非齐次拟线性双曲方程组Goursat问题解的整体存在性*

2022-11-07 08:47窦浩楠刘存明

曲阜师范大学学报(自然科学版) 2022年4期

关键词：对式双曲方程组

窦浩楠, 刘存明

(曲阜师范大学数学科学学院,273165,山东省曲阜市)

0 引言与主要结果

考虑一阶非齐次拟线性双曲方程组

(1)

其中u=(u1,…,un)T是关于(t,x)的未知函数,A(u)是一个n×n矩阵,其中元素aij(u)(i,j=1,…,n)关于u适当光滑,B(u)=(B1(u),…,Bn(u))T是u的已知光滑向量函数.

由严格双曲型方程组的定义,对所考察区域上任意u,A(u)有n个互异的实特征值,

λ1(u)<λ2(u)<…<λn(u).

(2)

设li(u)=(li1(u),li2(u),…,lin(u))(ri(u)=(r1i(u),r2i(u),…,rni(u))T) 是对应于λi(u)(i=1,…,n)的左 (右)特征向量,即li(u)A(u)=λi(u)li(u)(A(u)ri(u)=λi(u)ri(u)),则det|lij(u)|≠0(det|rij(u)|≠0). 在严格双曲型假设下,li(u),ri(u)及λi(u)与A(u)有相同的光滑性. 不失一般性,设

li(u)rj(u)=δij,i,j=1,…,n,

(3)

ri(u)Tri(u)=1(i=1,…,n), 其中δij表示Kronecker符号.

对任意i=1,…,n,若沿着u-空间中过原点u=0 的第i特征轨线u=ui(s):

(4)

成立,∇λi(ui(s))ri(ui(s))≡0, ∀|s|≪1, 即

λi(u(i)(s))≡λi(0), ∀|s|≪1,

(5)

则称式(1)是弱线性退化[1]. 非齐次双曲方程组(1)右端项B(u)满足匹配条件,即过原点的任一特征轨线成立

B(ui(s))≡0, ∀|s|≪1,

(6)

其中ui(s)由式(4)给出.

考虑方程组(1)满足如下条件

u=φ(t):x=x1(t);u=ψ(t):x=xn(t)

(7)

的特征边值问题,其中x=x1(t)及x=xn(t)分别是过(t,x)=(0,0)的第1,n条特征线,即

(8)

(9)

其中φ(t)=(φ1(t),…,φn(t))T,ψ(t)=(ψ1(t),…,ψn(t))T是给定的C1函数,且在(0,0)处满足C1相容性条件

B(φ(0))(λn(φ(0))-λ1(ψ(0)))=b0;φ(0)=ψ(0),

(10)

其中b0=λn(φ(0))φ′(0)-λ1(ψ(0))ψ′(0)+A(φ(0))(ψ′(0)-φ′(0)).

对齐次双曲方程组(B(u)≡0)Cauchy问题已经做了广泛地研究[2,3]. 对Goursat问题(1)及式(7)～(10),在线性退化条件下,当给定的特征边值数据的BV范数充分小时,存在唯一的整体经典解[4]. 在文献[5-7]中作者得到了拟线性双曲方程组Goursat问题的C1解的整体存在性及渐近性态. 这些结果均是对齐次双曲方程组研究的,即方程组(1)无右端项的情况.

本文考虑方程组特征边值问题(1)及式(7)～(10)的光滑解. 在方程组弱线性退化条件及B(u)满足匹配条件下,若给定的特征边值数据W1,1范数充分小,证明了整体C1解的存在性,见定理1.

由双曲方程组特征边值问题C1解的局部适定性理论[8]知,若φ(t),ψ(t)∈C1,并且在(0,0)处满足C1相容性条件,则存在T*>0,使得方程组(1)及式(7)～(10)在DT*≜{(t,x)|0≤t≤T*,x1(t)≤x≤xn(t)}上存在唯一的C1解u=u(t,x). 我们得到如下的C1解的整体存在性.

定理1 假设方程组(1)是严格双曲,弱线性退化,且右端项B(u)满足匹配条件(6). 对于满足C1相容性条件(10)的特征边值φ(t),ψ(t),令

(11)

则存在与M无关的正常数ε>0,当