分类思想在小学数学教学中的应用

林 森

(哈尔滨工业大学附属中学校 小学部，黑龙江 哈尔滨 150000)

数学的分类思想方法最早正式提出是在20世纪末，有学者从不同的方面给“分类”下定义。第一种观点是从概念的性质出发阐述分类思想，1986年刘忠智在《数学中的思维方法》一书中，根据事物的本质将分类定义为：“分类是根据对象的共同点和差异点，将对象区分为不同种类的逻辑方法。”第二种是从逻辑学的角度进行阐述，1993年张奠宙、过伯祥在其《数学方法论稿》中说明分类是解决复杂问题的方法之一。第三种是在解题思路中提出分类思想。

我国在《义务教育数学课程标准(2011年版)》中新增了“基本思想”要目，意在让学生在学习知识的同时也能掌握数学思想。而在众多思想中又强调了“分类思想”，意在让学生会用分类的思想去解决问题，但一线教师对于应该如何践行仍然存在盲区。本文结合了当前国内研究者的研究成果，进一步思考了分类思想在小学数学教学中如何应用，试图寻找到在小学数学教学中应用分类思想的较佳途径，以便让教师会教，学生爱学，寓教于乐。

一、分类思想的概念及其教育价值

分类思想是众多数学思想方法中的一种，更是小学阶段需要掌握的一种非常重要的思想方法，是根据数学对象的某些共同属性和不同属性，将其分成几个不同种类，从而进行研究问题或解决问题的一种数学思想。它既是一种重要的数学思想，也是一种重要的数学逻辑方法。有关分类思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性。分类思想不像有些数学知识那样，通过几节课的教学就可让学生掌握应用，而是要根据学生的年龄特征，在学生学习的各阶段逐步渗透，螺旋上升，不断丰富其内涵，从而达到利用分类思想来解决问题的目的。分类思想具有以下教育价值：

1.体会分类是认识事物的基本方法

教师在教授学生时，可以结合教材和生活中的分类活动，让学生体会分类思想。例如，在人教版小学数学一年级上册准备课中，就引导学生结合自己的生活经验和对事物的认知将主题图中的事物先进行分类，再数出每类事物的个数。可见从小学生入学的那一刻起就开始接触分类思想，也正说明分类思想是认识事物的基本方法。

2.通过分类培养思维逻辑的严谨性

分类思想是按照一定的标准把事物分为几类，逐一探讨每一类并得出结论，最后把结论汇总得出问题答案的一种数学思想，因此有助于培养小学生思维的严谨性。例如，在小学阶段有一类题是：“a，b，c三点在一条直线上，a和b相距500米，b和c相距100米，问a和c相距多少米？”想要解决这类问题，需要先将问题分为“a与c在b的同一侧”和“a与c在b的不同侧”两类。如果学生只考虑到“同一侧”这种情况，那给出的答案一定是不全面的。所以，基于分类思想可以习得化整为零、逐一击破、聚零为整的方法，为学生日后在初、高中学习分类讨论方法打下坚实的基础。

3.通过分类掌握知识之间的紧密联系

部分数学知识有多种性质，当研究这类数学知识时，可以从不同的方面进行研究。但是每一次只能选取一个标准进行分类，而不能同时选取几个不同的标准进行分类，因为分类要做到严谨、统一、不反复和不疏漏。同时，能正确对知识进行分类的学生可以更清楚地掌握知识之间的紧密联系和拥有良好的认知结构。例如，小学阶段对自然数的分类，根据不同的分类标准自然数既可以分成奇数和偶数，也可以分成质数、合数和1。也就是说，之所以3既是奇数又是质数，是因为分类标准的不同，这样的分类有利于学生掌握知识之间的紧密联系。

4.通过分类将概念细致化

学生理解数学概念，一定会经过概念细致化这一步骤，而分类正是完成这一步骤的重要手段。例如，学生刚初步认识角，教师要帮助学生对角的内涵进一步理解，引导学生知道什么样的角是直角和比直角小的角叫锐角，比直角大的角就叫钝角，这样，自然而然就将这一阶段的角分成三类。教材上也会同步出现练习题，如给出一个角，让学生判断是锐角、直角还是钝角。通过这一过程使学生理解不同类型的角，用分类的方式将学生对概念的认识细致化。

二、分类思想在小学数学教学中的体现

笔者对小学数学人教版1-5年级共10册教材中有关分类思想的内容进行分析和梳理，如下表：

知识名称教材分布数与代数认识人民币一年级下册长度单位二年级上册克和千克二年级下册数字编码三年级上册公顷和平方千米四年级下册方程的意义五年级上册奇数与偶数质数与合数五年级下册图形与几何认识图形(一)一年级上册认识图形(二)一年级下册角的初步认识二年级上册四边形三年级上册直线、射线、线段角的分类四年级上册三角形的分类四年级下册分类与整理分类与整理一年级下册

1.“方程的意义”案例分析

小学生初次接触方程，还不清楚什么叫做方程，但是头脑中已经对“等号”“大于号”“小于号”和“未知数”这些感念及符号有了认知。我们可以通过学生对这些知识的基础认知，将其进行分类：根据符号可以分为“是等式”和“不是等式”，根据未知数可以分为“含有未知数的式子”和“不含未知数的式子”。知道了这些，学生就能清楚地知道，将式子按照这两个标准分类后，只要这个式子既属于“等式”一类，又属于“含有未知数”一类，那它就是方程。这是小学高年段接触到的复杂一些的分类思想。

2.“三角形的分类”案例分析

在对三角形进行分类的时候，教师完全放手，让学生自由发挥。个别学生可能会将三角形分为五类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，等腰三角形和等边三角形，这是因为学生没有搞清楚分类标准。教师应及时引导学生思考它是按照什么标准进行分类的，并且告诉学生进行分类每次只能够选取一个标准，对于三角形来说要么选取“角”作为分类标准，要么选取“边”作为分类标准，不能同时选择。

在后面的练习题中也加强了对这一知识点的巩固，教材71页练习十六第5题给出四句话：有一个直角，有两条边相等；只有两个锐角，没有直角；三个角相等；没有直角和钝角。让学生选择这四句话描述的三角形。以“有一个直角，有两条边相等”为例，“有直角”所以我们判断它是直角三角形，可“同时有两条边相等”那么它也是等腰三角形。正是因为根据不同的标准进行分类，所以一个三角形才可能既是直角三角形又是等腰三角形。同时也要提醒学生在做这类题时，一定要根据不同的分类标准进行思考，不要根据一种标准有了答案后就不思考其他标准，所以说学习分类思想也有助于培养学生思维的严谨性。

3.“分类与整理”案例分析

“分类与整理”一课是小学生学习统计与概率部分的第一课，可见分类思想的重要性。同时“分类与整理”一课也是小学生第一次接触分类思想，意在让学生根据事物的表面特征(如颜色、形状等)进行分类。但要想使学生能根据事物的隐性特征对事物进行分类还需要进一步的学习。除此之外，案例中帮助商店阿姨将气球分类，以便于顾客更加方便的找到自己想买的东西，也使学生明白将学习用品和生活用品分类整理，会使学习和生活更加规律，这都是分类思想带给我们的好处。

三、小学数学教学中应用分类思想的原则

只有了解分类思想的原则才能更好地进行数学教学。分类思想包含如下原则：

1.层次性原则

作为小学教师首先要明确小学教材中所有含有分类思想的知识点；其次要细化分类思想，清楚它们的层次；最后要争取让分类思想更多的体现在课堂上，尽可能让分类思想与本身的教学内容相呼应，将二者整合为一体，使学生更加容易接受。对于学生来说，分类思想的形成要比对知识的理解和掌握难得多，所以分类思想教学应与学生的自身水平相匹配，遵循层次性原则，层层递进，直到学生掌握。

2.渗透性原则

分类思想一定是同数学知识一起进行教学，但又不同于数学知识教学。在进行分类思想教学时，需要以数学知识为载体，以渗透的方式进行教学。任何数学思想方法都是数学知识的精髓，它们藏于数学知识之中，需要教师从数学知识中将分类思想提炼出来。要想这一过程正确而完整，就要求教师必须要认真钻研教材，这是数学知识教学中渗透分类思想的一大前提。对学生来说，分类思想的学习要难于数学知识的学习，所以要想学生能够更好的掌握分类思想，教师应创造一个合理又有趣的情境，在情境中将分类思想渗透给学生，使学生感受到应用分类思想的快乐。

3.概括性原则

所谓概括性原则就是将教材中的分类思想概括出来，这样做可以使学生更加清晰地知道什么时候可以用或必须用分类思想解决问题，加强学生应用分类思想的意识，形成独立分析问题、解决问题的能力。概括分类思想一般有两步：一是指出分类思想的作用，使学生明白运用分类思想是为了更好、更快地解决问题，从而愿意去用分类思想解决问题；二是指出分类思想与已知数学知识的内在联系，当我们看见什么样的信息时才会用分类思想来解决问题，加强提炼分类思想的练习，使学生在头脑中对应用分类思想有更加清晰的认识。

4.实践性原则

学生能否熟练地运用分类思想，在于平时进行的数学练习。实践性原则就是先让学生自己发现一类题的不同解法，并在不同解法里找出最好的一种，通常这一种解法就是蕴含数学思想方法的解法。所以教师在教授分类思想时，可以先寻找出这类题，自己加以变换，比如更改成对学生有吸引力的情景、改变题中的数据等，这样多练几道。所谓实践出真知，学生自己在实践中发现的知识记得一定更牢，用起来也得心应手，同时还能培养学生自己寻找问题最优解法的能力。

四、学生在分类思想习得中存在的问题

通过了解小学生对于分类思想的掌握程度，不难发现其存在的问题。

1.分类意识的发展较弱

学生应用分类思想的意识还不够成熟。具体来说，学生在分析问题时，想到的知识还比较狭隘，注意不到问题中的关键字或关键词，从而想不到应用分类思想解题。部分学生当面对上学期学过的知识时，也只是能在专项训练时才能够想到使用分类思想解题，甚至有的学生根本没有应用分类思想的意识，说明应用分类思想的意识水平有待提高。

2.学生描述分类标准的能力一般

大多数学生能根据各事物的特点找出它们的相同点和不同点，并且能用准确的语言描述出将事物分类的标准，但是还有极少同学难以描述几何图形的分类标准。

3.缺乏解决实际问题的能力

很多学生都是为了分类而分类，而完成分类后，却没有考虑到有的情况不符合题意需要排除；有的学生对分类思想有恐惧心理，容易将简单的题目复杂化，从而遗漏了最基本的分类。

4.分类的条理性和全面性不足

面对清晰的生活问题时，学生能够进行有条理的分析，可是一旦面对复杂的数学问题，部分学生的分类就会很混乱，甚至出现重复的现象。在这个维度中，由于具体形象思维占主导地位，学生在面对“图形与几何“部分的题进行分类时会比较吃力，大部分学生没能进行完整的分类；而在解决具体情境中的分类问题时，大部分学生却能无遗漏的分类。

5.没有兴趣很难掌握分类思想

数学兴趣对学生掌握分类思想有一定的影响。虽然有数据显示，不是对数学学习的兴趣越高，数学分类思想的发展就会越好，但是几乎对数学学习不感兴趣的学生，对分类思想的掌握程度都不好，所以对数学学习不感兴趣是学生学习分类思想的一大障碍。

6.未掌握分类思想的学生成绩低

学生对分类思想的掌握情况与学生平时的数学成绩有关，数学成绩越好的学生，对分类思想的掌握情况就越好，总体呈正相关。从中也表明分类思想对于小学生非常重要。小学的知识是环环相扣的，学生能否对分类思想掌握并熟练的运用会影响学生的数学成绩。

五、学生应用分类思想的策略

1.抽象分类的标准

学生要先搞清楚运用分类思想是有标准的，针对不同的问题会有不同的分类标准。低年级的学生更擅长于对具体形象事物进行分类，比如可以把已学的四边形分成长方形和正方形，等到了中年级依旧有这一特点。可是这时的学生已经会接触到抽象的分类标准，所以就需要在这一学段结合已有的对图形的分类标准加强对抽象分类标准的训练。

2.完善分类的条理性及全面性

学生进行分类时，很重要的一点就是需要有条理。有调查发现，低年级的部分学生在进行分类时条理性较弱，很多学生能迅速进行分类的都是简明的问题，一旦面对稍复杂的问题就会出现重复或遗漏等现象，这正是条理性较弱的表现。为使学生在运用分类思想时可以有条理，在一年级学习数的分解或组成时就应有条理的进行。学生应用分类思想不单要有条理，还要全面。没能全面的将问题进行分类，相当于没有分类。如何才能使学生全面、完整地进行分类呢？这就需要学生找出问题中的全部显性条件以及隐性条件，条件找全了，分类自然就容易完整而全面了。

3.增强学习分类思想的兴趣

低年级的学生都爱帮大人做事情，教师和家长可以利用这一点，请学生将生活中的常见物品分类摆放，并说出学生分类摆放“好在哪里”来表扬学生，使学生既爱分类，又能分好类。

4.培养分类意识,提高学习成绩

当学生分析问题时，发现问题不能够被整体解决，这时就要想到运用分类思想来解决，将大问题分成各类小问题，再逐一解决。虽然看似简单，但也是需要一定的练习量才能做到。在分类的过程中会有显性分类和隐性分类，显性分类几乎所有学生都能完成，所以真正需要注意的是隐性分类。隐性分类没用明显的分类标准，但是遇到这类题时往往题干中会有明显的字眼来提示学生，这和平常的问题有所不同，因此就需要学生格外细心去注意隐性分类。长此以往，学生运用分类思想的意识得到了发展，学习成绩也会随之提高。