小学教育:追求一种真实的存在
——以人教版数学教材二年级下册为例

2022-10-07 09:50范午英华应龙
文教资料 2022年16期
关键词:除数个位口诀

范午英 华应龙

(1. 邢台市金华实验小学,河北 邢台 054099;2. 北京第二实验小学 北京 100045)

上课是有多重境界的。

20 年前的我,只是把上课看作一份工作,虽然人在讲台上,但没有沉浸其中,印象里只有固定的课本、无尽的习题和令人忐忑的平均分,其他什么也没留下。现在的我已过不惑之年,终于感悟到了上课的又一重境界:当我把自己对数学的理解表达出来时,学生的反应往往出乎意料,于是双方都享受着思维火花碰撞的快感,虽然它“迎之不见其首,随之不见其后”,但我们总相信下次邂逅一定在不久后的某节课上。

一、真实的统计更有意义

(一)缺勤也想起作用

第一单元《数据收集整理》,例2 是这样的:学校要举办讲故事大赛,某班要从两位同学中选一位参加,经过大家投票,王明明得15 票,陈小菲得22 票。① 根据统计结果,应该选陈小菲参加比赛。② 有两位同学缺勤没能参加投票,如果他们也投了票,结果可能会怎样?因为两位候选人相差7 票,所以两个缺勤的同学即便都投给王明明,也起不了什么作用,不能改变结果。

我的问题来了!

师:如果班里投出怎样的结果,缺勤的两票就能起作用?

生1:王明明21 票,陈小菲22 票。

师:你注意到了两人的差距要小,这很好。但忽略了一个问题。

生2:目前的总票数是37 票,代表37 个同学,这是不能变的。所以两人的总票数应该是37 票才对。

生3:王明明18 票,陈小菲19 票。如果最后两票一人一票,那么陈小菲参赛;如果最后两票都投给陈小菲,也是陈小菲参赛;如果最后两票都投给王明明,王明明参赛。

师:最后这种情况,剧情反转了,这两票终于起到了决定性的作用。

生4:也可以王明明19 票,陈小菲18 票。

师:两个人只能相差1 票吗?能不能票数相等?或者相差2 票?

生5:票数相等做不到。因为37 是个单数,不能正好平均分成两份。

生6:你看现在差1 票(指着18 比19 的情况),如果投给王明明的1 票变成投给陈小菲的,就变成17比20 了,两人会差3 票,但不会差2 票。变成17 比20 以后,最后两票又不起作用了。(这里运用“比”的说法,只是类似于体育比赛中的比分而已)

师:看来要想最后两票发挥作用,两人在班里的投票结果只能是相差1 票。

原来统计与运算的结合,不只是比多比少、求和之类的常见手法,根据数据特点和隐含条件还有很多文章可做。

(二) “其他”应付不过去

练习一的第6 题(如图1)旨在让学生经历数据的收集和整理过程。

图1 练习一第6 题

每个同学先把第(2)题第一个空填好:我最喜欢吃什么?然后逐一汇报,请5 位同学在黑板上画“正”字统计。统计完毕,选苹果的2 人,选梨的5人,选香蕉的4 人,选橘子的10 人,选其他的33 人(喜欢其他水果的都归于此)。核对总人数是54 人,没有问题。

但填空时发现第(1)题不好填了:最喜欢吃(其他)的人数最多。这是个什么结论!以后就买“其他”这种水果吗?看来“其他”是应付不过去的,里面还藏着不少秘密。一不做二不休,再把这33 个人统计一遍,又出来了9 种水果(见表1)。一个有意思的细节是:开始有人报“樱桃”,后来又有人报“车厘子”,我正要写成两类,学生喊道:“车厘子就是樱桃。”我真不知道!网上一查,原来国外的大樱桃叫车厘子,我又长知识了!

表1 统计表格

我让大家把表格延长到了课本的右边一页,一共有13 种水果。喜欢吃橘子的人数最多,喜欢吃菠萝和蓝莓的人数最少(还出现了并列)。如果运用这一调查结果的话,应该是橘子、西瓜和桃子多买一些,其他的水果各买一点(并不是一点不买)。

教材编者大概以为前面列举的4 种常见水果一定占大多数,没想到如今富足的生活已今非昔比,喜欢的水果相当多元了。这件事也是可遇不可求的,假如课堂上没有出现“其他”最多,也就没有后面的精彩了。

二、真实的运动更有联系

(一)简单变得不简单

第三单元是《图形的运动(一)》,练习七第14题是一道很简单的选择题(见图2),只有(3)是由(1)平移而来。如果仅仅到此,未免可惜了这么大的版面。

图2 练习七第14 题

师:其他几幅图又是(1)经过怎样的运动得到的呢?”

生 1:(5)是由(1)旋转而来。

生2:(6)也是由(1)旋转而来的。

师:如果(1)是顺时针(可以教,学生听得懂)旋转的,先转成哪个图?”

生3:先转成(6),再转成(5)。(把书旋转起来,再和大屏幕对照验证)

师:(2)和(4)呢?(平移、旋转都做不到了,学生们开始沉思)

王熙:我想用轴对称试一试。

师:哪里是对称轴呢?

王熙选择在(1)的左边竖着画对称轴,等把左边一半补充完整,竟然和(4)一模一样!

王熙:(4)是由(1)经过轴对称的方法得到的。

师:非常好!如果把(1)看作一个小印章的话,通过“合书”的动作,就可以得到(4)。

师:最后剩下(2),又该怎么得到?

生4:由(4)旋转可以得到。

生5:由(5)利用轴对称可以得到。

师:也就是说从(1)到(2)要经过两步,比如“轴对称+旋转”,从(1)到(4)再到(2),或“旋转+轴对称”,从(1)到(5)再到(2)。

突然,关怡然高高举起手,迫不及待地说:“利用(1)的轴对称可以直接得到(2)!”

师:对称轴在哪里?

关怡然:(1)下面,横着!

王熙的想法我在备课时想到了(对称轴在右边也可以),这里确实有超范围之嫌,但如果把已知图形看成轴对称图形的一半就讲得通了,正好可以发展学生想象力。针对从(1)到(2),我开始以为必须用两步,而关怡然的思路突破了我的思考范围,原来对称轴的位置变化就可以代替旋转。

妙哉!出乎了我的想象。

(二)小小乌龟又建功

刚刚尝到甜头的我,面对一切机会,都如法炮制。练习七的第4 题(见图3),有3 条小鱼可以通过平移与红色小鱼重合,另有2 条可以通过旋转达到目标(根据题目情景,严格地说旋转以后还需要平移),最后的重点落到了离红色小鱼最近的那条鱼上。

图3 练习七第4 题

生1:通过轴对称可以得到。

生2:通过旋转也可以得到。

师:这道题和昨天讲的“两朵小黄花”的题目还是有些不同的,需要再平移一下。

接下来第5 题的焦点是乌龟(见图4)。

图4 练习七第5 题

生3:乌龟不能通过旋转得到。因为旋转以后,龟壳朝下,四脚朝天了。

我突然警觉起来,重新返回第4 题。

师:为什么小鱼既可以轴对称,又可以旋转,而乌龟就不行呢?

生4:因为小鱼上下一样。

生5:如果小鱼的背上还有些标记(比如鱼鳍),就不行了。

师:也就是说,实际上通过旋转,小鱼也是背部朝下,只不过由于上下相同,看不出来罢了。

生6:注意看鱼的眼睛!眼睛是偏上的。如果旋转的话,就应该偏下了。所以这条小鱼根本就不能通过旋转和小红鱼重合。

实话实说,这个地方的课我没有备好。所幸碰到了可爱的乌龟,补救了我在小鱼身上的过失。这一失误犹如飘飘然间泼来的一盆冷水,浇醒了我——什么时候也不能想当然啊!数学崇尚联系,但不能丢失了严谨。看来对于前文发现的“轴对称”运动的妙用,还没有彻底理解:对称轴的位置变化可以省略旋转,但旋转却不能代替轴对称,两者本质不同——旋转是绕中心转动,所有的方向都在变化;而轴对称是以轴为分界,垂直于轴的方向相反,平行于轴的方向不变。

三、真实的计算更有深度

(一)露出久违的笑容

对于低年级小学生来说,口算是打基础的。我以为“六表”必须背熟(“六表”指10 以内加法表、10以内减法表、20 以内进位加法表、20 以内退位减法表、乘法口诀表和本册第45 页的除法表)。为此我是不遗余力的,班上每位同学都逐一计时过关。两年来,花在这件事上的时间占到了课下辅导的一半。每次背诵前我都做示范,我所用时间的3 倍一般为要求学生背诵的时间。即便如此,仍然有6 个“老大难”被剩了下来。我耐心地等了好几个月,还是没有多大效果。这时我意识到应该改革练习形式了。

游戏一:6 个人开火车,轮到谁了,背不出了就站着,等下一轮又轮到你,背出来了再坐下。

游戏二:找来一个大书包,像击鼓传花似的,如果背不出来拿书包的时间就长一些,直到背出来为止。

我让他们几个人自己玩这些游戏,我远远地做其他事情。没想到他们还创造出了新规则,比如背不出来的要“提书包5 次”,以示惩罚。更可喜的是,他们说话的声音也大了,每个人的脸上都露出了久违的笑容。我把记录这些活动的教学反思发给相关学生家长,于是家里面也热闹起来。

紧接着,我又想到一个方法——边换数边背表(其实并不是死记硬背,只不过是想得快一些罢了)。因为这些四则运算表格是有规律排列的,每次通常只是改动一个位置的数。比如除法表竖着看,第4列是( )÷4 =□,除数不变,商从小到大依次排列。这时只需要想被除数即可(本来除法表就是乘法口诀表的另一种训练形式),即每次擦除更换一个商,然后想被除数是谁。这个活动很适合在黑板前使用黑板擦,比在练习本上用橡皮擦还方便。大家一人一组,轮流练习,很受欢迎。

游戏的作用很快显现出来,两周内就有4 名同学完成了久拖不决的全部任务!剩下的2 个人,也都完成了一半。我还要继续等下去,直到他们成功上岸。

俗话说艺不压身。低年级口算基础打得牢,以后做笔算、估算、简便计算都不费劲,也能腾出时间来思考分析其他问题。当然也没必要夸大游戏的价值,如果没有前面反复记忆的基础,单靠游戏也恐难奏效。

(二)我的最爱——算式谜

巧解算式谜很有趣,尤其是多位数乘除法算式谜,更是变化多端。我专门总结了算式谜的特征——千疮百孔,能够复原。面对二年级的有余数除法,我也想引入算式谜。虽然这是学生第一次学习笔算,但有余数除法已经具备了算式谜的基本特征。

首先是完成两道常规题目,然后思考:哪个位置上的数擦掉后,还能通过推理恢复原数?为什么能复原?这里主要依靠两种关系:商×除数=分下去的积;被除数-分下去的积=余数。竖式中被擦掉的数越来越多,最终7 个位置剩下了3 个。当然不能只把被除数和除数剩下,那是顺向计算,而非算式谜。

我在课上重点介绍了一种搜索乘法口诀的新方式——按积的个位搜索。其中1、3、7、9 的乘法口诀,它们口诀积的个位正好是从1 到9,不多不少,也就是说已知积的个位就完全确定了是这组口诀中的哪一句;而2、4、6、8 的乘法口诀,口诀积的个位则是2、4、6、8、0,其中积的个位是2、4、6、8的,都是两种答案,需要认真甄别;最特殊的是5 的乘法口诀,口诀积的个位只有5 和0。

比如左边一题(见图5),7 的乘法口诀中,积的个位是3 的只有七九六十三,从而确定商是9,分下去的积是63,被除数是69。右边一题,4 的乘法口诀中,积的个位是2 的有两种情况,三四十二、四八三十二。所以除数可以是3,也可以是8,但因为余数是3,除数必须比余数大,所以除数3 被淘汰,只能填8,分下去的积是32,被除数是35。

图5 算式谜

循着老师编题的过程,同学们课下自己编题,每人4 道。我从中挑选了30 道最优秀的,大家一起做。挑选标准是答案唯一、构思巧妙、类型丰富。每一种都缀有学生的名字,大家还真是动脑筋了。

通过编题活动,我对算式谜也有了新的理解。第一,余数对除数有反制作用。即除数必须比余数大,可以利用余数的大小控制除数的可能性,使答案变得唯一,但是余数不能制约商。第二,有时单凭积的十位或个位也可以找出线索。第三,空格的位置也会说话,所以一般的算式谜都是“七露三”,但也有些“七露二”的,甚至是“露一”的绝版。

四、真实的认数更有趣味

(一)捆住一千根小棒

第七单元《万以内数的认识》是对认数范围的一次扩展。表面上看只是增加了千位和万位这两个数位,但实际上是在原来100 个数的基础上增加了9900 个数。这么多的数突然来到面前,可以说是喷涌而出,学生自然应接不暇,出现的问题很多。我想应该做好两件事,一是对计数单位的直观认识,二是对十进位值制的深入理解。

课本上认识“一千”使用的是小正方体,其中也有体积的渗透,但操作不方便,必须使用多媒体课件。而课件毕竟是抽象的,演示的速度很快,缺少了过程的价值,也没有实物带给学生的冲击力。最终我选择了双头棉签上的小棒。要求每位同学带30 根,每10 根捆一小捆。而我则拿来女儿用的小皮筋,还有一根捆青菜的塑料绳。

上课伊始,先数好10 个十,用一根皮筋捆起来,成为一个中捆,这样10 个十就看成了1 个百。继续边拿边数,从110 数到200,再捆出一个中捆,又出现一个百,一共是两百了。接着从210 数到300,再捆出一个中捆……就这样一边收小棒,一边十个十个地数,一直数到960,全班所有小捆的小棒都用完了(班上总有学生只拿小棒但不捆起来的,所以我才把“每人带2 小捆”调整为“每人带3 小捆”)。这时有些学生手里还有单根的,正好可以拿来一根一根地数,又从960 数到了1000。面对来之不易的10 个“百”,我拿出塑料绳认真地捆起来,就是想给学生一个深刻印象,强调10 个百是一千。

虽然讲1000 以内数的认识,但不能局限于此。只要有小棒就可以接着数。就这样一直数到1249 根。我把这些小棒用胶带贴到教室里(见图6),这样的直观刺激,展示一星期,回味好几年。

图6 计数小棒

在认识一千的过程中,我带领同学们经历了10次十位的“满十进一”、1 次百位的“满十进一”,这些有意放慢的瞬间使他们记忆牢固。而最后那一千根的大捆更是让大家惊奇。一下课,就有很多同学围过来又看又摸。宋怡然说:“我还从没见过这么多小棒在一起呢!”

(二)关于敲门的故事

虽然学生有学习两位数的基础,但数四位数还是很难的,数到拐弯的地方容易迷糊,而且这时的弯拐的还有大有小,更易混淆。我的想法是:观察数数中的变与不变,只要掌握了这个规律,基于十进位值制的数数就会变得简单。

课堂上我从6772 开始数数(因为正好学到南京长江大桥的铁路桥长6772 米),并把数数的过程编成了故事。

个位、十位、百位、千位是兄弟四人,他们住在并排的四间房里,平时主要的工作就是一起表示一串串数。住在右边的个位最勤劳,每次数数他都变,但越往左,房间里的人越懒。

有一次,他们接到一个任务,要从6772 开始数数。于是个位开始忙碌起来……直到变成6779 后,个位去敲十位的门。个位说:“注意啦,十位醒醒,我这马上就满十了,要向你进一,准备开门吧。”

到6789 时也是如此。但到6799 时,不仅个位敲了十位的门,十位也紧接着去敲了百位的门,因为十位也即将攒够10 个十,也要“满十进一”了。接下来就变成了6800。

然后,百位继续睡大觉,十位又变成每隔10 个数醒一回,一直到了6900,后来又到了6999。这时候更热闹:个位敲完十位的门,十位就去敲百位的门,最后百位又去敲了千位的门,总共要敲三次!因为下一个数是7000!

等到数过7000 之后,千位沉睡,百位熟睡,十位打盹,勤劳的个位继续每次都变化……

故事中的“逢9 敲门”,预示即将“满十进一”。拐小弯敲一次门,拐大弯就要敲2 次门,甚至3 次门。数数的这种左慢右快的特点像极了钟表上的时针、分针和秒针(但时间不是“满十进一”)。实际上,也不能怪左边懒,而是因为规则所限。假如左边的高位数字一直变的话,右边的低位数字早就转晕了。

我以为,这些真实的片段就是小学教育里应该有的样子。这种状态大概就是“福流”。我深知万万不可满足于此,要继续向着教育的更高境界出发,一路汇集更多的探寻者。

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