“一道向量题的解法”课堂教学实录

浙江省嘉善第二高级中学 鲁和平 314100

1 题目呈现：

在△ABC中，已知则角A的最大值为_______.

这是《平面向量及其应用》的单元测试卷中的一道填空题.得分情况很不理想.为此，我让学生又重新认真做了一遍，然后专门用一节课，让全班学生畅所欲言，尽情展示自己的解题方法.

2 解法展示

师：根据题设条件，很容易化成向量的数量积的形式，然后得出三角形三边的关系式，这就为运用余弦定理求解作了铺垫.请问哪些同学是按照这条思路做的？

2.1 学生1在黑板上展示自己的解答过程

点评：本解法先根据向量数量积的定义得出关系式，再用余弦定理表示角，代入所得出的关系式，进一步得出c2-b2=2a2，接着继续用余弦定理和基本不等式求解，思维缜密，环环相扣.

2.2 学生2的解法与上面有些差异，他也展示了自己独特的解法

点评：此种解法不落俗套.与解法1的不同之处在于它巧妙运用了向量的运算，回避了三角形边的关系的探讨.再直接回归向量数量积的定义，顺理成章的想到基本不等式解决问题，单刀直入，游刃有余.

图1

2.3 学生3也是从运用余弦定理入手，但与前两位同学在思路上有很大的区别

点评：解法3 的创新点是在不同的三角形内，以计算cosA作为桥梁，得出三角形边的关系式.

师：以上三种解法本质上都是从代数角度解决问题.否向量本身就是数与形的高度统一和完美结合.请问有没有同学是从几何特征考虑的？

2.4 学生4 随即在黑板上展示自己的解法

图2

2.5 学生5也是从几何性质入手

解法5：设△ABC中角A,B,C所对边分别为a,b,c.如图3延长AC至D点，使因 为所以BD⊥BC.以CD为直径作圆O.则点B在圆上运动，当AB和圆O相切时，角A最大，则BA⊥BO,AO=2BO，故角

图3

点评：此解法纯从几何本质入手，巧妙运用了圆的切线性质，将向量的几何属性暴露无遗，简洁明快，拍案称奇.

师：刚才两位同学很好地领会了老师的意图，深入挖掘了问题的几何背景，使大家再一次感受到了向量的几何魅力.下面是否有同学是从“角”的角度思考问题并加以解决的？

2.6 学生6 立即站起来，展示了他从“角”的角度入手的解法

点评：此法的关键在于对a=-2bcosC，不是从“边”的角度进行代数恒等变形，而是巧妙运用正弦定理，纯从三角恒等变形着手，深入挖掘，最后运用两角和的正切公式，辅之以基本不等式解决.

2.7 学生7也是从“角”的角度来思考的，他也展示了自己的思路.

图4

点评：此法的亮点在于利用三角形的射影定理介入，巧妙得出BC=2CE，再运用两角差的正切关系求解，前面主要应用余弦函数的单调性，再运用正切函数的单调性，也使问题迎刃而解.

3 解后反思

向量小题以其综合性强、解题入口宽、解法丰富多彩而深受命题者的青睐.同时也是学生较为畏惧的题型.作为填空题的把关题，即能考查学生对向量知识的理解深度，也能很好地管窥出学生综合运用知识，驾驭各种解题技巧解决问题的能力.在向量问题的中，也能有效地检测学生的数学运算、逻辑推理、直观想象等重要的核心素养.

高一学生其智力正处于飞速发展的关键时期.教师只要引导得法、大胆放手，学生就会迸发出无限的创造力.互动双赢、教学相长，正是教师所追求的教学境界.