追溯“源头” 拨开云雾见“真身”

摘要：本文以书本几道典型习题为“源头”，拨开云雾去看看考试中那些题目的“真身”，望有助于学生在以后的学习中能有效地处理此类问题.

关键词：圆;直线;位置关系;最值问题

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2022）16-0084-03

收稿日期：2022-03-05

作者简介：陈龙（1989.10-），男，湖北省武汉人，硕士，中学一级教师，从事中学数学教学研究.[FQ）]

源题1已知圆C：（x-4）2+（y-3）2=25，求过点M（2，1）的直线l被圆C截得的最短弦长和最长弦长.

解析因为（2-4）2+（1-3）2=8<25，

所以点M在圆C内.

当弦绕着点M转动时，如图1，最长弦即过点M的直径

AB，长为10;最短弦则为与CM垂直的弦CD，长为217.

点评此题目属于考查直线与圆相交时弦长的最值问题，可以借助弦长公式：L=2R2-d2（其中L为弦长，R为圆的半径，d为圆心到直线的距离）很容易知道d最小时L最大，d最大时L最小.

变式已知C：（x-1）2+（y-2）2=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0，求直线l被圆C截得的弦长的最大值和最小值.

解析我们注意到直线l恒过定点M（3，1）且点M在圆C内部，则后面的做法就如上题一致.最长弦为过点M的直径，长为10，最短弦为45.

源题2已知点P（x，y）是圆C：（x-3）2+（y-3）2=4任一点，求点P到直线l：2x+y+6=0距离的最大值和最小值.图2

解析由题知圆心C（3，3）到直线l距离d=35>R，则直线l与圆C相离.

如图2，易知点P1到直线l距离最小为d-R=35-2;

点P2到直线l距离最大为d+R=35+2.

点评此题属于考查直线与圆相离时圆上点到直线距离的最值問题.最大值为d+R，最小值为d-r.

变式1由直线l：y=x+1上的一动点P向圆C：（x-3）2+y2=1引切线切于点D，求切线PD长的最小值.

解析由图3易知直线与圆相离，且PD2=PC2-R2，只有当PC长最小值时切线PD长才取得最小值，此时又回到我们熟悉的问题，即PC长的最小值为点C到直线l的距离d=22.

所以此时切线PD长的最小值为7.图3图4

变式2已知点P为直线y=x+1上的一动点，过点P作圆C：（x-3）2+y2=1的切线PA，PB，A，B为切点，求cos∠APB的最小值.

解析由图4知cos∠APB=cos2∠APC=1-2sin2∠APC，

而sin∠APC=RPC=1PC，要想cos∠APB

最小，sin∠APC要最大，即PC最小的时候.

此问题就迎刃而解了，又回到“源题2”中的问题，PC长的最小值为22，所以cos∠APB最小值为34.

源题3已知实数x，y满足x2+y2-4x+1=0.

（1）求m=yx的最大值和最小值;

（2）求n=y-x的最大值和最小值;

（3）求t=x2+y2的最大值和最小值.

解析（1）因为点P（x，y）满足圆C：（x-2）2+y2=3方程，即点P在圆C上.

将m=yx=y-0x-0视为点P（x，y）与原点O（x，y）连线的斜率，如图5，最大值为kOP1=3，

最小值为kOP2=-3.

（注：利用点C到直线y=kx距离等于半径求出相切时的k值）图5图6

（2）要求n=y-x的最值即视为我们熟悉的线性规划问

题，即直线l：y=x+n的纵截距的最值，如图6，当直线l1与直线l重合时，n取最大值6-2

;当直线l与直线l2重合时，n取最小值-6-2.（注：用圆心到直线l：y=x+n

距离等于半径求出相切时n的值）

（3）t=x2+y2=（（x-0）2+（y-0）2）2可视为点P（x，y）与点O（0，0）距离的平方，如图7，t的最小值为OP21=（OC-R）2=7-43，最大值为OP22=7+43.

点评此类题属于考查直线与圆相切时相关的最值问题.处理时要考虑所求式子的几何意义.

变式1实数x，y满足方程（x+1）2+y2=14，试求μ=x2+y2-4x-6y的最小值和最大值.

解析M+13=（x-2）2+（y-3）2可视为点P（x，y）和点A（2，3）距离的平方，即M=PA2-13，故最大值为

214+32，最小值为214-32.

变式2若实数x，y满足x2+y2+2x-4y=0，求x-2y的最大值.

解析（x+1）2+（y-2）2=5，令x=-1+5cosθy=2+5sinθ（θ∈R），

则x-2y=-5+5cosθ-25sinθ=5cos（θ+φ）-5（其中cosφ=55，sinφ=255）.

所以当cos（θ+φ）=1时，（x-2y）max=5-5=0.故x-2y的最大值为0.

点评本题是典型的用圆的参数方程解决的题型，利用圆的参数方程将所求式转化为三角函数求最值，利用辅助角公式即得最大值，此法在后续圆锥曲线的学习中会有所推广.

变式3 平面上有两点A（-1，0），B（1，0），P为圆x2+y2-6x-8y+21=0上的一点，试求S=|AP|2+|BP|2最小值.

解析把已知圆的一般方程化为标准方程，得

（x-3）2+（y-4）2=4.

设点P的坐标为（x0，y0），则

S=|AP|2+|BP|2

=（x0+1）2+y20+（x0-1）2+y20

=2（x20+y20+1）

=2（OP2+1）.

要使S=|AP|2+|BP|2最小，需|OP|最小，即使圆上的点到原点的距离最小.

容易知道|OP|min=OC-r=5-2=3.

所以Smin=2（32+1）=20.

点评设P（x，y），使要求的式子转化为求圆上的点到原点的距离问题，利用数形结合法求最值，实质上是利用初中学过的“连接两点的线段中，直线段最短”这一性质.

变式4过直线y=1上一點P（x，y）作圆（x+1）2+（y+1）2=1的切线，求切线长的最小值.

解析切线长PM=PC2-CM2=PC2-1，所以要求PM的最小值，只需求PC的最小值.

PC是直线上一点到圆心的距离，由于经直线外一点所引直线的垂线段的长度是该点到直线的距离的最小值，所以当PC垂直于直线时，PCmin=2，此时，切线长最小为3.

以上列举了几道“源题”和若干变式题目，说明了一些看似复杂的题目的真身依然是我们熟悉的知识点.

圆的知识在初中与高中都要学习，是一典型的知识交汇点.现在的数学高考非常重视初高中知识的衔接问题，所以同学们在处理与圆有关的小题时，一定要数形结合，多联想一下与之有关的平面几何知识，以免“小题大作”.由于圆的对称性，在与圆有关的最值问题中，应把握两个“思想”：几何思想和代数思想.所谓几何思想，即利用圆心，将最值问题转化为与圆心有关的问题.所谓代数思想，即利用圆的参数方程.同时，由于最值问题从代数意义上讲和函数的最值联系紧密，因此在解题过程中灵活地应用函数、不等式等代数思想使问题代数化、简单化也是需要注意的.

参考文献：

[1] 赵志岩.高考中与圆相关的最值问题＼[J＼].数理化解题研究，2018（10）：2-4.

[2] 曹方圆.基于核心素养指向有效教学——以“与圆相关的“最值问题”为例＼[J＼].数学教学研究，2019，38（06）：22-25.

[责任编辑：李璟]