计及可再生能源与负荷高维时序相关性的主动配电网扩展规划

吴 涵，孙力文，项 晟，袁 越

（1. 南京工程学院智能电网产业技术研究院,江苏省南京市 211167；2. 河海大学能源与电气学院,江苏省南京市 211100）

0 引言

配电网是承载分布式发电（distribution generation,DG）和分布式能源的重要平台,是推动智能电网建设、解决能源危机的关键环节。随着配电网中可再生能源渗透率的提升,可再生能源导致的过电压和反向潮流对配电网运行的影响逐步显现,配电网规划也从实现分布式电源“应接尽接”转向“源网荷”的互补协调发展。由于分布式可再生能源发电和负荷只能在小范围内调节,制约了配电网的主动调节能力,二者本身间的互补关系在配电网规划中就显得格外重要。因此,充分发掘分布式电源与负荷相关性,实现分布式可再生资源的有效利用对配电网科学规划、提升配电网消纳能力具有重要意义。

按是否考虑可再生能源和负荷的时序特性可将目前考虑分布式电源和负荷相关性的配电网规划研究分为两类。一类研究不考虑时序性,基于负荷与可再生能源的联合出力分布重点研究负荷与可再生能源资源整体的相关性对配电网规划的影响,例如:文献［1-2］利用拉丁超立方采样等方法生成具有不同相关性的可再生能源和负荷样本矩阵；文献［3-6］利用二维高斯混合模型、Copula 函数等方法建立可再生能源与负荷的联合概率分布。另一类研究考虑了分布式电源和负荷的时序性关系,主要基于典型日分析,例如:文献［7］在典型日下通过Cholesky 分解将具有相关性的分布式电源出力和负荷转换为相互独立的随机变量以便于建模；文献［8-9］对可再生能源和负荷的日出力曲线聚类,采取多个聚类中心作为典型场景以实现配电网规划。

然而,上述两类研究均有一定的缺陷。第1 类方法将分布式电源出力和负荷视为两个相关的随机变量,侧重于描述分布式电源和负荷的所有样本在空间上的相关性。这类方法受限于概率分布的维数,难以计及分布式电源出力和负荷在时序上的波动,无法在规划中体现储能等时序耦合元件及主动管理的作用,且由于考虑了大量场景,其计算十分耗时。第2 类方法侧重于分布式电源和负荷出力的时序关系,能够计及时序耦合元件和主动管理对规划结果的影响。但该方法十分依赖典型日的选取,不同典型日得到的规划结果大相径庭。由文献［10-13］可知,分布式电源和负荷的时间和空间相关性均对电网潮流有密切影响,而配电网主动管理措施同样能够有效降低配电网运维成本,对减少配电网投资有显著效果［14-16］。为了能够在配电网规划模型中同时计及分布式电源出力、负荷的时空相关性以及配电网的主动管理措施,需要建立考虑分布式电源发电时序性和负荷高维相关性的配电网规划模型。

因此,本文首先以截断的R-Vine Copula 模型为基础,建立多种负荷与分布式风、光发电的高维时序相依模型。该方法能够建立多种分布式电源和多类型负荷逐时刻高维联合概率分布,解决了典型日方法中难以考虑空间相关性以及空间相关性方法未考虑分布式电源出力和负荷时序特征的问题。在此基础上,基于随机规划建立了配电网两阶段扩展规划模型,并在配电网规划模型中考虑了可再生能源限电的情况,更为准确地描述了实际配电网运行场景。最后,为了提高模型的求解效率,提出了一种基于双线性Benders 分解的求解算法,使该模型更具实用性。

1 基于截断R-Vine Copula 模型的高维源-荷联合概率分布建模

若要将随机优化和机会约束规划应用到时序场景中,首先需要解决的问题是如何对含有时序变量的高维联合概率分布建模。目前,高维概率分布模型 的 常 规 建 模 方 法 是Vine Copula 模 型［17-18］。在Vine Copula 模型中,R-Vine 模型拟合性能最为优秀,但由于模型中变量数随维数增长较快,R-Vine模型难以表示,且计算开销十分巨大,因此,并没有在实际工程中得到广泛应用。为了解决这个问题,本文分别从两个方面改进了传统的R-Vine 模型。

首先,为了能够更好地描述R-Vine 模型,文献［19-20］中提出了一种用下三角矩阵描述R-Vine Tree 的方法。令d阶下三角矩阵M为:

其次,考虑到选择合适的R-Vine 模型所需的计算量随维数的增加而急剧增长,获得全局最优解的代价往往过于高昂。因此,本文采用一种启发式方法,以期在有限时间内找到最佳的Vine 结构。该方法的核心思想是在构建R-Vine 模型时尽量简化高层的树结构,依靠底层的Copula 函数对结构（pair-Copula-construction,PCC）描述变量之间的相依关系［21］。

具体而言,若用二元Gaussian Copula 函数替换所有层数大于等于K的条件Copula 函数,即可将RVine 模型变为一个K层简化R-Vine 模型。若用二元独立Copula 函数替换层数大于等于K的所有条件Copula 函数,即可得到K层截断R-Vine 模型。如果K=1,截断的R-Vine 模型退化马尔可夫树分布,其中所有的条件分布均独立。当然,在使用相关参数为零的Gaussian Copula 函数进行简化时,得到的结果就等于截断的R-Vine 模型。

记K层截断R-Vine 模型为tRV（K）,K层简化R-Vine 模型为sRV（K）。令θtRVK为K层截断R-Vine模型中每一个PCC 的参数,即

R-Vine 模型的拟合和采样算法可参见文献［21］。

2 考虑源-荷相关性的主动配电网扩展规划模型

2.1 基于随机优化的两阶段配电网扩展规划模型

考虑一个两阶段配电网扩展规划问题,其第1阶段决定设备是否需要扩容并选择合适的设备,第2 阶段模拟配电系统运行。考虑到配电网运行受随机负荷和分布式电源出力影响,本文采用一系列离散场景（以及对应的实现概率）表示不确定性,并计算每个场景中配电网的运行状态。同样由于负荷和分布式电源的随机性,本文假设负荷和分布式电源出力可以适量削减,并以此获取部分补偿。调度负荷和分布式电源时的补偿成本计入配电网升级成本中。综上,本文提出的两阶段配电网扩展规划模型如下。

1）目标函数

可见,由式（8）—式（47）构成的配电网扩展规划模型是一个典型的混合整数二阶锥规划（mixed integer second-order cone programming,MISOCP）模型。现有的商业求解器可以在一定范围内求解,但该模型的复杂度会随着场景数、场景内的电网运行时长和配电网节点数以指数形式增长,很容易超过现有求解器的求解能力,需要开发新的求解算法。

2.2 基于机会约束规划的配电网扩展规划模型

式中:c为决策变量；θs、λs、σs、μs为场景s运行问题的对 偶 变 量；gs、hs、ls、ds为 相 应 场 景s运 行 的 参 数 向量；F和f分别为投资决策的参数集合和向量；A为第1 阶段投资的参数集合；Es和Bs分别为场景s中功率平衡和运行的参数集合；Hs为场景s中二阶锥约束参数集合。

式（49）表示与投资决策变量有关的约束集,式（50）中包含功率平衡方程等与运行有关的等式约束,式（51）连接投资变量与运行变量,式（52）表示二阶锥约束。需要注意的是,目标函数式（48）中的第2 项表示期望运行成本。根据上述紧凑的向量模型,下面给出由传统Big-M 法得到的机会约束规划模型CC-BigM:

式中:M为一个足够大的常向量；|S|为场景总数；ws为表征场景是否剔除的指示变量。在求解过程中,若ws=1,则场景s被认定为不可行场景,从可用场景集中剔除,相反,若ws=0,则不剔除；ε为松弛变量。

CC-BigM 中,机会约束施加于每个场景。若ws=1,则由于M的存在,场景s中的所有约束均可以忽略。因此,二进制变量ws可以用于指示最优解中所含的场景。由式（53）可见,CC-BigM 只对（1−ε）×100%的场景计算运行成本。考虑到第2阶段面对的不是完整的场景集而是有所取舍,本节引入了一个关于ys和ws的函数G用于计算第2 阶段的成本,并将其纳入目标函数式（53）中。

Big-M 法是一种较为传统的整数变量处理方法,虽然较为便捷,但其缺点也十分明显:参数M的选取会直接影响计算效率。从文献［24］可知,Big-M 法在求解该类机会约束规划时会带来非常重的计算负担。考虑到在该模型中规划人员只关心被选中场景中的运行成本,本节提出一个双线性的机会约束转化方法CC-BL 模型,其拥有比Big-M 法更佳的计算性能。此外,这种双线性转化方法可以结合Benders 分解进一步提升求解性能。

3 基于双线性Benders 分解的求解算法

Benders 分解是一种特殊的割平面方法,具有典型的主-子问题结构,尤其适用于随机规划这类具有较多约束的混合整数问题的求解。Benders 分解将原问题分解为主问题和子问题两个部分,其中主问题包含所有的整数变量和部分不等式约束,子问题一般是线性规划问题,用于在迭代过程中寻找对主问题的结果产生影响的不等式约束,并以Benders割的形式将找到的不等式反馈给主问题。Benders割一般有两种,可行性割（feasibility cut）和最优割（optimal cut）,前者为子问题的极线（extreme ray）,此时子问题无解,后者为子问题的极点,此时子问题有最优解。主问题经过修正后再次迭代求解主-子问题,直至子问题找不到新的可影响主问题结果的不等式约束时,或者上、下界之间的差值小于阈值时迭代终止。

3.1 主问题与子问题

由于在第2 阶段运行问题中,负荷和分布式电源的发电量可以通过调度调整,因此运行问题的可行性已有了保证,这同时也保证了第2 阶段运行问题二阶锥规划模型的强对偶性。此时,利用各个场景中运行问题的对偶变量θs、λs、σs、μs,可以构造给定第1 阶段决策变量x̂(g)后第g次迭代时使用的子问题SPs:

对 比MP-BL 和CC-BL 可 见,主 问 题MP-BL 等价于定义在SPs极点上的CC-BL。因此,MP-BL 可以给出CC-BL 的一个下界。另外,式（57）中的双线性项可以由McCormick 线性化方法转化为线性表达式。考虑到McCormick 方法构造的是变量乘积的凸包络,理论上McCormick 方法具有极高的精度。McCormick 线性化的原理如下:若任意两个连续 变 量x和y的 上 下 界 分 别 为xU、xL和yU、yL,那 么乘积项w=xy的凸包络可写为:

McCormick 线性化法形成的凸包络可见附录A图A1。

3.2 求解算法

显然,CC-BL 的任何一个可行解都提供了一个新的上界。因此,以迭代的方式逐渐往模型中添加最优割可以逐步生成更佳的上下界。令BL和BU为当前的下界和上界,e为迭代阈值,可以得到下述双线性Benders 分解算法。

初始化:设迭代计数变量g=0,下界BL=0,上界BU=+∞。设迭代阈值e=0.01。

迭代开始:

停止判定:如果|(BU-BL)/BL|≤e,得到最优解BU,否则,令g=g+1 并返回至步骤1。

当ε=0 时,机会约束规划模型退化为随机规划模型。因为随机规划模型需要考虑所有场景,所以在计算随机规划模型时可以直接消去双线性Benders 分解算法中的ws。

4 算例分析

4.1 算例介绍

本文以中国南通市某38 节点配电网为例,展示分布式电源和负荷的时序相关性对配电网扩展规划的影响。图1 为改进的南通市38 节点配电系统。现阶段该配电网主要为居民供电,在线路末端接有部分商业和工业负荷。为降低工业负荷和商业负荷对电压的影响并提高工业、商业负荷的电能质量和可靠性,业主在线路末端主动接入了大量分布式电源。但分布式电源与负荷特性不匹配,在实际运行中出现了可再生能源电力富余,且末端电压偏高的问题。为此,算例中设计了3 条待升级线路8-16、16-18、35-36 和2 条待建线路9-15、27-34；2 个待建分组投切电容器（CB）分别位于节点12 和29。已有线路、待升级线路和待建线路数据见附录A 表A1,待建CB 容量为0.5 Mvar。

图1 改进的南通市38 节点配电系统Fig.1 Improved 38-bus distribution system in Nantong of China

算例中分布式电源出力和负荷由附录A 图A2所示的2016 年全年15 min 分辨率的工业、商业、居民负荷及风速、辐照度时序数据采样得到,其中L1、L2、L3、Sol、Wind 分别代表工业负荷、商业负荷、居民负荷、辐照度和风速。变电站的固定和可变投资成本设为200 000 美元和50 000 美元/MW；馈线投资和维护成本设为150 000 美元/km 和450 美元；电容器的投资和维护成本分别为3 000 美元和450 美元/kvar；单位切负荷及弃风、弃光惩罚成本设定为1 000 美元/kW。分布式风电的切入和切出风速分别为2 m/s 和25 m/s,额定风速为15 m/s,分布式风电和光伏的容量均为6 MW。节点7 配置了容量为0.5 MW·h 的ESS,最大充放电功率为0.5 MW,充放电效率分别为88%和90%。最大计算运行时长设为3 600 s。

该算例分析在CPU 主频为2.20 GHz、内存为16 GB 的HP Z840 工作站中运行。截断R-Vine 模型使用R 语言编写；双线性Benders 分解算法使用GAMS 软件编写,并调用商用求解器CPLEX 12.10求解。

4.2 截断R-Vine 模型算例

为提高配电网规划模型的计算效率,首先将附录A 图A2 中15 min 分辨率的工业负荷、商业负荷、居民负荷及风速、辐照度时序数据转化成1 h 分辨率的时序数据,并按附录A 图A3 中的顺序排列成120 维的高维随机向量。该随机向量的Kendall 相关系数矩阵如图2 所示,其中NaN 为非数值型的数据,表示一个本应返回的操作数未返回数值的情况。

图2 时序工业负荷、商业负荷、居民负荷与光伏、风电的Kendall 相关系数矩阵Fig.2 Kendall correlation coefficient matrix of industrial load, commercial load, residential load,photovoltaic and wind power in time series

图2 给出了时序负荷和光伏、风电的Kendall 相关系数矩阵,颜色越深表示Kendall 相关系数值越大,相关性越强。由于光伏在夜间出力均为0,夜间光伏的出力与其他时刻其他变量不存在相关性,显示为白色。从图2 中可以看出,同一种负荷或电源自身各时段间的相关性较强,且随着时间间隔的增加,相关性逐渐降低。不同负荷在不同时刻之间也存在相关性,例如商业和居民负荷之间就有着较强的相关性。当地风电出力与负荷之间的相关性较弱,而光伏与居民负荷、工业负荷之间的相关性大于商业负荷。

利用1 阶截断R-Vine 模型对上述高维多变量时序相关模型进行建模,得到的R-Vine 树如图3 所示。图3 中右下角堆积了大量夜间的光伏出力时刻,由于光伏在夜间实际出力为0,这些数据可忽略不计。从图3 中可知,各负荷和分布式电源内部的相关性明显大于负荷和分布式电源之间的相关性,这表现为R-Vine 树图中隶属于同一类变量的不同时刻数据聚集在一起。但时序之间的耦合关系不尽相同,除了风电和光伏几乎以时间顺序相连,各类型负荷不同时刻之间的时序相依关系十分复杂,总体而言,相近的时刻相关性越强,在R-Vine 树图中越有可能直接相连。

图3 时序负荷可视化与分布式电源高维时空相依结构Fig.3 Time-series load visualization and highdimensional spatio-temporal dependence structure of distributed generators

根据图3 所示的1 阶截断R-Vine 结构,可以构造出对应的R-Vine 模型,并从中采样得到本文计算所用的样本场景。为对比Vine Copula 模型与常用的Gaussian Copula 模型在拟合高维相关性时的区别,本文在图4 中将上述两个相关性模型抽样结果得到的Kendall 相关系数矩阵和原始数据计算得到的Kendall 相关系数矩阵进行了对比。

如图4 所示,Gaussian Copula 模型计算得到的Kendall 相关性矩阵值明显低于实际Kendall 相关性矩阵,而Vine Copula 计算得到的相关矩阵则较好地保持了原始相关性矩阵的特性,体现出Vine Copula模型具有优良的拟合性能,能够准确地刻画多元随机变量之间复杂的相关性。

图4 不同相关性模型得到的Kendall 相关系数矩阵Fig.4 Kendall correlation coefficient matrix obtained by different correlation models

4.3 配电网规划算例

4.3.1 随机规划算例

首先,在上述中国南通某38 节点配电网中对本文提出的配电网规划模型进行测试,揭示不同相关性模型对配电网扩展规划的影响。本文采用的3 种相关性模型如下:

1）IND:假设分布式电源和负荷之间的相关系数为0,保留负荷和分布式电源内部的时序相关性,并利用Gaussian Copula 模型生成500 个样本（每个样本代表一个工作日的负荷和分布式电源出力值）作为输入；

2）GAUS:利用线性相关系数描述该模型分布式电源和负荷之间的相关性,并采用Gaussian Copula 模型建立联合分布模型,同样采样500 个样本；

3）RVINE:该模型利用截断R-Vine 模型生成500 个样本作为输入。

对于上述3 种相关性模型,本文将生成的每个样本视为一个等概率的场景,并将其代入配电网规划模型中求解。计算得到的配电网扩展规划结果见表1 和图5。

表1 不同模型下配电网规划计算结果Table 1 Calculation results of distribution network planning with different models

从表1 可以看出,基于IND 模型计算得到的配电网规划结果与考虑相关性的GAUS 和RVINE 模型得到的结果有显著区别。在分布式电源和负荷没有互补关系时（即IND 场景）,由于分布式电源和负荷相互独立,时序分布式电源出力和负荷只在变量内部存在相关性,IND 场景得到的配电网规划结果十分激进,升级线路较少。而在考虑相关性的模型中,配电网规划的结果则较为保守,倾向于升级新的线路,并将负荷向分布式电源的发电中心转移。这是因为实际负荷与分布式电源之间存在的正相关性使得电源与负荷之间出现互补作用,负荷靠近互补电源能够减小反向潮流。考虑到IND 模型与实际配电网运行场景存在差异,由IND 模型计算得到的配电网规划结果会给配电网的运行安全带来较大威胁。因此,在评估配电网扩展规划时,需要考虑分布式电源与负荷之间的相关性。

在表1 中,本文也展示了基于传统典型日方法和传统随机变量法的计算结果。其中典型日选取夏季光伏大发日为典型日。随机变量方法将全年负荷与可再生能源出力作为随机变量输入,同样采样500 个随机场景。考虑到传统随机变量法没有考虑随机变量的时序性,即没有时序负荷和可再生能源出力曲线,无法计及储能荷电状态的时序变化,在传统随机变量法中没有考虑到储能的作用。

对比不同的相关性模型得到的计算结果,典型日方法由于只能考虑少量的光伏或负荷场景,得到的计算结果较为片面,而传统随机变量方法由于没能考虑储能的影响,得到的投资成本高,投建的线路更多。在本文方法中,基于GAUS 和RVINE 模型得到的配电网规划结果基本相似,主要区别在于运行成本的不同导致最终计算得到的总投资成本差异。这是由于不同相关性模型对于配电网运行场景刻画的不同导致的网损和限负荷、限新能源出力的区别。考虑到RVINE 模型对高维分布式电源和负荷时序出力的拟合较好,相比较而言RVINE 模型得到的总投资成本更为准确。

在3 个相关性模型中,变电站均未升级,其主要原因是现有变电站容量大于首端馈线容量,升级变电站并不能提升分布式电源的消纳能力。

4.3.2 机会约束规划算例

本节利用机会约束模型研究不同限电概率对配电网规划的影响。同样,本节也同时考虑了IND、GAUS 和RVINE 这3 种不同的相关性模型对配电网规划的影响。不同限电概率下的配电网规划结果如表2 所示。

表2 不同相关性模型和限电概率下配电网规划计算结果Table 2 Calculation results of distribution network planning with different correlation models and power limiting probabilities

根据表2 可知,随着限电概率的逐步提升,需要升级和新增的线路逐步减少。这种关系与实际经验相符,更高的限电概率会带来更少的极端负荷和可再生能源出力场景,进而节省线路投资。通过控制限电概率值,运营商可以在投资风险和保守性之间权衡。此外,从表2 可以发现,线路8-16、16-18 由于初始线路容量较小,限制了分布式电源的消纳,在所有规划方案中都需要升级。在GAUS 和RVINE 模型下规划方案倾向于把负荷分布在分布式电源接入点周围,从而减少向大电网汲取功率,最大限度地提高可再生能源利用率。在限电概率提高到一定程度后,分布式风电的波动给配电网带来的影响降低,线路35-36 可暂缓升级。

在计算性能方面,不同限电概率下的计算时间如表3 所示。其中:“Big-M”表示仅采用Big-M 法对随机优化问题进行建模,并直接用CPLEX 求解器求解；“Bilinear”表示采用双线性法和McCormick 线性化方法对随机优化问题进行建模,并调用CPLEX求解器求解；“Benders 分解”则表示联合采用Benders 分解和CPLEX 求解器求解；F（N/A）表示没有在指定时间（3 600 s）内通过测试。从表3 可以明显看出,在“Big-M”和“Bilinear”两种模型下,CPLEX 求解器难以在给定时间内完成限电概率大于5% 的机会约束规划问题的求解。相对而言,Benders 分解的效率远高于直接使用CPLEX 求解器求解,对于限电概率大于5%的场景唯有双线性Benders 分解算法能够求解,且小于15%限电概率的场景下双线性Benders 分解的求解速度也快于CPLEX 求解器直接求解。可见,双线性Benders 分解具有较高的计算效率。

表3 不同配电网扩展规划算法下计算时间对比Table 3 Comparison of calculation time among different expansion planning algorithms of distribution network

场景数量的选取对随机优化结果也有一定影响,一般而言选取的场景越多,计算的结果越准确。因此,图6 展示了RVINE 模型在不同采样场景数下的配电网规划计算结果,计算方法为双线性Benders分解。从图6 中可以看出,计算结果随着场景数的增长逐步上升,当场景数到达500 后计算得到的总投资成本趋于稳定,计算得到的投资决策结果也趋于一致,算法能够成功收敛。

图6 不同场景数下双线性Benders 分解的收敛情况Fig.6 Convergence of bilinear Benders decomposition with different scenario numbers

5 结语

本文将分布式电源和负荷的时序相关性引入配电网规划中,利用截断R-Vine 模型构造了超高维负荷与分布式电源的联合概率分布,提出了基于混合整数随机二阶锥规划的配电网扩展规划模型。同时,为了避免极限场景对配电网规划经济性的影响,还提出了基于机会约束规划的配电网扩展规划模型。主要结论如下:

1）截断R-Vine 模型能够方便地建立全天多时段分布式电源出力和负荷的高维联合概率分布,并且能够直观地展示各时段各随机变量的相关性情况。

2）通过对实际电网的计算分析发现,分布式电源与负荷的时空相关性能够明显影响配电网扩展规划的结果,在实际配电网规划中需要考虑分布式电源与负荷的时序相关性。

3）相比于同样能够扩展到高维的Gaussian Copula 模型,本文提出的截断R-Vine 模型能够更为准确地捕捉可再生能源和负荷之间的高维相关性,基于截断R-Vine 模型的配电网规划结果也更具参考价值。

值得注意的是,由于采用样本平均近似法计算随机优化,本文计算结果和计算效率受场景数影响较大。后续研究应当通过改进机会约束优化算法,更好地融合配电网规划中可再生能源出力的相关性与时序性。

本文研究得到南京工程学院高层次引进人才科研启动基金项目(YKJ202134)、江苏省配电网智能技术与装备协同创新中心开放基金项目(XTCX202209)的资助，谨此致谢！

附录见本刊网络版（http：//www.aeps-info.com/aeps/ch/index.aspx），扫英文摘要后二维码可以阅读网络全文。