耦合变分包含系统解的存在性

熊益英, 何家洪

(北部湾大学 理学院，广西 钦州 535011)

0 引言

在文献[1-7]中引入一类耦合变分包含系统问题，求解(x0,y0)∈H1×H2，使得

(1)

其中,H1,H2为实Hilbert空间，F1∶H1→2H1；F2∶H2→2H2为给定的非空集值映射，f1∶H1×H2→H1；f2∶H1×H2→H2为给定的非空单值映射。

该问题的求解有以下几种特别的情形:

(a)如果H1=H2=H,η∶H×H→H,F1(x)=Δηg1(x),F2(y)=Δηg2(y),其中，Δηg1(·)和Δηg2(·)分别表示真η-次可微泛函g1∶H→∪{+∞}和g2∶H→∪{+∞}的η-次微分映射(参见文献[8])，那么问题(1)变为：求解(x0,y0)∈H×H，使得

(2)

问题(2)称为非线性似变分不等式系统问题。

(b)如果F1(x)=∂g1(x),F2(y)=∂g2(y),其中，∂g1(·)和∂g2(·)分别表示真凸下半连续泛函g1∶H1→∪{+∞}和g2∶H2→∪{+∞}的次微分映射，那么该问题退化为：求解(x0,y0)∈H1×H2,使得

(3)

问题(3)称为非线性变分不等式系统问题。文献[9-10]研究了该问题。

(4)

其中，K1,K2分别为H1,H2中的非空凸闭集。文献[11-12]研究了该问题。

(e)如果H1=H2=H,f1(x,y)=-g(x,y),f2(y,x)=-g(y,x),F1(x)=G(x),F2(y)=G(y),问题(4)退化为：求解(x0,y0)∈H×H，使得

g(x0,y0)∈G(x0),g(y0,x0)∈G(y0)。

(5)

由于G为多值映射，问题(5)也称为多值耦合重合点问题。特别地，如果G(x)={φ(x)}，问题(5)退化为：求解(x0,y0)∈H×H,使得

g(x0,y0)=φ(x0),g(y0,x0)=φ(y0)。

(6)

问题(6)也称为耦合重合点问题。文献[13]证明了它的解存在。如果φ是恒等映射，问题(6)退化为:存在(x0,y0)∈H×H,使得

g(x0,y0)=x0,g(y0,x0)=y0。

(7)

问题(7)也称为耦合不动点问题。文献[14]证明了它的解存在。

本文主要研究在赋范线性空间中，问题(1)的解的存在性及其相关问题。在文献[5-6]研究的问题中，集值映射要求的条件非常强，且并未给出实例，很难找到满足条件的映射。因此，本文在文献[5-6]的基础上，将集值凸映射的条件去掉，适当加强单值映射条件，利用KKM引理来研究问题(1)，改进了文献[5-6]的研究结果。

1 预备知识

设X为赋范空间,对任意的集合A,B⊆X,定义αA+βB={αa+βb|a∈A,b∈B}，α,β∈和本文在集合上定义的‖·‖并非范数，而是一个记号,它具有如下的性质:(i)A⊂B⟹‖B‖≤‖A‖;(ii)‖A+B‖≤‖A‖+‖B‖。

注1.1 ‖A-B‖≤‖A‖-‖B‖不成立，例如:X=,A=[1,2],B=[3,4],‖A‖=1,‖B‖=3,‖A‖-‖B‖=1-3=-2。另一方面，‖A-B‖=‖[-3,-1]‖=1，因此，‖A-B‖≤‖A‖-‖B‖不成立。

定义1.1[15]设X为赋范空间,A,B⊂X,A与B的Hausdorff度量H(·,·)定义如下:

定义1.2[16]设X为赋范空间,{Bn}为X中的非空集合序列，称{Bn}在Hausdorff度量下收敛于B，当且仅当H(Bn,B)→0。

定义1.3[17]设X是赋范空间,K和U是X中的非空凸集,f:K×K→X。如果对任意的(x,y),(x1,y1)∈K×K,λ∈[0,1],u∈X,有

‖f(λ(x,y)+(1-λ)(x1,y1)-u‖≤max{‖f(x,y)-u‖,‖f(x1,y1)-u‖},

则称f是几乎拟凸映射。

定义1.4[17]设X,Y为拓扑空间，集值映射F:X→2Y,x0∈X。若对包含F(x0)的任一开集U,存在x0的邻域V，使得F(V)⊂U,则称F在x0处上半连续。F在每一点x处上半连续，则称F为X上的上半连续映射。

定义1.5[17]设X,Y为拓扑空间，集值映射F:X→2Y,x0∈X。若对任意的y∈F(x0)和对X中收敛于x0的一个网{xn,n∈+}，存在网{yn,n∈+}满足对任意的n∈+，yn∈F(xn)，且{yn}收敛于y，则称F在x0处下半连续。F在每一点x处下半连续，则称F为X上的下半连续映射。

定义1.6[17]设X,Y为拓扑空间,集值映射F:X→2Y。对任意的x∈X，若F在x处既上半连续又下半连续，则称F在x处是连续的，若F在x中的任一点都连续，称F在X上连续映射。

定义1.7[17]设X,Y为拓扑空间，非空集值映射F:X→2Y，若对任意的x∈X，F(x)为闭集(凸、有界、紧等)集，则称F为闭值(凸值、有界值、紧值等)映射。

引理1.1[18]设X,Y为拓扑空间,F:X→2Y为紧值映射，那么F是连续映射，当且仅当F在Hausdorff度量下连续。

定理1.2 设X是赋范空间,K是X中的非空凸集,U⊂X,如果f:K×K→X为几乎拟凸映射，则对任意的(x1,y1),(x,y)∈K×K,λ∈[0,1],有

‖f(λ(x,y)+(1-λ)(x1,y1))+U‖≤max{‖f(x,y)+U‖,‖f(x1,y1)+U‖}。

证明：由f为几乎拟凸映射,(x1,y1),(x,y)∈K×K,λ∈[0,1],u∈X,有

‖f(λ(x,y)+(1-λ)(x1,y1))-u‖≤max{‖f(x,y)-u‖,‖f(x1,y1)-u‖},

由于-u∈X,故‖f(λ(x,y)+(1-λ)(x1,y1))+u‖≤max{‖f(x,y)+u‖,‖f(x1,y1)+u‖}。

当max{‖f(x,y)+u‖,‖f(x1,y1)+u‖}=‖f(x,y)+u‖时，两边分别取下确界,则有‖f(λ(x,y)+(1-λ)(x1,y1))+U‖≤‖f(x,y)+U‖。

同理，则有‖f(λ(x,y)+(1-λ)(x1,y1))+U‖≤‖f(x1,y1)+U‖。因此，‖f(λ(x,y)+(1-λ)(x1,y1))+U‖≤max{‖f(x,y)+U‖,‖f(x1,y1)+U‖}，故定理1.2成立。

证明：由定理1.1和定理1.2可得推论1.1成立。

2 主要结论

定理2.1 设X为赋范空间,K是X中的非空凸紧集,fi:K×K→X为连续、几乎拟凸映射,Fi:K→2X是连续、紧值映射,i=1,2，则存在(x0,y0)∈K×K，使得

证明：定义集值映射G:K×K→2K×K,对任意的(u,v)∈K×K,

G(u,v):={(x,y)∈K×K:‖F1(x)+f1(x,y)‖+‖F2(y)+f2(x,y)‖≤‖F1(x)+f1(u,v)‖+‖F2(y)+f2(u,v)‖}。

步骤1 对任意的(u,v)∈K×K,(u,v)∈G(u,v),故G(u,v)≠∅。

步骤2 任意固定的(u,v)∈K×K,任意序列{(xn,yn)}⊂G(u,v),(xn,yn)→(x,y),有

‖F1(xn)+f1(xn,yn)‖+‖F2(yn)+f2(xn,yn)‖≤‖F1(xn)+f1(u,v)‖+‖F2(yn)+f2(u,v)‖。

因为Fi是连续、紧值映射,i=1,2,由引理1.1知Fi在Hausdorff度量下连续，由文献[15]知

|‖F1(xn)+f1(xn,yn)‖-‖F1(x)+f1(x,y)‖|≤H(F1(xn)+f1(xn,yn),F1(x)+f1(x,y))=0。

则有‖F1(xn)+f1(xn,yn)‖=‖F1(x)+f1(x,y)‖。

同理可得

‖F2(yn)+f2(yn,xn)‖=‖F2(y)+f2(y,x)‖，

‖F1(xn)+f1(u,v)‖=‖F1(x)+f1(u,v)‖，

‖F2(yn)+f2(v,u)‖=‖F2(y)+f2(v,u)‖。

故有

‖F1(x)+f1(x,y)‖+‖F2(y)+f2(x,y)‖≤‖F1(x)+f1(u,v)‖+‖F2(y)+f2(u,v)‖。

且(x,y)∈K×K，因此(x,y)∈G(u,v)，故G(u,v)为闭集。

步骤3 由于K为X中的紧集，且对任意的(u,v)∈K×K，闭集G(u,v)⊂K×K，故对任意的(u,v)∈K×K,G(u,v)为紧集。

‖F1(u0)+f1(u0,v0)‖+‖F2(v0)+f2(v0,u0)‖>‖F1(u0)+f1(ui,vi)‖+‖F2(v0)+f2(ui,vi)‖。

因此当i=1,2,…,n时，有

‖F1(u0)+f1(u0,v0)‖+‖F2(v0)+f2(v0,u0)‖>max{‖F1(u0)+f1(ui,vi)‖+‖F2(v0)+f2(ui,vi)‖}。

‖F1(u0)+f1(u0,v0)‖≤max{‖F1(u0)+f1(ui,vi)‖,i=1,2,…,n}，

‖F2(v0)+f2(v0,u0)‖≤max{‖F2(v0)+f2(ui,vi)‖,i=1,2,…,n}。

故‖F1(u0)+f1(u0,v0)‖+‖F2(v0)+f2(v0,u0)‖≤max{‖F1(u0)+f1(ui,vi)‖+‖F2(v0)+f2(vi,ui)‖}，这与假设产生矛盾，因此假设不成立，故G是KKM映射。

定理2.2 设X为赋范空间，K是X中的非空凸紧集,fi:K×K→2X是连续、线性映射,Fi:K→2X是连续、凸紧值映射，则存在(x0,y0)∈K×K，使得

证明：定义集值映射G:K×K→2K×K，任意(u,v)∈K×K,

G(u,v):={(x,y)∈K×K:‖F1(x)+f1(x,y)‖+‖F2(y)+f2(x,y)‖≤‖F1(x)+f1(u,v)‖+‖F2(y)+f2(u,v)‖}。

由定理2.1的证明步骤1至步骤3可知G为非空、闭值和紧值映射。

下面用反证法证明G是KKM映射。假设存在有限点集{(ui,vi)}∈K×K,i=1,2,3，…,n,

‖F1(u0)+f1(u0,v0)‖+‖F2(v0)+f2(u0,v0)‖>‖F1(u0)+f1(ui,vi)‖+‖F2(v0)+g2(ui,vi)‖,i=1,2,…,n。

因为fi是线性映射，且Fi为凸值映射，i=1,2,由定理1.1有

故

这与假设产生了矛盾，因此假设不成立，故有G是KKM映射。

定理2.3 假设定理2.1的条件成立，对任意的(x,y)∈K×K，

0∈F1(x)+f1(K,K),0∈F2(y)+f2(K,K)

成立，则存在(x0,y0)∈K×K,使得问题(1)的解存在，即存在(x0,y0)∈K×K，使得

证明：由定理2.1知，存在(x0,y0)∈K×K，使得

‖F1(x0)+f1(x0,y0)‖+‖F2(y0)+f2(x0,y0)‖=0，

即存在(x0,y0)∈K×K，使得问题(1)的解存在。

类似地，由定理2.3推知有下述定理成立。

定理2.4 假设定理2.2的条件成立，对任意的(x,y)∈K×K，

0∈F1(x)+f1(K,K),0∈F2(y)+f2(K,K)成立，则存在(x0,y0)∈K×K，使得问题(1)的解存在，即存在(x0,y0)∈K×K，使得

3 耦合变分包含问题的相关问题

在这一部分，主要研究问题(1)的相关问题。应用定理2.3得到多值耦合重合点定理。

定理3.1 设X为赋范空间,K是X中的非空凸紧集,f:K×K→X为连续、几乎拟凸映射,F:K→2X是连续、紧值映射,i=1,2,使得f(K,K)⊆F(K),则f和F有一个多值耦合重合点。

证明：对任意的x,y∈K,令f1(x,y)=-f(x,y),f2(y,x)=-f(y,x),F1(x)=F(x)，F2(y)=F(y)，那么f和F满足定理2.3的要求，因此存在(x0,y0)∈K×K，使得

0∈F(x0)-f(x0,y0),0∈F(y0)-f(y0,x0)，那么f(x0,y0)∈F(x0),f(y0,x0)∈F(y0)，即f和F有一个多值耦合重合点。

推论3.1设X为赋范空间,K是X中的非空凸紧集,f:K×K→X为连续、几乎拟凸映射,g:K→X是连续映射，使得f(K,K)⊆g(K)，则f和g有一个耦合重合点。

证明：对任意的x∈K,F(x)={g(x)},运用定理3.1，就可以得到f(x0,y0)=g(x0)，f(y0,x0)=g(y0)，即f和g有一个耦合重合点。

推论3.2设X为赋范空间,K是X中的非空凸紧集,f:K×K→X为连续，则f有一个耦合不动点。

证明：对任意的x∈K,g(x)=x,运用推论3.1，就可以得到f(x0,y0)=x0,f(y0,x0)=y0，即f有一个耦合不动点。

接下来，应用定理2.1得到耦合最佳逼近定理。

定理3.2 设X为赋范空间,K是X中的非空凸紧集，f:K×K→X为连续、几乎拟凸映射,F:K→2X是连续、紧值映射,i=1,2,则存在(x0,y0)∈K×K,使得

证明：对任意x,y∈K×K,令f1(x,y)=-f(x,y)，f2(y,x)=-f(y,x)，F1(x)=x,F2(y)=y，那么f,F满足定理2.1的要求，因此存在(x0,y0)∈K×K，使得结论成立。

推论3.3设X为赋范空间,K是X中的非空凸紧集，f:K×K→X为连续、几乎拟凸映射，g:K→X是连续映射，则存在(x0,y0)∈K×K,使得

证明：对任意的x∈K,令F(x)={g(x)}，应用推论3.2，则存在(x0,y0)∈K×K，使得结论成立。

推论3.4设X为赋范空间,K是X中的非空凸紧集，f:K×K→X为连续映射，则存在(x0,y0)∈K×K,使得

证明：对任意的x∈K，令g(x)=x，应用推论3.3，则存在(x0,y0)∈K×K，使得结论成立。