让“现象教学”走进数学课堂

王雯

［摘 要］“现象教学”自2016年由芬兰提出后，在国际上一直备受关注，而中国教育也进入了“以核心素养为本”的改革新阶段，两者都是以学生为中心，期望培养学生多方面的能力。课堂是教学的主阵地，有效性是教学的生命，因此如何实现高效教学成为教师需要研究的重要问题。文章以新高考下的“解三角形復习课”教学为例，从高考新题型出发，让“现象教学”走进数学课堂，重在发挥学生的主观能动性，充分挖掘学生的潜力，培养学生的综合能力。

［关键词］现象教学；数学课堂；解三角形

［中图分类号］    G633.6        ［文献标识码］    A        ［文章编号］    1674-6058（2022）20-0011-03

一、背景介绍

芬兰教育一直备受世界关注。2016年8月，芬兰进行了新一轮的教育教学改革，提出了“现象教学”的概念。“现象教学”可理解为基于现象的教学，它弱化了学科界限，围绕学生感兴趣的主题调配师资，强调学生的学习兴趣和学习环境，以培养学生的综合能力为目标［1］。“现象教学”的出现，改变了传统学科的分类，它的完成需要很多方面的能力，如学会调查，学会查阅资料，学会从各个角度去看待和分析问题。2020年，江苏省实施了新的高考方案。从《普通高中数学课程标准（2017年版）》也可以看出，我国的课程改革及高考改革倡导以解决问题为导向，以学生为中心，期望学生学会自主学习，具备自主学习的能力和分析解决问题的能力。

目前新高考中增加了以结构不良问题为核心的新题型，如何让学生在有限的时间内选择更优的解题方法成为教师在教学中需要思考的问题。让“现象教学”走进课堂，可调动学生的学习积极性，让学生在解决问题的过程体会到获取知识的快乐。下面笔者以“解三角形复习课”的教学为例，谈一谈如何让“现象教学”走进数学课堂。

二、教学设计与策略

新高考中对于解三角形知识的考查多以结构不良的形式呈现，题目中常出现条件缺失或条件选择的情况，解此类题型的基本思想有两个：一是可解，即补充或选择的条件可以达到解题的目的；二是简单，即补充或选择的条件可使解题变简单、容易。当然，补充或选择的条件不同所出现的计算难度也会有所不同。基于这两个基本思想，“解三角形复习课”的教学重在充分发挥学生的主观能动性，让学生通过不断改编题目而成为出题者，并在教师的引导下找到解决问题的最佳方法，在形成完备知识体系的同时提高综合能力。

“解三角形复习课”的教学片段如下：

师：请大家来看这道题目：在[△ABC]中，角[A， B， C]所对应的边分别为[a， b， c]，求满足条件的其他边和角：[A=60°]，[B=45°]，[c=2]。

生1：可以先计算出角[C]，再利用正弦定理[asinA=bsinB=csinC]求出边[a， b]。

师：很好，那通过这道题，你觉得正弦定理可以解决什么问题？

生（齐）：已知两角及一边，求其他边和角的问题。

师：能否改变其中一个条件，却仍能求解这个三角形的边和角？

生2：将“[c=2]”改成“[b=4]”。

师：这样改可以吗？

生3：可以，但是与原题在本质上是一样的。我想把“[A=60°]”改成“[a=4]”。

师：大家觉得这样改可以吗？

生4：可以，但是不能用正弦定理求解，要改用余弦定理求解。

师：那你能说说是如何用余弦定理求解的吗？

生4：利用余弦定理公式[b2=a2+c2-2accosB]可以求出边[b]，已知三角形的三条边，再运用余弦定理就可以求出该三角形的另外两个角了。

师：说得很好。这位同学认为不能利用正弦定理求解，大家有没有不同的看法？

生5：结合正弦定理[asinA=bsinB=csinC]和题给条件[a=4]，[B=45°]，[c=2]，可得[4sinA=bsin45°=2sin（135°-A）]，我把能计算的都表示出来，得到[4sinA=b22=222cosA+22sinA]，即[bsinA=22，bsinA+bcosA=2 ，]所以[tanA=-2-2]，再利用同角三角函数之间的关系[sin2A+cos2A=1]可以计算出[sinA]，[cosA]，边[b]以及角[C]。

（此时大家都对生5的解法表示惊叹）

师：通过这个解法大家发现了什么？

生6：对于解三角形，用正弦定理可以解决已知两边及其夹角的问题，但计算量大，而且容易出错，用余弦定理会更方便些。

师：是的，所以正弦定理不是不能求解已知两边及其夹角的三角形问题，而是求解起来比较麻烦。那正弦定理除了可以解决已知两角及一边的三角形问题，还能解决其他情况下的三角形问题吗？

生7：将[B=45°]改成[a=4]，利用正弦定理[4sin60°=2sinC]可以求得[sinC=34]，通过[cosB=-cos（A+C）=-cosAcosC+sinAsinC]求出[cosB]，再根据余弦定理求出边[b]。

师：很好，请大家按照这位同学的思路继续往下做。

教师投影一位学生的解法：

因为[sinC=34]，所以[cosC=± 134]，当[cosC=134]时，[cosB=-cos（A+C）=-12×134+32×34=3-138]，所以[b2=16+4-2×4×2×3-138=14+213]；

当[cosC=-134]时，[cosB=-cos（A+C）=-12×-134+32×34=3+138]，所以[b2=16+4-2×4×2×3+138=14-213]。

（投影完后，学生有不同的意见）

生8：因为[a>c]，所以[A>C]，那么角[C]不可能为钝角，不需要讨论[cosC=-134]的情况。

师：非常好，这样就为解这道三角形题目节省了时间。如果这道题不需要求解，而是问：满足题目条件的三角形有几个？你能做出判断吗？

［学生画图（如图1），并做解释］

师：那能不能继续改变条件求解该三角形呢？

生9：将“[A=60°]”改成“[△ABC]的外接圆半径为2”，利用公式[asinA=bsinB=csinC=2R]（其中[R]为[△ABC]外接圆的半径），就可以解该三角形了。

师：改得好，大家的思维已经不再局限于边、角的互改了。那大家还记得这个公式是怎么得来的吗？

（教师引导学生对相关知识点进行了回顾）

师：还可以再改吗？

生10：将“[A=60°]”改成“[△ABC]的面积为4”，利用[12acsinB=4]可求出边[a]，再利用余弦定理求出边[b]，最后通过正弦定理求出角[A]与角[C]，这样就把三角形解出来了。

师：这位同学已经想到三角形的面积问题了，那如果我们把条件“[B=45°]”换成“[a=6]”以及把“[c=2]”换成“[S△ABC=63]”，即题目条件变成“[A=60°]，[a=6]，[S△ABC=63]”，你能求解该三角形吗？

教师借助投影，展示两位学生的解法：

生11：由[asinA=bsinB=csinC=2R ]，得[b=43sinB ]，[c=43sinC]，由[S△ABC=63]得[12×43sinB]

[43sinC×32=123sinBsinC=63]，所以[sinBsinC=12]，即[sinBsin（120°-B）=12]，展开后化简得[2sin2B-π6=1]，所以[B=π6]或[B=π2]，当[B=π6]时，[C=π2]，所以[b=23]，[c=43]；当[B=π2]时，[C=π6]，所以[b=43 ，  c=23]。

生12：由[S△ABC=63]得[12bc×32=63]，所以[bc=24]，由[b2+c2-a2=2bccosA]得[b2+c2=60]，所以[（b-c）2=12]，[（b+c）2=108]，所以[b=43]，[c=23]，[B=π2]，[C=π6]或者[b=23]，[c=43]，[B=π6]，[C=π2]。

师：从这两位同学的解法中，你们发现了什么？

生13：对于解三角形会有不同的方法，但是所消耗的时间会有很大的不同，这就提醒我们要灵活应用公式，尽可能地选择最优方案。

（教师展示一道具体的例题，引导学生巩固拓展）

［例题］（2020年新高考Ⅰ卷）在①[ac=3]，②[csinA=3]，③[c=3b]这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求[c]的值；若问题中的三角形不存在，请说明理由。

问题：是否存在[△ABC]，它的内角[A， B， C]的对边分别为[a， b， c]，且[sinA=3sinB]，[C=π6]，             ？

三、教學反思

（一）探索性提问，激发学生的学习兴趣

本节课采用了探索性提问，通过让学生改编题目调动学生探究的积极性，激发学生的学习兴趣。而问题作为学生探究的主线，其设置的合理性尤为关键。问题过于简单，会让学生没有思考，无法启发学生思维；问题过于深奥，会让学生无从下手没有办法回答，这样会打击学生的积极性，长此以往，学生会产生抵触情绪。因此，问题不但要有阶梯性，以便学生能够不断深入思考，还要有一定的引导性，使学生能够逐步发展思维，提升能力。本节课中教师所提出的问题，如“如果这道题不需要求解，而是问：满足题目条件的三角形有几个？你能做出判断吗？”“那大家还记得这个公式是怎么得来的吗？”一方面给予了学生鼓励，让学生尽可能多思考；另一方面让学生的思维更发散，所获取的知识更全面。“这位同学认为不能利用正弦定理求解，大家有没有不同的看法？”这种提问给予了学生充分质疑的时间和空间，很好地锻炼了学生辨析问题的能力。而“这位同学已经想到三角形的面积问题了，那如果我们把条件‘[B=45°]’换成‘[a=6]’以及把‘[c=2]’换成‘[S△ABC=63]’，即题目条件变成‘[A=60°]，[a=6]，[S△ABC=63]’，你能求解该三角形吗？”这个问题将解三角形提升到了一个新的高度，并且通过展示学生的不同解法，让学生自己发现不同方法的不同运算过程，进而找到问题的实质，培养学生提出问题、解决问题、挖掘问题本质的能力。

（二）投影式点评，让学生找到问题的本质

个体的发展需要借助工具，也需要通过与社会的互动，与人的互动，不断地反思，不断地修正来实现。本节课对于简单问题的回答大多采用口述的方式，但对于“看似简单，实则不易”的问题则进行了投影点评，让学生在自己的方法和其他同学的方法的对比中找到最优方法，进而达到自我修正、培养能力的效果。祁建新等人认为，同样是教学生思考，还要分是思考什么以及怎样思考。对知识进行思考，得到的是对知识的认识；对现象进行思考，得到的是对世界的认知［2］。通过投影学生的解题过程与结果，能看到学生思考问题的过程，而对于方法的点评，可以让学生了解自身的不足，并且学会接纳其他方法，而学生这种“容他”的表现，体现了教师的德育渗透十分有效。

（三）互动式教学，提高课堂教学效率

教育不应仅仅是把前人已有的经验﹑知识教给学生，而应将学生培养成完整的人，使得他们具有思考的能力﹑判断的能力以及独立解决问题的能力［3］。传统的复习课大多是以先复习知识点再应用的方式进行的，这样的课堂较沉闷，学生也觉得无趣。如果我们换种方式，以学生为主体，鼓励他们实践，让他们不只是被动地做题，而是成为出题者，并且自己去发现、去探究，那么不仅能完成知识的回顾及应用，还能激发学生的学习兴趣，这与“现象教学”中“强调学生的学习兴趣和学习环境，以培养学生的综合能力为目标”不谋而合。本节课通过互动式教学，让学生一直处于思考中，思考自己提出的问题，思考同学提出的问题，思考老师提出的问题，大大提高了课堂教学效率，学生的思维也在课堂上真正“活”了起来。

四、结束语

有效性是教学的生命，因此，在响应国家“减负”号召的同时，教师应让学生在有限的时间内掌握更多的知识，提高他们各方面的能力，要让“高效教学”真正在每节课中得到落实。为此，教师要明确自己的角色定位，关注学生的发展，引导学生去表达自己的想法，充分调动学生的学习积极性，促进学生加强反思及协同合作，让知识的稳固及加深变得更容易，尽可能地减少不同层次学生之间的差异。

要实现高效教学需要以学生为中心。因此，教师要引导学生积极投入到学习中，成为问题的提出者和解决者，并且能理解问题的本质，把握问题的解决方法。

［   参   考   文   献   ］

［1］  俞建芬，蔡国英. 芬兰“现象教学”的理念﹑内涵与启示［J］.教学与管理，2019（33）：121-124.

［2］  祁建新，徐建东，水菊芳，等.注重数学思想引领 深化“现象教学”探究［J］.中学数学教学参考，2019（13）：25-28.

［3］  程元元.现象教学进课堂的策略研究：基于高中学生数学核心素养的提升［J］.数学教学通讯，2019（36）：17-18，25.

（责任编辑 黄春香）