章首课的教学与反思
——以“不等式”的教学为例

张 丽

(江苏省南京市南师附中秦淮科技高中 210007)

笔者尝试上了一节“不等式”章首课，“不等式”是苏教版普通高中课程标准试验教科书《数学5》(必修)第三章章首节.它对后续的不等关系、一元二次不等式、二元一次不等式表示的平面区域、简单的线性规划问题及基本不等式的证明等学习内容具有“先行组织者”的影响.以下介绍的是这节章首课的主要教学过程及若干思考，与同行交流.

1 教学过程

片段一“为什么要学”

师：本章学习“不等式”，我们为什么要研究不等式？

生1：因为在生活中有大量的不等关系.

师：数学中用什么表示这些不等关系？举例.

生2：不等式.

生3：例如x>1,(a+b)2≥0,(a-b)2≥0,x2<1,sin60°<1……

片段二“学什么”

师：我们对等式有过大量的研究,我们能对不等式做些什么研究呢？

生4：首先要搞清楚什么是不等式.用不等号表示的式子叫不等式.

师规范：用不等号连接的式子叫做不等式.

师追问：有哪些不等号呢?

生4：“<”“>”“≤”“≥”“≠”

生5：不等式可以研究一次不等式，二次不等式，三次不等式等等，还可以研究有几个未知量的不等式和不等式的应用.

生6：由不等式想到等式，由等式的性质想到可以研究不等式的性质.

师：请举例.

生6：比如由“若a=b，则a+1=b+1”类比得到“若a>b，则a+1>b+1”.

师：类比迁移时需要注意什么?

生6：等式性质与不等式性质，他们各自有成立的前提条件，需要特别注意.

生7：等式研究的是确定的关系，不等式研究的是不确定的关系，不确定的关系可能是范围，也可能是其他形式.如非常常见的不等式a2+b2≥2ab，它是个对其它问题有影响的不等式，我们先研究它，再应用它.

师追问：确定关系反映在等式上是什么？比如x+1=0.

生7：能把方程解出来.

师：就是我们可以通过“解方程”来解释这个确定的关系.

师追问：那么不确定的关系反映在不等式上是什么？

生7：解不等式.

师继续追问：你说的非常常见的不等式，我们怎么研究它？(生7回答不出.)

师：那你认可这样的不等式吗？怎么说明它可以被应用？

生7：认可，我可以证明它是正确的.

师：非常好！

生8：我考虑的是不等式自身的特性，如恒成立，再如不等式与不等式之间的关系.

片段三“怎么学”

师：同学们说得都很棒！如果确定了研究的内容，你打算如何去研究呢？比如,在初中我们学过了一元一次不等式，不妨以此为例，我们一起回顾一下是如何研究一元一次不等式的.我们解一下不等式3x+2>0.

师：他这样解有依据吗？

生10：用了不等式的性质.

师：还有什么方法可以解这个不等式？

师：这位同学条理清晰地找到了函数图象、方程(即等式)与不等式之间的联系，利用函数图象研究了一元一次不等式解法.我们在此基础上进一步研究不等式,可以研究哪一类？

生12：一元二次不等式，如x2-3x+2<0，

生13：先构造一元二次函数y=x2-3x+2，并作出它的图象，令y=0，得到x=1和x=2，也即找到了函数图象与x轴交点的横坐标.解不等式x2-3x+2<0，就是解y<0.

师：这是从形的角度去思考，能换一个角度解决一元二次不等式吗？

师：你是怎么想到的？

生14：我们已经会解一元一次不等式，那么可以考虑把一元二次转化为一元一次的问题，因式分解就是实现转化的一种手段.

师：如果不能因式分解呢？如求解不等式x2-3x+1<0.

生15：用配方或求根公式，只要能找到方程的根，结合图象即可.

生16：不一定都能找到方程的根，但是可以作图，结合图象解决.比如，x2+1<0，无解，不等式的解集为空集.(掌声自然的响起.)

师：如何进一步求解一元三次不等式，如x3-2x2-x+2<0？

生17：找到方程的一个根，即可将三次方程降为二次方程，然后研究三次函数图象，再解决一元三次不等式问题.

师：非常好，用了降次与化归的思想方法.当然，也许还有一些简便的解法，可待后续研究.一元不等式我们暂且讨论至此，在同学们举例的等式中有一个x+y=2，这是什么方程？

生18：二元一次方程.

师：它的解是什么？

生18：无数组解.

师：怎么表示这些解？

生19：直线y=-x+2上所有的点的坐标都是方程x-y=2的解.

师：你能仿此等式写出一个不等式，并且求解吗？(先充分独立思考，然后再小组合作讨论.)

生20：我们组研究了二元一次不等式x+y>0的解法.先画函数x+y=0的图象，然后发现直线y=-x右上方的区域中点的坐标都满足不等式x+y>0，因此不等式x+y>0的解在直线x+y=0的右上方区域.

PPT上呈现问题：

已知bg糖水中有ag糖(b>a>0),若再添加mg糖(m>0),则糖水更甜(即浓度更高).请根据这个事实写出a,b,m所满足的不等关系.

师：同学们能提炼出实际问题数学化的思维链吗？

(请独立思考2分钟，然后小组讨论3分钟.一个小组发言，其它小组点评.)

师：同学们可以类比证明等式恒成立的方法，来证明一些恒成立的不等式，请课后完善此题证明.

片段四“梳理知识，归纳小结”

师：学完这节课你知识上、方法上有什么收获？还有什么困惑吗？请先独立思考,然后小组合作填写小结表格.

课后作业：自学必修五第三章不等式，写出你的收获、困惑,并设计成一个表格.

2 教后反思

2.1“等”与“不等”是辩证关系

“等”与“不等”是对立统一的.从量的关系上看“等”是相对的，“不等”则是绝对的；从运算性质上看，“等式”和“不等式”有相似的一面，如传递性，但又有差异的一面，如两边同乘一个数等式仍然成立，而不等式不一定成立；从矛盾双方转化来看，“等”的问题有时要转化为“不等”问题，而“不等”问题有时又要转化为“等”的问题，如判断一元二次方程实根情况和解一元二次不等式便是在“等”和“不等”之间进行相互转化.

2.2 学生已有认知作为新知的重要生长点

要充分分析学情.了解学生已经具备了哪些知识，如学生已有“等式”和已经研究过的“一元一次不等式”的认知；了解学生已有的数学思想方法，如类比思想、转化与化归思想、降次思想、数形结合思想；学生已有的研究数学问题的经验，如从特殊到一般、从低次到高次、从一元到多元、从为什么学到学什么再到怎么学.学生已有的认知决定有哪些知识点作为新授课的生长点，哪些方法和经验可以迁移到新的学习内容中来，最后引导学生探索各知识点之间的内在联系，形成知识框架.

2.3 上章首课的理由

章首课的内容和研究方法有利于学生搭建知识框架，并能为后续学习本章内容提供重要的思想方法.

2.4 章首课的形态

章首课宜多“虚”少“实”，宜多“宏观”少“微观”，宜多“粗”少“细”，甚至问题都不用解决到底，可留待后续探究.简单来说就是“看似什么都讲了，又好似什么都没讲”.

科学地设计、合理地实施章首课教学，对一章的学习能起到事半功倍的效果，章首课丰富的教学价值值得教者深思.