油水两相平面径向渗流压差时量理论研究

刘海龙

中国石油大庆油田有限责任公司勘探开发研究院，黑龙江 大庆 163712

引言

平面径向流中井底与外边界之间存在随时间不断变化的压差，在压差的作用下，流体在多孔介质中产生渗流，随着时间增加，累计产液量或累计注水量、含水饱和度分布、总流量、前缘位置也不断发生变化。

在物理模拟实验中，压差是实验者控制的物理量，根据实验目的，实验者可以设定压差恒定或按一定规律变化，以什么样的压差进行实验取决于其主观意识。实验者有时需要控制流量，从作用原理上说，实验者仍是通过控制压差达到控制流量的目的，只不过这一过程是由实验仪器根据流量设定来自动完成，实验仪器仍是通过调整压力达到流量目标，因此，实验者控制流量的实质仍是控制压差。其中，一个人为控制的因素是实验时间的长短。根据实验目的，设定实验时长不同，几个小时或者几天。如果实验开始时间视为参考起始时间，例如计时0 时刻，则实验时长取决于结束时间，因此，另一个人为控制的量是结束时间，与压差类似，结束时间取决于实验者主观意识。

通过以上分析可知，从物理作用原理上，人为控制的压差和结束时间是自变量，累计产液量或累计注水量、总流量、饱和度、分流率等其他变量是因变量，研究自变量与因变量之间的关系、研究压差和结束时间如何影响其他变量具有重要理论意义。注采压差随时间变化的平面单向渗流[1-2]研究中作者提出了压差时量的概念[3]，压差时量体现了压差和时间的综合作用，本文将进一步研究径向流的压差时量理论。

目前，油水两相平面径向渗流的理论比较成熟和完善，其内容是室内实验、现场实践、项目研究的基础[4-9]，含水饱和度分布、总流量、压力分布等内容的研究也比较清楚[10-11]。

关于压差和结束时间这两个变量的研究，以累计注水量作为已知条件，通过两相流混合带压力分布公式[10]能够研究瞬时压差与瞬时流量之间的关系。如果以总流量恒定为条件，能够给出结束时间对渗流过程的影响[11]，利用总流量恒定建立累计注水量与结束时间的关系，通过这一关系把结束时间引入到渗流公式中。压差时量体现了压差和结束时间两方面的共同作用，通过压差时量能够研究压差、结束时间与累计注水量、累计采液量、含水饱和度分布等之间的关系。

压差时量理论的研究具有重要的实际应用意义，产液量、产油量、含水率等开发指标的计算都涉及压差和时间，在利用平面径向渗流理论计算开发指标变化的一些研究中，主要是通过饱和度分布简化、单相流体假设、注入倍数代替时间等方式[12-15]对开发指标变化规律进行研究，压差时量概念及相关理论提供了理想情况下开发指标随时间变化的严格数学关系，为开发指标变化规律研究提供新的思路，使开发指标变化规律的研究更加深入。

利用压差时量的概念能够更直接、更清楚地研究层间矛盾产生的机理，合采合注的特点是同时和同压差，所以研究压差、时间如何影响渗流过程就很重要。目前层间矛盾有很多研究[15-23]，但是通过压差、时间两方面共同对层间矛盾进行研究还未见报道，压差时量理论可为层间矛盾的研究提供新的理论参考。

本文对平面径向流压差时量理论进行研究，从平面单向流压差时量概念出发，对压差时量概念进行了完善，使之适用于平面径向流。为了使引用公式的形式、表示符号、中间结果、变量正负值等内容清楚一致，本文列出了相关渗流理论的推导过程，在此基础上，推导了中心井为油井情况见水前和见水后的压差时量函数关系式，水井情况与油井情况同理，只列出了水井情况的推导结果。根据压差时量的函数关系式，分析了压差时量的影响因素，总结了7 项与压差时量有关的因素。在举例计算中，利用压差时量函数关系式和数值模拟两种方法计算累计采液量、累计注水量、日采液量、日注水量及含水饱和度分布，通过曲线图和平面图对比，两种方法计算结果相符合。

1 压差时量概念的完善

文献[3]提出了压差时量概念：在变压差平面单向渗流过程中，注采两端压差曲线与时间轴在坐标系中围出曲边梯形，该曲边梯形的面积称为压差时量。压差时量的计算公式为

压力是位置和时间的函数，在不同时间，不同位置的压力不同。油层中位置a 与位置b 的压差是指位置a 压力减位置b 压力。

在平面径向流中，油井情况井底流压比外边界压力低，井底与外边界的压差为负值；水井情况井底流压比外边界压力高，井底与外边界的压差为正值。

压差时量是压差在时间区间上的定积分，压差的相对关系需要在概念中明确，所以压差时量的概念有必要进一步完善。压差时量的概念完善为油层中位置a 与位置b 的压力差在时间区间[t0,tn]上的定积分称为位置a 与位置b 从时间t0到时间tn的压差时量。完善后的压差时量计算公式为

完善后的压差时量概念可用于平面径向流研究，本文在推导过程中所使用的压差时量是指井底与外边界从渗流开始时间t0到结束时间tn的压差时量，简称压差时量，即

由式（3）可知，水井情况井底流压高于外边界压力，压差时量为正值；油井情况井底流压低于外边界压力，压差时量为负值。

2 平面径向渗流压差时量

变压力驱替过程的推导是以油水两相径向渗流理论为基础，考虑到推导过程所引用的公式形式、表示符号、中间结果、变量正负值等内容清楚一致，本文把涉及到的渗流公式推导过程列出，以便在后续推导中引用。

平面径向流模型如图1 所示，油层为圆盘状，均质等厚，井位于圆的中心，外边界半径re，井筒半径rw，推导过程分油井和水井两种情况。

图1 平面径向流模型Fig.1 Radial fluid flow

2.1 等饱和度平面移动方程

在不考虑油、水和岩石的压缩性时，极坐标下连续性方程为

由式（4），可得

由分流率定义，有

将式（6）代入式（5），有

整理式（7），可得

研究某一含水饱和度Sw位置变化，可将含水饱和度Sw视为常数，则

整理式（8）、式（9），可得

对于油井，有

积分结果

同理，对于水井，有

由式（12）、式（13）可知，由Q可以得到含水饱和度分布，根据含水饱和度分布可进一步求解前缘位置、采出程度等。

2.2 确定平面径向流前缘含水饱和度

油井情况，在外边界至水驱前缘之间位置r处取一微小圆环，如图2 所示，圆环dr内的由外边界渗流入的水量

图2 平面径向流示意图Fig.2 Sketch map of radial fluid flow

式（14）可化简为

将r视为Sw的函数，则由外边界渗流入的总水量为

利用分部积分法，将式（16）整理为

同理，可得水井前缘含水饱和度确定方法，结果与式（19）相同。由作图法可求得前缘含水饱和度。由文献[10]及式（19）可知，平面径向渗流与平面单向渗流前缘含水饱和度确定方法相同，相同物性的油层单向流和径向流的前缘含水饱和度数值一致。

2.3 流量、总流量、某位置压力、该位置含水饱和度之间的函数关系

径向流的流速

联立式（20）、式（21），整理可得

油井情况，由式（12）、式（22），整理可得

某一位置ra处含水饱和度为Swa，压力为pa，以Sw作为积分变量，对式（23）进行积分，则有

考虑到物理意义容易理解，被积表达式不展开，对式（24）进行整理，可得

3 见水前的压差时量

由前文分析可知，Q可以确定含水饱和度分布、前缘位置、采出程度等内容，如果能够求得压差时量与Q之间的函数关系就能够进一步得到压差时量与其他变量之间的关系，所以，压差时量与渗流过程中其他变量之间的函数关系归结为压差时量与Q之间的函数关系，下面开始推导这一函数关系。

对于油井，在水驱前缘位置，由式（25）有

式（31）可由径向流达西定律的极坐标形式得到，从函数形式看，油井总流量是负值，即油井情况油水流动方向与极坐标方向相反。

由式（30）、式（31），整理可得

对等式两边积分，可得

整理，可得

则当Q由0 变化到Qn，Qh由0 变化到Qn/h，式（38）尾项积分式变为

则

由式（3）的压差时量定义，可得到油井的压差时量

同理，对于水井可以得到

4 见水压差时量

油井情况，油井见水时由式（12），可得

油井见水时累计注水量

将式（46）代入式（43），可得油井见水时的压差时量

对于水井，水驱前缘到达外边界时，外边界位置分流率不再为0，如果外边界处此时布油井，油井会见水，与油井推导过程同理。

水井外边界处油井见水时累计注水量的推导结果与式（46）正负符号相反。

水井外边界油井见水时压差时量

5 见水后的压差时量

油井情况，位置a 取井筒半径处，由式（27），有

由式（12），有

分流率与含水饱和度关系曲线是凸弧的情况下，分流率二阶导数小于0，分流率导数是含水饱和度的单调减小函数[3]，反函数也是单调减小函数

整理式（49）、式（51），可得

整理式（52）、式（35），可得

驱替时间由见水时间tj驱替到结束时间tn，单位厚度累计采液量由见水单位厚度累计采液量Qj/h变化到结束时间单位厚度累计采液量Qn/h，对式（53）两边积分，有

见水时压差时量为

见水后结束时压差时量为

由定积分性质可知式（54）左侧积分可整理为

由式（54）、式（57），可得

同理，对水井有

6 压差时量函数及压差时量影响因素

6.1 压差时量函数关系式

由于油井油水流动方向与坐标轴方向相反，Q是负值，所以见水前Qn≥Qj，见水后Qn＜Qj。

根据式（43）、式（58）可得到油井的压差时量函数关系式，见式（60）。根据式（44）、式（59）可得到水井的压差时量函数关系式，见式（61）。

6.2 压差时量的影响因素分析

以油井为例，由式（26）、式（41）可知，φ1、φ2函数与相对渗透率、油黏度、水黏度有关。由式（26）、式（41）、式（47）和式（60），考虑分式分子分母增加φπ 处理，压差时量函数关系式可写为

式（62）中的F函数包含了φ1、φ2函数，因此，F函数与相对渗透率、油黏度、水黏度有关。由式（62）可知，影响压差时量的因素有相对渗透率、油黏度、水黏度、渗透率、单位厚度油层累计产液量、未打井外边界内单位厚度圆盘状油层的孔隙体积、单位厚度井筒半径内可容纳圆形多孔介质的孔隙体积。

水井情况同理，影响水井压差时量的因素也是7 项，相对渗透率、油黏度、水黏度、渗透率、单位厚度累计注水量、未打井外边界内单位厚度圆盘状油层的孔隙体积、单位厚度井筒半径内可容纳圆形多孔介质的孔隙体积。

7 举例计算

以外边界半径为75 m、厚度1.5 m 的圆形等厚均质油层为例，分油井和水井两种情况，外边界压力保持不变，中心油井或水井井底流压随时间不断变化，求：

（1）累计产液量、累计注水量、日采液量及日注水量变化曲线。

（2）30 和90 d 的含水饱和度分布。

（3）对比按本文方法的计算结果和数值模拟结果。

公式中复杂积分采用作图法求解，为了减小作图法近井位置的误差，井筒半径取0.6 m，本算例用于计算验证和结果对比，井径放大不影响结果验证和对比分析。

7.1 已知数据和相关曲线

计算参数：地层孔隙度26.7%，渗透率0.167 D，油井外边界压力12 MPa，水井外边界压力6 MPa。

油井井底流压按正弦规律变化，振幅1 MPa，周期20 d

水井井底流压按正弦规律变化，振幅1 MPa，周期20 d

相对渗透率曲线、压力变化情况如图3～图6所示。

图3 相对渗透率曲线Fig.3 The relative permeability of oil and water

图4 井底流压变化曲线Fig.4 Bottom hole flowing pressure curve

图5 井底与外边界的压差变化曲线Fig.5 Differential pressure between bottom hole&outer boundary

图6 压差时量变化曲线Fig.6 Pressure-difference-time curve

7.2 计算过程和结果对比

由式（60）、式（61）可知，压差时量是关于累计采液量、累计注水量的复杂函数，详细的计算过程如下：

（1）使用相对渗透率曲线，采用分流率计算公式和作图法得到分流率导数曲线。

（2）由相对渗透率曲线、分流率导数曲线，根据式（19），采用作图法得到前缘含水饱和度、前缘分流率导数。

（3）由相对渗透率曲线、油层参数、前缘分流率导数，按式（46）～式（49），得到见水累计总流量、见水压差时量。

（4）由相对渗透率曲线、油层参数、前缘分流率导数、见水累计总流量、见水压差时量、给定一组累计总流量，根据式（60）、式（61），可得到与给定一组累计总流量相对应的一组压差时量。

（5）通过式（3）、式（63）和式（64），代入计算，由给定累计总流量相对应的压差时量得到与给定累计总流量相对应的时间。

（6）根据累计总流量、时间的对应数据绘制累计总流量变化曲线。

（7）利用日结束和日起始时间累计总流量之差，计算日流量，得到日流量变化曲线。

（8）由30 和90 d 的日累计总流量，按式（12）、式（13）计算得到选定日期的含水饱和度分布。

数值模拟利用本算例数据，建立动态模型和静态模型，油井外边界用恒压水体模拟，水井情况外边界通过密集采油井定井底流压模拟。

7.3 公式计算和数值模拟结果对比

（1）油井

图7、图8 是公式计算和数值模拟的累计采液量（日采液量）与含水饱和度对比图。

图7 油井累计产液量、日产液量曲线对比Fig.7 Cumulative liquid production and daily fluid production curve

图8 油井30 和90 d 含水饱和度对比图Fig.8 Contrast of water saturation on the 30 and 90 d of oil well

利用公式计算的含水饱和度数据绘制含水饱和度平面分布图并与数值模拟含水饱和度平面分布图对比。计算见水时间78 d，见水前（30 d）含水饱和度对比图见图9，见水后（90 d）含水饱和度对比图见图10。

图9 油井30 d 含水饱和度对比图Fig.9 Contrast map of water saturation on the 30 d of oil well

图10 油井90 d 含水饱和度对比图Fig.10 Contrast map of water saturation on the 90 d of oil well

通过油井累计产液量曲线、日产液量曲线、含水饱和度平面图、含水饱和度曲线图的对比可知，公式计算结果与数值模拟结果相符合。

（2）水井

图11、图12 是公式计算和数值模拟的累计注水量（日注水量）与含水饱和度对比图。

图11 水井累计注水量、日注水量曲线对比Fig.11 Cumulative water injection and daily water injection curve

图12 水井30 和90 d 含水饱和度对比图Fig.12 Contrast of water saturation on 30 and 90 d of water well

30 和90 d 的含水饱和度平面分布对比图见图13、图14，见水时间37 d。其中，图13 是见水前（30 d）含水饱和度对比图，图14 是见水后（90 d）含水饱和度对比图。

图13 水井30 d 含水饱和度对比图Fig.13 Contrast map of water saturation on 30 d of water well

图14 水井90 d 含水饱和度对比图Fig.14 Contrast map of water saturation on 90 d of water well

由水井累计注水量曲线、日注水量曲线、含水饱和度平面图及含水饱和度曲线图对比可知，公式计算结果与数值模拟结果相符合。

8 结论

（1）油层渗流过程中，位置a 压力与位置b 压力的差在时间区间[t0,tn]上的定积分称为位置a 与位置b 从时间t0到时间tn的压差时量。

（2）根据油水井情况的不同，油水两相平面径向渗流压差时量是累计产液量或累计注水量的函数。

（3）影响油水两相平面径向渗流压差时量的因素：相对渗透率曲线、油黏度、水黏度、渗透率、单位厚度油层累计产液量或累计注水量、未打井外边界内单位厚度圆盘状油层的孔隙体积、单位厚度井筒半径内可容纳圆形多孔介质的孔隙体积。

（4）分油水井两种情况，利用公式和数值模拟举例计算，对比两种方法得到的含水饱和度分布、日产液量、累计产液量、日注水量、累计注水量随时间的变化情况，公式计算结果与数值模拟结果相符合。

符号说明