浅谈如何在教学中渗透模型思想

蓝穗雅

数学思想是人对现实世界进行“数学化”思维抽象和创造的结果，对各种事物抽象概括及事物间关系的模式建构；是对高度概括的概念、定理、公式等的本质认识和反映。

《新课标》指出：数学课程内容不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴涵的数学思想方法。同时，《新课标》的课程总目标部分指出：学生在经历小学及初中阶段的数学学习后，以“四基”能力，即：基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验来适应社会生活和继续发展数学，这样看来数学思不仅是数学学习的重要内容，也是数学学习的基本目标。

数学模型是以某种事物本质特征或数量为基础，运用数学化语言，简化、抽象为合理的数学结构的过程。建立数学模型的过程称之为数学建模，一般包括四个步骤：问题情境──建立模型──解释──应用。建构模型必须要学生亲身参与，不是由教师“打包”硬塞给学生。简洁的公式、定理学生不经历构建推演，在解决实际问题中，只能生搬硬套，做不到灵活运用。数学建模过程是数学教学的核心目标之一，当模型思想渗透于学生数学学习的过程中，是学生数学素养形成的重要体现。

一、凸显数学模型学习的过程性

建模的过程，有利于学生联系生活实际、从已有的知识经验落脚，在不断建构中，学习理解和运用数学，这一学习过程有利于改变教师教学生听的“注入式”的教学模式，将学生推到主体地位，使学生在大量的观察操作实验中，积极参与数学活动，在思考探索的基础上培养学生的各种能力，同时，非“注入式”教学模式既有利于学生掌握数学知识的本质，又有利于扩宽学生数学思想的深度，解决实际问题的能力，体会数学在实际生活的应用，发展学生良好的数学学习情感体验。

数学的教学过程实际是以“问题”为线索，以“解决问题”为主线，教师指引方向。在问题解决过程中，根据所给信息，让学生搭建“脚手架”，用数学符号表示问题中的数量关系和变化规律，建立问题框架，构建数学模型。同时，培养学生的抽象、概括及创新能力，使学生理解和掌握数学知识与技能，体会和运用数学思想与方法，获得基本的数学活动经验。

以北师大版一年级数学《一共有多少》为例：

集合是现代数学的基本概念。加法运算模型的实质是把给定集合中各自元素的个数合并在一起，得到一个新的数量（表示新集合中的元素个数），现实生活中蕴含着大量与数量有关的原型，如合并、移入、增加等，是学生学习加法模型的前提和基础。

本课分为三个层次呈现：

第一层：创设多个丰富的现实情境（“一共有多少支笔”和“一共有多少只熊猫”），初步感知加法的实际意义：把两部分“合起来”这是学生理解加法的基础；呈现笑笑和淘气的对话，整个过程是学生认识数的运算的实物演示过程，既蕴含这对清经过的理解，也包含了计算的方法──数。

第二层：通过直观模型（图片操作、画图解释、手指演示等）再次体会加法的意义，加深理解。

第三层：通过“说一说”用语言描述很画图解释的方式，进一步体会图像表征的过程，帮助学生用多种方式表达对加法意义的理解，体会加法在生活中的应用。

从学生理解、思维方式的角度看，大量丰富的情境为学生提供了更多的加法原型，引导学生进行合并的操作，发现归纳各种原型的本质，都蕴含了“合并”的意思，形成对加法模型的建构。在学生经历多种解决问题的方法和策略（数一数、画一画、摆一摆），让学生体会不同情境中的共同特性，引导学生思考的方向，有助于培养学生探索并建立适合自己的理解和学习方式，而不只是要学生会用“3+2”来求出结果，帮助学生进一步理解加法的意义，使学生不断地积累经验，固化对加法运算模型的建构和理解。

在此基础上，学生构建起2+3=5这个算式，并让学生继续通过说一说、填一填的活动，理解2+3=5的含义。应该说，这个过程是让学生经历了，基于问题情境建立加法运算模型的完整过程，这对学生感受理解并掌握加法运算的本质，发展抽象思维能力都有极大的作用。

在具体情境中抽象出加法模型后，建模并未结束。还要变换问题情境，将加法模型运用到现实生活中去，以此深化模型的内涵。故而教材呈现一个新的问题情境（练一练7.说一说，算一算。），这是要求学生根据真实的生活情境说一说发现的加法问题。在多种事物中，分类出同类物品，抽象出数量，建立数量关系，明确同类物品相加的道理，扩展模型的外延。

二、抓住转化，厘清方法，建立模型

数学模型的建立以豐富的现实问题为原型，具体问题为载体，学生经历多种思维活动，以多种数学思想方法的支撑，发现这些原型的本质特征，才能建构好数学模型。

以北师大版六年级数学《圆的面积》为例：

教材以具体的一个问题 “如何得到一个圆的面积” 为开端。利用圆内接规则多边形，发现圆的面积总是比规则多边形的面积大；圆内数格子也存在误差。这两种方法的结果都是得到近似值，而无法准确计算圆的面积。教材提示用“转化”的方法，将圆转化成我们学过的规则图形，那么可以利用规则图形面积计算公式得到圆的面积的准确值。转化后的面积不会发生变化，转化后图形的面积就是圆的面积。“转化”的数学思想就是将未知的知识内容转变为已知的知识内容，在转化的过程中，知识内容的本质不变。

在转化时，通过对圆的等份（偶数份）切割，较短的曲线近似看成线段（化曲为直），在多次等分中，可以发现将圆等分的份数越多，每一份扇形的弧线就越向线段逼近，拼成的图形就越接近平行四边形，当圆等分的分数足够多，那么圆就可以转化为一个平行四边形。由“曲”变“直”的转化中让学生在有限分割中体会无限细分，在无限逼近中体会极限思想。

找到拼成的平行四边形和圆之间的联系，即新图形其中的一部分相当于原图形的哪一部分是“转化”的关键。转化成的平行四边形的底相当于圆的周长，转化成的平行四边形的高相当于圆的半径。由平行四边形的面积公式可得：。

圆的面积计算公式的推导方法不只有将圆转化成平行四边形这一种，还可以将圆转化成五年级学过的规则图形，如：长方形、三角形、梯形等，无论转化成哪一个图形，都能推导出：S=π。

数学知识要注重 “生长点”和“延伸点”，引导学生感受数学的整体性，体会某些数学知识可以从不同的角度加以分析、从不同的层次进行理解。数学思想蕴涵在数学知识发展的全过程，学生获得知识，必须建立在自己思考的基础上，只有在亲身参与学习活动，才能在数学思考、问题解等方面得到发展。在教学中，教师要把基本思想转化成自己的教学行为，让学生的各方面素质在潜移默化中得到提升；数学教育既要使学生掌握基本的数学知识与技能，更要发挥在活动中培养人思维和创新能力的作用。