线性正相关。

图7 柱塞冲次对相贯线处流速的影响Fig.7 Effects of plunger frequency on flow velocity at intersecting line

3.4 柱塞直径对相贯线处流速的影响

本研究的5缸压裂泵需要配置两种不同直径的柱塞以满足压裂作业排量需求。柱塞直径的改变直接影响泵头体内腔容积，对相贯线处流速具有不可忽视的影响。图8所示为柱塞直径d为95.25, 101.6 mm，压裂液黏度μ为1 mPa·s，柱塞冲次n分别为67， 120， 180， 240， 300， 360, 420 r/min时相贯线处流速。

图8 柱塞直径对相贯线处流速的影响Fig.8 Effects of plunger diameter on flow velocity at intersecting line

从图8中可以看出，柱塞直径的改变不会影响相贯线处流速与柱塞冲次之间的线性关系；当柱塞冲次较小时，两种柱塞直径条件下流速差异较小；但随着冲次的升高，柱塞直径的改变对相贯线处流速的影响变得更加明显。

为得到不同柱塞直径条件下相贯线处流速之间的关联，将相同柱塞冲次条件下不同柱塞直径时的相贯线处流速的比值定义为流速比γ。由图8可知，不同柱塞条件下的流速比γ约为1.067，均在±5%误差带内，在数值上约等于柱塞直径之比。这一规律表明：柱塞冲次n恒定，不同柱塞直径条件下相贯线处的流速比γ与柱塞直径比相等。

3.5 黏度对相贯线处流速的影响

常用的水基压裂液的黏度为10～80 mPa·s[27]。以柱塞直径d为95.25 mm建立模型，压裂液黏度μ为1， 20， 40， 60, 80 mPa·s。图9所示为不同黏度条件下相贯线处流速。

图9 黏度对相贯线处流速的影响Fig.9 Effects of viscosity on flow velocity at intersecting line

由图9可知，当柱塞冲次低于150 r/min时，压裂液黏度的提高使相贯线处流速呈现出先增后减的趋势；当柱塞冲次高于150 r/min时，流速随着压裂液黏度的增大有小幅增加；任意黏度条件下，流速与柱塞冲次之间的线性关系没有变化。

上述结果表明，高柱塞冲次条件下，增大压裂液黏度会提高相贯线处流速。压裂液黏度和柱塞直径对相贯线处流速的影响程度相当，远弱于柱塞冲次对相贯线处流速的影响。

4 相贯线处流速预测的数学模型拟合及验证

结合前述分析的排出压力、柱塞冲次、柱塞直径及压裂液黏度等因素对相贯线流速的影响规律，依据柱塞直径d为95.25 mm条件下的仿真数据，利用麦夸特法(Levenberg-Marquardt)拟合得到相贯线处流速v的多项式可表示为：

v=cnαμβγ

(9)

式中，c，α和β为待拟合系数；γ为与柱塞直径比有关的流速比。

结合图10可以看出，当系数c为0.015229，α为0.928306，β为0.015161及稳定流速比γ为1时，式(9)所预测得到的流速与真实流速的相关性系数R为0.999，表明拟合得到的流速预测公式具有较好的预测精度。

图10 流速预测模型系数拟合Fig.10 Fitting of coefficients of flow velocity prediction model

图11所示为柱塞直径d为101.6 mm， 柱塞冲次分别为240, 360 r/min时的预测值与真实值曲线，流速比γ=1.067，式(9)的预测值与真实值的最大相对误差低于2.35%，表明式(9)引入与柱塞直径比有关的流速比γ，仍能较准确地预测柱塞直径变化后的相贯线处流速。

图11 柱塞直径变化条件下相贯线处流速Fig.11 Flow velocity at intersecting line under change of plunger diameter

5 结论

(1) 压裂泵排液时，改变排出压力对泵头体内腔相贯线处流速的影响不明显；

(2) 柱塞直径及压裂液黏度不变时，压裂泵柱塞的冲次越高，内腔相贯线处流速越快，且相贯线处流速与柱塞冲次近似呈线性正相关；

(3) 压裂泵柱塞的直径对相贯线处流速具有显著影响。当柱塞的冲次一定时，不同柱塞直径条件下的相贯线处流速比近似等于柱塞直径比；

(4) 压裂液黏度对泵头体内腔相贯线处流速的影响与柱塞冲次有关。压裂液黏度和柱塞直径对相贯线处流速的影响程度相当，远弱于柱塞冲次对相贯线处流速的影响；

(5) 所拟合的流速预测模型对压裂泵泵头体内腔相贯线处流速具有较好的预测精度。可为后续泵头体材料流动加速腐蚀试验设计提供理论依据。