借助GeoGebra实现解析几何恒过定点探索

河北省三河市第二中学 冯志云 065201

解析几何在高考数学中占有十分重要的地位！在高考数学中，通常以圆锥曲线为主要载体，与平面向量、导数、数列、不等式、平面几何等知识进行综合，结合数学思想方法，并与高等数学基础知识融为一体，考查学生的数学思维能力及创新能力.其设问形式新颖、有趣、综合性很强.基于解析几何在高考中重要地位，这一板块知识一直以来都就是学生在高三复习中一块“难啃的骨头”.所以研究解析几何的解题思路，方法与策略，重视一题多解，一题多变，多题一解这样三位一体的拓展型变式教学，就是老师与同学们在高三复习一起攻坚的主题之一.本文尝试在高三复习教学中，在模拟题和高考题中遇到的两道恒过定点问题，来谈谈解析几何解题思路与方法策略.

1 恒过定点问题的解题策略和方法

①y=kx+b，其中b为常数时，直线恒过y轴上定点（0，b）；②y=k(x-x0)，其中x0为常数时，直线恒过x轴上定点(x0,0)；③y-y0=k(x-x0)，其中x0、y0为常数时，直线恒过定点(x0、y0).

2 利用GeoGebra 软件体验以动态的观点研究解析几何问题的思维方式，掌握类比探究、化归与转化等思想方法

我们主要通过GeoGebra 软件的参数设置滑动条功能，实现AB直线的改变，使得BD直线发生变化，利用跟踪显示BD直线功能，实现BD直线恒过定点的直观认识.

在GeoGebra 的演示过程中，发现随着t的不同有不同的直线，但这些直线恒过同一个点，所以要想得到这个定点只需要由两个不同的t=0 和t=1 确定的两条直线，解出交点G(2,0)，此交点即为所求定点，然后再证明这个定点G是所有直线上的点.即证BD过定点G(2,0).

图1

在方法1 中，用特殊值法找点再证明，思维方法符合学生思维的发展规律，由特殊到一般，证明三点B、D、G共线也是通法，利用斜率相等，只需证kBG=kDG，此法易得满分.

方法2 是通过动态几何画板GeoGebra发现定点在x轴上，所以写出直线BD 方程，令y=0，求得x0=2 此处有一个要点，发现（ty1y2=y1+y2）的关系，否则此处是关键失分点，因为看不到联系，则使得下面的约分化简不能得到常数.

方法3 是对任意直线过定点问题的一般性做法，返璞归真，化为点斜式得到定点，即使不是x轴上的点也能精准定位.考查学生的精准顽强的计算能力，更体现了解析几何中圆锥曲线的设而不求的思想方法.在判卷过程中，利用法三的只有几个同学.得分困难主要是在y1、y2中不知用谁表示.即使保留了y2，在运算过程中也会出错，他们不知道可以使y2和t同时并存.一直想在题干当中只用t来表示，所以这种方法的运用也给有些同学开辟了一条新的思路.试着改变椭圆方程和直线x=ty+1，这两个量实质是任意椭圆与任意直线.只不过在第二问加入的条件x=3 这条直线需要出题人提前设定好.用方法二，有几个同学得到满分，没有得分的同学主要障碍是没有发现条件ty1y2=y1+y2，此处是关键点.

最后探索在第二问当中，为什么作者要用x=3 这条直线，而不是用其他直线说明直线必过定点？现给出了如下证明.

因为椭圆的对称性的性质，才有过定点，通过动态几何画板GeoGebra 演示，学生们一目了然，瞬间找到此定点，然后就是对这个定点的证明.课堂上同学们积极主动，被GeoGebra吸引，激发了他们的探索精神及发现问题解决问题的热情.

除了平时模拟题中会遇到此类恒过定点问题，在历年全国各地不同省份的高考试题中也出现过.

题后反思：方法一从直线的两点入手，求得C、D的坐标，运算中结合图形的对称性，通过定点在x轴上简化运算.方法二在设直线PA、PB的方程时较为简单，后续通过两直线交点在定直线上，得到两直线斜率的关系式，从而解得定点坐标.解此类问题无固定方法，依题意选方法.本文从平时教学中常用方法入手，借助GeoGebra 软件动画展示功能，让同学们能切实理解数学中“动中有静，变中蕴定，动静结合，简化运算”.借用数学家华罗庚先生名言：数与形本是相倚依，焉能分作两边飞.数缺形时少直观，形少数时难入微.数形结合百般好，割裂分家万事非.平时教学中教师要在条件允许的情况下引导学生，多做尝试！