共振柱试验确定土动剪切模量和阻尼比的理论辨析

陈龙珠，顾晓强

（1. 上海交通大学 船建学院土木工程系，上海 200240；2. 同济大学 土木工程学院地下建筑与工程系，上海 200092）

0 引 言

在场地地震安全性评估、地基抗震加固和环境振动治理等工程中，通常需要采用动三轴试验和共振柱试验测定地基土的动剪切模量、阻尼比与剪应变幅的关系曲线。一般来说，对测试原理基于线性振动理论的共振柱试验，试样最大应变幅不高于1×10-3，而动三轴试验适用的应变幅范围则不低于1×10-4，1×10-4～1×10-3常是它们的交叠区间。因此，将这两种试验的测试结果整合起来，便可为试样提供较为完整的动剪切模量、阻尼比与动应变幅的关系曲线[1-2]。

根据材料力学基本理论，对固结后高度为hc、截面直径dc的圆形实心截面试样，若已知在其顶端受到的扭矩T及其相对于底端的扭转角θ等参数，则试样的剪切模量可由理论公式来计算。利用这个原理直接测定试样的剪切模量，必须精密测定试样受到的扭矩及其产生的扭转角，但这在以往却并不容易做到，直到近些年随着测量传感器的进步才被开发应用[3-4]。我国目前仍普遍采用传统的共振柱试验技术[5-6]，即对类似于动三轴试验的试样，在其顶端施加一系列振动频率的扭矩，同时测定试样顶端水平安装的加速度计电压信号，再由其幅频关系曲线的峰点频率确定试样的共振频率和动剪切模量，并由转换而得的扭转角位移幅频曲线的峰点频率及其两侧半功率点之间的频差计算试样的阻尼比。这种稳态强迫振动法确定试样的动剪切模量，避免了精确测量试样所受动扭矩的困难。在共振柱试验中，也可以瞬间卸除使试样顶端产生预期转角的扭转激励，让试样转为自由振动状态，再由所记录到的试样扭转振动衰减时程曲线来确定它的阻尼比，这是自由振动法。

目前常见的共振柱仪可分为底端固定顶端自由、底端固定顶端受弹簧支承两类，其中前者的试样与顶端激振和测振传感器附加质量整体系统的动力特性求解相对简单，本文将以此为对象，并结合《土工试验方法标准》（GB/T 50123—2019）[5]的相关规定，进行分析讨论。试样顶面的扭转角振幅θ0及其对应的动剪应变幅γ，通常是由加速度计测到的水平向线加速度经计算得出：θ0=U0/(4d1βπ2f2)、γ=θ0dc/(3hc)，其中d1、U0、β和f依次为加速度计到试样轴线的距离、加速度计电压振幅、加速度计标定系数和振动频率。显然，试样顶面的加速度计电压U0或扭转角加速度振幅与扭转角速度振幅扭转角振幅随振动频率而变化的关系，彼此之间是不同的。因此，它们的幅频曲线峰点频率、峰点两侧半功率点频率及其差值，彼此之间也会存在差别。共振柱试验测定试样动剪切模量Gd的理论计算公式为：

式中：ρ0为试样的质量密度；fnt是试样的固有频率；βs为扭转振动的无量纲频率因数。但是，根据其第30.3.4条中的第3点和第30.4.2条，《土工试验方法标准》对其式（30.4.2）或本文式（1）中的fnt，采用了U0-f曲线和曲线的峰点频率（扭转角加速度共振频率）f，同时也由此按其式（30.4.1-1）计算对应的剪应变幅。另外，该标准确定试样阻尼比tλ的式（30.4.6-2），涉及的则是θ0-f曲线的峰点频率fθp（扭转角共振频率，该标准采用符号fn）。由此可见，需要弄清和fθp的相对大小状况，才能判断由该标准方法确定的试样动剪切模量、动剪应变幅和阻尼比的数值是否合理和可靠。本文主要从理论上对此进行辨析与讨论。

1 黏弹性试样扭转稳态强迫振动解与应用

1.1 理论解答

对图1所示的坐标系，圆柱试样底端固定，顶端安装有总质量为 am的激振压板和量测传感系统。假设土为线性黏弹性材料，则试样扭转振动的运动方程为：

图1 共振柱试验扭转振动力学模型Fig. 1 Mechanical model of torsional vibration for resonant column test

式中：θ(z,t)是与试样底端距离为z处截面随时间t而变化的转角；tη为试样扭转振动阻尼系数；T(t)为试样顶端外加扭矩；δ为奇异函数。

式（2）所采用的模型，假设了阻尼效应与试样的动剪切模量成正比，属于一种瑞利阻尼，由此根据结构动力学理论可知，试样的强迫振动可按振型叠加法求解。因试样相邻振型的固有频率间距较大，对共振柱试验的频率范围而言，可仅考虑第1振型的影响：

其中第1阶振型函数可表示为[1]：是试样扭转的第1阶固有圆频率。将式（3）代入式（2），且对各项同乘以A1(z)，然后再对各项沿试样高度进行积分，可得：

将式（5）代入式（3），可得到试样顶端扭转角的稳态强迫振动解：

对于简谐振动，容易写出试样顶端扭转振动的角速度和角加速度振幅：

1.2 动剪切模量计算

从上述结果得知，当阻尼比λt≠0时，有也就是说，试样扭转角加速度和角位移的共振频率均受阻尼比的影响，只有角速度的共振频率与阻尼比无关而与试样的固有频率相同。

在共振柱试验所测试样阻尼比的常见范围内，表1列出了试样扭转角幅频曲线和角加速度幅频曲线峰频比的平方随阻尼比而变化的数据。由表中数据可见，当阻尼比低于0.10时，试样扭转角和角加速度幅频曲线的峰频与固有频率相差很小；但之后随着阻尼比的增加，两种峰频比平方的数值与1的差距会越来越大。对多种类型的土来说，试验结果表明，阻尼比会随着动剪应变幅的增大而升高，当动剪应变幅处于1×10-4～1×10-3区间时，阻尼比随动剪应变幅增大会快速升高，阻尼比会进入0.10～0.20范围之内[7-8]。由表1可见，当阻尼比处于0.10～0.20时，由角加速度幅频曲线峰频替代试样固有频率计算得出的动剪切模量，将会偏高2.0%～8.7%。

表1 试样扭转角和角加速度幅频曲线峰频比平方值Table 1 Squared peak frequency ratios of the amplitudefrequency curves for torsional angle and angular acceleration of specimen

1.3 动剪应变幅计算

从本文引言介绍可知，试样的动剪应变与扭转角直接关联。因此，宜以扭转角幅频曲线的峰点来反映试样受到的最大动剪应变幅，而由扭转角加速度幅换算出的扭转角，是与振动频率的平方成反比的。由表1最右一列数据可知，当阻尼比处于0.10～0.20时，由替代fθp计算出的试样剪应变幅将会偏低3.9%～15.4%，为接近于前述动剪切模量误差的两倍。

从以上两点理论分析结果似可推论，由于阻尼比一般是随着动剪应变的增大而增大的，《土工试验方法标准》所存在的上述两点问题，对共振柱与动三轴试验数据合成绘制动剪切模量与动剪应变幅曲线的连贯性，可能也会带来一些影响。文献[2]给出的几种土样试验曲线表明，在动剪应变幅交叠区域，由共振柱试验测得的动剪切模量比动三轴试验测得的略高。但有哪些因素对此产生了影响，尚待更进一步的观察和分析。

1.4 强迫振动法的阻尼比计算

参照单自由度结构强迫振动幅频曲线特征，在激振频率接近于固有频率的范围内，结构振幅受阻尼比的影响极其敏感，阻尼比较小时尤其如此。因此，对共振柱试验确定阻尼比的方法，宜尽量做到精准。利用上面推导出的式（8）、式（11）和式（12），从理论上说，可由扭转角、角速度和角加速度幅频曲线的峰频来确定试样的阻尼比：

但在阻尼比较小时，要想由这两个公式确定阻尼比具有足够高的精度，则需要在试验时选用足够小的激振频率间隔，以便获得足够分辨率的峰频。

在《地基动力特性测试规范》[6]中，由共振柱试验测定试样阻尼比，只给出了自由振动法的算式；而《土工试验方法标准》同时给出了自由振动法和稳态强迫振动法的算式，其中后者的式（30.4.6-2）用本文符号表示则为：

式中：1f和f2是试样扭转角幅频曲线峰点两侧、振幅为即70.7%的峰值处两个半功率点对应的频率，其在如图2所示的F-R曲线上对应于1R和R2。

图2 确定试样阻尼比的半功率点Fig. 2 Half power points for the soil damping ratio

将其重新整理，得：

表2 试样扭转角幅频曲线半功率点频率比的精确值Table 2 Exact values of the frequency ratio at half-power point of the amplitude-frequency curve for torsional angle of the specimen

由此可见，若将《土工试验方法标准》对稳态强迫振动法算式（30.4.6-2）规定的试样扭转角幅频曲线，改为扭转角速度幅频曲线，则在理论上相对更加严密。将表3数据代入式（17），所得阻尼比几乎没有误差。

表3 试样扭转角速度幅频曲线半功率点频率比的精确值Table 3 Exact values of the frequency ratio at half-power point of the amplitude-frequency curve for angular velocity of the specimen in torsion

对于式（16）的精确算式和表3中的数据，容易验证R1R2=1，即由此可以对实测扭转角速度幅频曲线的可靠性进行检验。当遇到试样扭转角速度幅频曲线的频率范围不足以确定R2时，可以由1R计算阻尼比：

2 黏弹性试样扭转自由振动解与应用

令式（2）中试样顶端外加扭矩T(t)为0，便是其自由振动的运动方程。同样按振型叠加法求解并仅保留第一振型的影响，则可以得到试样顶端扭转角位移的自由振动解[9]：

图3 试样扭转角的自由振动时程信号示意图Fig. 3 Schematic curve of rotation angle versus time forspecimen under free vibration

由试验测得对数递减率后，可由式（20）得到相应的阻尼比：

由于自由振动随时间的推移逐渐减弱，动剪应变幅会随之降低，继而使得试样的阻尼比会发生变化。因此，在采用自由振动法测定试样的阻尼比时，宜对开始阶段的时程曲线进行分析。

3 结 论

本文通过理论推导和分析，对现行《土工试验方法标准》所含共振柱试验确定试样动剪切模量、动剪应变幅和阻尼比的方法，提出如下几点改善意见：

（1）在试样动剪切模量的算式中，应采用扭转角速度幅频曲线的峰频，即试样的固有频率。

（2）在试样动剪应变幅的算式中，宜采用扭转角幅频曲线的峰频。

（3）在稳态强迫振动法确定试样阻尼比的算式中，应采用扭转角速度幅频曲线的峰频及两个半功率点的频差。

（4）采用自由振动法确定试样的阻尼比，扭转角、角速度和角加速度或加速度计电压时程曲线均可选用。