注重数形结合　发展几何直观素养

【摘 要】几何直观主要是指利用图形描述和分析问题，可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。通过一题多解可以很好地发展学生的几何直观素养，让学生走出“题海”，提高学习效率。

【关键词】初中数学;数形结合;几何直观;一题多解

【中图分类号】G633.6  【文献标识码】A  【文章编号】1671-8437（2022）24-0016-06

几何证明题在中考数学中占有极其重要的地位，不仅属于难点，还具有拉开学生之间的分数差距的作用。而角和线段是初中几何的基本元素，其中角相等的证明，基本上可以涉及初中几何的方方面面，如角平分线、两直线平行、三角形全等及相似等知识。解决角相等问题的知识和方法越多，选择的范围也就越广，这对教师的教和学生的学都提出了新的要求。纵观各地试题，有的给基础习题添加新问题，有的给基本模型创设新情境，有的赋予核心概念新视角。对此，学生要能够抓住问题的本质，灵活运用角平分线、两直线平行、全等三角形、等面积法等知识和方法，提升自己的解题

能力[1]。

几何直观主要是指运用图形描述和分析问题的意识和习惯，可以把复杂的数学问题变得简明、形象。下面笔者通过一道初二几何压轴题，展示数形结合与几何直观在证明角相等的问题中的

作用。

1   试题再现

2017—2018学年湖北省武汉市青山区八年级（上）期末数学试卷24题：如图1，在平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴、y轴于点A（a，0）与点B（0，b），且a，b满足a2+4a+4+|2a+b|=0。

（1）a=____;b=____;

（2）點P在直线AB的右侧，且∠APB=45°，

①若点P在x轴上，则点P的坐标为____;

②若ΔABP为直角三角形，求点P的坐标;

（3）如图2，在（2）的条件下，点P在第四象限，∠BAP=90°，AP与y轴交于点M，BP与x轴交于点N，连接MN，求证：MP平分ΔBMN的一个外角。

2   解法呈现

解析问题（1）：方程左边前三项先完成配方，然后根据两个非负数的和为零则这两个非负数都为零这一规律，得到两个方程，最终解得a=-2，b=4。

解析问题（2）：①如图3，根据上一问得到b=4，则得到OB的长为4，再根据点P在直线AB的右侧且在轴上，再加上∠APB=45°，很容易根据等腰三角形的性质得到OP=OB=4，进而得到P的坐标为（4，0）。

②如图4，题目要求ΔABP为直角三角形，并没有指明哪个角是直角，此时要应用分类讨论思想。由于已给出∠APB=45°，因此只有∠ABP=90°和∠BAP′=90°两类。

当∠ABP=90°时，过点P作PC⊥OB于C，易证ΔAOB≌ΔBCP（AAS），∴P（4，2）;当∠BAP′=90°时，过点P′作P′D⊥OA于D，同理可得ΔADP′≌ΔBOA，∴P′（2，-2）。即满足条件的点P坐标为（4，2）或（2，-2）。

2.1  利用平行构造全等

问题（3）解法1：已知∠BAP为直角，因为两坐标系互相垂直，容易想到“K字型”模型。借助平行辅助线，构造两组全等，进而将角的问题通过全等得以转化。

如图5，由（2）知点P（2，-2），∵A（-2，0），∴直线AP的解析式为，

∴M（0，-1），∴BM=5，

同理，直线BP的解析式为y=-3x+4，

∴N（，0），∴MN=，

过点P作PH∥AB交x轴于H，

∵∠BAP=90°，

∴∠BAO+∠PAH=90°，

∴∠BAO+∠ABM=90°，

∴∠ABM=∠PAH，

在ΔABM和ΔPAH中，

∴ΔABM≌ΔPAH（ASA），

∴∠AMB=∠PHA，AH=BM=5，

∴∠PMG=∠PHA，OH=AH-OA=3，

∴H（3，0），

∴NH=3-，

∵P（2，-2），M（0，-1），H=（3，0），

∴PM=，PH=，PM=PH，

∴ΔPNM≌ΔPNH（SSS），

∴∠AHP=∠PMN，

∴∠PMG=PMN，即MP是ΔBMN的一个外角的平分线。

评析：借助平行线构建了“K字型”基本模型的两个全等三角形ΔABM和ΔPAH，进而求得了AP和BP两条直线的解析式，利用直线与坐标轴的交点和两点间的距离公式得到MN=NH，PM=PH，最后再次利用全等求得两角相等。在平时的教学中，教师不仅要重视两直线平行、三角形全等、两点距离公式等基本知识和基本方法的传授，还要重视基本模型的渗透。

2.2  巧借中点构造全等

解法2：要证明∠DMP=∠NMP，可以转化为证明∠AMB=∠NMP，于是想到作MP的垂线来构造全等三角形。根据同垂直于一条直线的两直线平行，借助直线解析式可以得到交点坐标，进而获得相等线段。

如图6，过点P作PM的垂线，交MN的延长线于点C，交y轴于点D。

设直线AP为y=kx+b（k≠0），直线过点A（-2，0），P（2，-2），

则有，解得，

∴直线AP为，

令x=0，则y=-1，∴M的坐标为（0，-1），

又∵AP中点为，即（0，-1），

∴M为AP中点。

设直线BP为y=k1x+b1（k1≠0），直线过点B，P，

∴，解得，

∴直线BP为y=-3x+4，令y=0，则，

∴N。

设直线MN为y=k2x+b2（k2≠0），直线过点

M，N，

∴，解得，

∴直线MN为，

又∵∠MPC=∠BAP=90°，

∴AB∥PC，设直线PC为y=2x+b3过点P，

∴-2=4+b3，解得b3=-6，

∴直线PC为y=2x-6，

∴，解得，

∴MC=。

又∵BM=OB+OM=5，∴BM+MC，

在RtΔABM与RtΔPCM中，

∴RtΔABM≌RtΔPCM（HL），

∴∠BMA=∠CMP，

又∵∠DMP=∠AMB，

∴∠DMP=∠PMC，

∴MP為∠DMN的平分线。

评析：借助两直线垂直时k值互为负倒数的基本知识得到PC的直线解析式。利用中点坐标公式推出M为AP中点，再由直线解析式求得N，C的坐标，然后利用两点间的距离公式得到BM=MC，最后利用全等求得两角相等。

2.3  利用函数构造全等

解法3：利用∠APB为45°这个条件，结合本问要证明的结论反推回来，此时作BP的垂线能够得到全等三角形。

如图7，过点P作BP的垂线交BA的延长线于点Q，交y轴于点G。

设直线BP为y=kx+b（k≠0），B（0，4），P（2，-2）在直线BP上，

∴，解得：，

∴直线BP为y=-3x+4，又∴BP⊥PQ，

可设直线PQ为，P（2，-2）在直线PQ上，∴，，

∴直线PQ为，

求得：，。

∴NP===，

GP===，

∴GP=NP。

∵∠BPA=45°，∠BPQ=90°

∴∠NPM=∠GPM=45°。

在ΔMNP与ΔMGP中，，

ΔMNP≌ΔMGP（SAS）

∴∠NPM=∠GPM，即MP平分∠GMN。

评析：此法同样用到了两直线垂直时k值互为负倒数，获得PQ直线解析式，仍旧利用两点间的距离公式得到线段相等，最后结合已知的45°角和公共边，只用一次全等就能证明结论。两直线垂直k的关系、特殊角的应用是此方法的特点，教师要引导学生充分利用现有条件构建全等模型，发展几何直观素养。

2.4  借助旋转构造全等

解法4：题中∠APB为45°，若向两边作垂线可以得到半角模型，可得出PE的辅助线做法，进而构造全等的模型。

如图8，过点P分别向x轴、y轴作垂线，分别交于点C，D。

∵P（2，-2），∴CP=DP，

将?CPN绕着P点逆时针转动90°，C点落在D点上，N点落在y轴的E点上。

∴?CPN≌?DPE，

∴∠CPN=∠DPE，EP=NP，

又∵∠CPN+MPD=45°，

∴∠DPE+∠MPD=45°，

∵∠EPM=45°，

∴∠EPM=∠NPM。

在?EPM与?NPM中，，

∴ΔEMP≌ΔNMP（SAS），

∴∠EMP=∠NMP，即MP平分∠NME。

评析：过P向坐标轴作垂线，易得到正方形，再加之∠APB=45°的条件，具有较强的指导性。由于学生常见的半角模型多是以直角为背景的，此时旋转思想的应用比较自然，最后利用二次全等便可直接证明两个角相等。这也要求教师在平时的教学中注重基本几何模型的提炼，如半角模型、全等模型等。

2.5  用等面积法构造全等

解法5：利用角平分线的逆定理来证明角平分线，往角两边作垂线应该是最容易想到的辅助线方法，再借助等面积方法思想，只需要证明PY=PH即可。

如图9，过P点分别作y轴与MN的垂线交于点H与点Y。

设直线AP的解析式y=kx+b（k≠0），直线过点A（-2，0），（2，-2），

∴，解得，

∴直线AP为。

∵直线AP交y轴于点M，

∴M（0，1），

∴OM=1。

设直线BP为y=k1x+b1（k1≠0），

直线BP过B（0，4），P（2，-2），

∴，解得，

∴直线BP为y=-3+4，

∵直线BP交x轴于点N，

令y=0，则，

∴N（，0），

∴ON=，

评析：要证角平分线，可以证明点P到角两边的距离相等即可。作角两边垂线的辅助线还是比较容易想到的，这样可以接着把问题转化为面积问题，进而转化为求线段长的问题，最终还是构造全等模型证明角平分线。面积法往往可以使问题简化。

2.6  截取线段构造全等

解法6：最简单明了的方法就是直接构造两角相等的全等三角形，截取线段相等不难想到，但是要借助直线解析式证明PN=PH是重难点，而借助坐标解决线段相等问题变得较为简单。

评析：此解法为六种解法中最为巧妙的。难点是截取线段相等，亮点是解析式求点坐标，利用两点间的距离公式得到边相等，最后利用SSS巧妙证明全等。教师要使学生掌握化繁为简的技巧，直接抓住问题的本质，理清解题的思路，有效提升学生的逻辑思维能力。

在几何题目中，辅助线的添加具有较强的技巧性，对解题有举足轻重的作用。如何利用条件添加辅助线？如何结合结论添加辅助线？这些都是教师在日常教学中应该重点思考的问题。教师平时还应多开展一题多解的训练，这样有助于学生把握一些基本的教学模型，提高学生的数学能力[2]。

由上述例题可以看到，函数解析式对于几何证明有很大的帮助，不仅可以求解点的坐标，也能间接解决线段相等的问题。两直线互相垂直时，k的关系以及两点间的距离公式都能起到关键的作用。几何直观可以帮助学生直观地理解数学知识，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。对此，教师应打破束缚，勇于探索，发展学生的几何直观素养。

【参考文献】

[1]曹晓荣.与角平分线相关的基本题型[J].初中数学教与学，2017（8）.

[2]孙刖夫.浅谈初中《几何》习题一题多解与多变[J].成都教育学员学报，2000（7）.

【作者简介】

李杰（1986～），男，四川成都人，本科，中学一级教师。研究方向：初中数学教学。