让“优化”思维浪潮奔涌而来

张兵

【摘 要】“优化”是十分重要的数学思想，在人教版小学数学教材中安排了烙饼、沏茶、打电话等简单事例进行“优化”数学思想的渗透，让学生在开放的生活情境中尝试多种方案，从而寻找最优方案。在五年级下册“打电话”教学中，教师合理调整教材呈现的素材，厘清教学逻辑，遵循知识的内在顺序，尊重学生认识层次，层层递进，一步步帮助学生解决问题，让学生愉悦地遨游在思维的浪潮中。

【关键词】优化 思维浪潮 奔涌

小学数学教材十分注重“优化”数学思想的渗透，着力培养学生综合运用“优化”方案解决实际问题的能力。人教版数学五年级下册综合实践“打电话”利用学生熟悉的生活情境，以学生的生活经验为基础，为学生创造了可探究的空间。学生在尝试寻找“答案”的过程中，循知识之序，螺旋上升，“优化”思维浪潮奔涌而来。他们在合作、探究、交流中发现规律、应用规律，能进一步体会到“优化”思想在生活中的广泛应用，最终促进学习知识的内化。本文以“打电话”教学实录为例，呈现一堂富含思维浪潮的小学数学课。

一、呈现素材，多元探究

1.情境引入

师：周末，张老师接到一项紧急任务，需要尽快通知几位数学老师到校。为了及时准确通知到每个人，老师采纳同学们课前的建议，用“打电话”的方式来通知他们。这节课，我们就一起来研究“打电话”中的数学问题。

2.出示问题

师：请看题目，默读一遍“每分钟通知1个人，那么3分钟最多可以通知多少个人”，同学们，你们读懂了些什么？

生1：时间为3分钟。

生2：人数要最多。

师：那大家认为3分钟最多可以通知多少人？你的思考是什么？

生1：我认为1分钟通知1个人，3分钟就应该最多通知3个人。

生2：我猜可以通知4个人。

生3：我最多可以通知5个人。

……

3.列举策略

师： 出现了不同的答案，有争执就好，我喜欢。到底谁的思路和结果是正确的呢？现在要解决这个问题，你准备选择什么策略呢？（画图、列表、一一列举……）

4.自主探究

师：好，下面把时间交给大家，独立思考，用自己喜欢的方法，在活动单上完成设计方案。

【思考】初次试教时，笔者利用了教材呈现的“尽快通知15人”问题情境，但在执教中发现，因“15人”数据较大，学生表征过程非常烦琐，画图及尝试不同的解决方案有很大的困难，设计的方案令人眼花缭乱，学生在交流展示自己的方案时说着说着就乱了，其他学生听得很费劲;课堂出现“生与师一对一”的状况，低效的交流导致课堂失控，学生的有效学习没有真正发生。针对试教课堂不理想的状况，笔者调整教材中“15人需要多少分钟”的条件和要求，改为“3分钟最多可以通知多少人”，从“扶”入境，由易到难，螺旋上升，让大部分学生都能正确、清楚地表示出打电话的过程，为后续的思维打开空间。材料的调整有助于学生的表征顺利展开，让数学学习有效发生，“优化”思维之浪初起。

二、探讨方法，逐步优化

1.交流展评，寻找最优

师：画图是个好方法，大家都不约而同地选择了它。老师收集了具有代表性的四幅作品。

师：让我们一起来看看同学们设计的方案吧，大家能看明白他们是怎么画的吗？自己来介绍一下设计方案吧。（见图1～4）

第一幅：逐一通知          第二幅：分组通知

第三幅：同时通知（无序）

第四幅：同时通知（有序）

师：请同学们判断哪个方案通知人数是最多的？他为什么通知到的人能更多呢？

生：第三、第四个方案人数是最多的，因为他们的方案中每1分钟内都在给所有老师打电话。

师：后两种画法你们更喜欢哪一种？

生：有序的那种，他抓住了很关键的一点，是以时间作为标准画的，每个老师都不空闲，这样，3分钟通知的人数就会最多。

小结：通过画一画的策略，我们已经知道了“3分钟最多可以打7个人的电话”。

【思考】在此过程中，学生经历了“用自己喜欢的方式表示出来”“运用文字、符号或图示表征自己的思维過程”“大胆地将自己的方案展示和交流”三个阶段，从“逐个通知”“分组通知”到“最优通知”，在列举和比较多种方案中找到最优方案。教师在整个过程中，以问题引领，层层剖析，建构新知，“优化”思维踏浪而来。

2.收集数据，启发质疑

师：同学们，5年多来，我们学了很多找规律的知识。让我们回过头来看一看设计方案。今天学习的打电话的知识中有没有一些规律，是不是也可以探索规律呢？我们一起来收集方案中的相关数据。

师：第1分钟时，新接到通知的人数是多少？所有知道通知的总人数是多少？最多能通知几人？

师：第2分钟时，新接到通知的人数是多少？所有知道通知的总人数是多少？最多能通知几人？

师：第3分钟时，新接到通知的人数是多少？所有知道通知的总人数是多少？最多能通知几人？

师：我们已经收集到了1分钟、2分钟、3分钟的相关数据，要想找出规律，我们还需要更多的数据，那么，你们的思考是什么？

生：我在想4分钟、5分钟……

师：好，那我们就按照这样的思路，继续收集数据，然后分析数据，找出规律吧。请完成活动单表格，填写后在小组内说一说。

（学生操作并填写表格）

师：同学们，我们来交流一下你们的研究成果吧。

【思考】通过交流研究，学生应用类似的方法去探究一类题目背后隐藏的规律。在解决同一类问题的同时，学生的思维走向深入，“优化”思维浪潮迭起。

3.方法应用，提炼模型

师：同学们，看到这么多数据，你们有什么新发现吗？

生1：所有知道通知的总人数是新接到通知人数的2倍。

生2：新接到通知的人数是上一分钟人数的2倍。

生3：所有知道通知的总人数是上一分钟知道通知总人数的2倍。

生4：最多通知到的总人数比所有知道通知的总人数少1人。

生5：新接到通知的人数与上一分钟所有知道通知的总人数相等。

师：观察所有知道通知的总人数，你们又发现了什么？

生：总人数与2这个数字很有缘哟。4可以写成2×2，8可以写成2×2×2，即3个2相乘，16可以写成4个2相乘，32可以写成5个2相乘，64可以写成6个2相乘。

师：同学们，你们又有什么思考？

生：我看到，第几分钟所有知道通知的总人数是几个2相乘，也就是2的几次方。

师：那如果第n分钟呢？你们能用字母表达式来表示它们的关系吗？

学生总结填表，具体如下表：

【思考】用表格的形式，让学生观察、分析，抓住内在规律和本质特点，建立数学模型，再利用算式、图形进一步理解规律，巩固建模，“优化”思维浪潮迭起。

师：同学们，现在来看看，要通知15人，最少需要多少分钟？

生：8分钟。我来边讲边画给大家看看。

师：同学们，谁再来提提问题？

生：要通知31人，需要多少分钟？

生：我知道，需要16分钟。

【思考】理想的课堂应是统筹思考和预设，探寻正确的教学规律，将学习引向深入。在解决“3分钟最多通知多少人”的问题后，教师引导学生将规律和方法內化为活动经验，并按照“模式”重复运用这种经验，让学生自己迁移“4分钟”“5分钟”“6分钟”或更多时间，最多可以通知多少人。在数据较大时，画图显然不是最佳方案，这时就需要学生在理解规律的基础上利用表格、算式或图形来解决问题，用规律解决打电话的实际问题，进一步体会优化思想，“优化”思维浪潮高涨。

三、应用模型，解决问题

1.生活中的数学

师：同学们，其实在现实生活中，有很多现象也蕴含着我们今天从打电话中发现的规律。比如我们常说的“一传十、十传百”“鸡生蛋、蛋孵鸡，鸡再生蛋、蛋再孵鸡”。下面再用今天的规律来边看视频边思考拉面中的数学问题。请看视频。

2.故事感悟数学美

师：再来听一个有趣的故事（录音播放印度国际象棋发明人的故事），请在棋盘的第一个格子里放上一颗麦粒，在第二个格子里放上2颗麦粒，在第3个格子里放上4颗麦粒，第4个格子里放上8颗麦粒，以此类推，每个格子里放的麦粒都是前一个格子里的麦粒数的2倍，直到第64个格子。想一想，结果会怎样呢？第64个小方格究竟有多少粒麦粒？国王拿得出来吗？

师（小结）：数学真是一门神奇的科学！运用这样的数学规律竟会产生如此惊人的结果！希望同学们能用数学的眼光去发现更多数学问题，并能运用今天的知识去解决更多实际问题。

【思考】在练习中进一步运用规律解决生活中的实际问题，巩固模型，培养学生的应用意识。

四、比较异同，明晰主旨

师：这节课的教学内容是打电话，为什么练习的习题却是和打电话无关的问题？

生：我知道了，解决此类题目的方法是先选择策略，再分析数据，最后找出规律。下次遇到类似的题目时，我们就可以按照这样的方法来解决难题。

【思考】通过比较，让学生知道“打电话”不仅仅是一道题，它更是一种解决问题的思路和方法，让学生真正从解题的技能走向解题的模型，“优化”思维之浪涌上沙滩。

《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出：“综合与实践”是以问题为载体，以学生自主参与为主的学习活动。在活动中要注重培养学生综合运用有关知识与方法解决实际问题的能力，培养学生的问题意识、应用意识和创新意识，积累数学活动经验，提高解决现实问题的能力。在“打电话”课堂教学中，学生用圆圈、编号等图示表示教师，借助图示进行思考、运算和推理，用式子、符号表示结果，充分体现了符号化的思想，培养了学生的符号意识。同时，让学生用数学式子表示问题的数量关系和变化规律，建立了一种数量关系模型——几何倍增。“一传十、十传百”“鸡生蛋、蛋孵鸡、鸡再生蛋、蛋再孵鸡”“麦粒问题”等，都是这个模型的实际运用，模型思想随之渗透，学生应用和解决实际问题的能力也得以提升。学生在一次次思考、一次次交流、一次次反思中，积累了丰富的数学活动经验，优化了数学思想，踏“思维之浪”而行，提升了数学思维水平。