基于聚类分析的初中生数学应用能力评价体系研究

唐小娟

摘要：《全日制义务教育数学课程标准》再三强调了初中生数学应用意识和应用能力，但目前为止，未有相关的评价体系以促进学生该能力的提升。本文通过问卷调查，研究某个数学内容的评价指标，采用聚类分析的方法建构指标之间的结构体系。

关键词：数学应用能力；义务教育；聚类分析

一、引言

2011 年，教育部頒布的《全日制义务教育数学课程标准》（以下简称《课标》）在各学段中安排了四个部分的课程内容：“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”。其中，“综合与实践”是一类以问题为载体、以学生自主参与为主，目的是培养和提高学生解决现实问题的能力。

从二十世纪开始，英国开始关注数学的应用，九十年代，在推行的国家课程中，他们把使用和应用数学作为重要的目的之一。二十一世纪初，日本在新课改中设置综合学习课程，目的是增强学习者的数学应用意识，提升应用能力。特别提到初中学生要提高用数学分析现象的能力。在荷兰，费赖登塔尔提到数学教育要面向社会现实、联系实际生活，增强学生从客观现象发现数学的能力。荷兰的中学十分关注数学的应用，在数学课程中融入许多实用性很强的知识。美国数学教育学家舍费尔德提出“问题解决的理论主要包括如何综合地应用已有的数学知识、思想和方法解决实际问题，问题解决为学生提供实践应用数学的机会，利于把数学应用到非常规问题和现实问题”。美国的课程标准要求所有学生在21世纪应具备应用数学的能力。德国的数学教学内容上有大量与工业和经济有关的知识，目的是让学生学习解决实际问题的理论，从而解决实际问题。法国强调让学生运用所学的知识解决自己在实践中遇到的实际问题，他们在教学内容上提出大量与实际密切相关的问题。新加坡2000年修订的中学数学教学大纲目标是培养学生的数学问题解决能力，该能力指在实际任务、现实生活问题和纯数学问题中使用和应用数学。[1]在国内，二十世纪八十年代，数学教学大纲就提出培养学生解决实际问题的能力，直至最新的数学课程标准的颁布，文件中一直强调数学的应用能力。王尚志提出培养学生的应用意识是数学课程的重要目标。[2]对数学应用能力方面的研究主要集中在现状研究、影响因素研究和培养策略研究三方面。[3-5]

事实上，在以往的教学中，初中数学老师只注重基础知识的教学，将所学数学技能运用于具体实际问题的解决或者说参与相关的实践活动则少之又少，不利与学生数学应用能力的提升。同时，目前研究也未有初中生数学应用能力的评价体系去驱动和加强他们对数学的实际应用能力的重视，所以建构相关评价体系尤为重要。本文采用聚类分析方法，对指标进行分析，以建构相应评价体系。

二、聚类分析

聚类分析是根据待分类模式特征的相似或相异程度将数据样本进行分类，从而使同一组的数据尽可能相似，不同组的数据尽可能相异。[6，7]若各组类数据相似度越大，组间的数据差异越大则分类效果越好。[8]聚类分析具有强大的数据分析能力，使得它在各行各业中发挥了巨大作用。主要的聚类分析方法有：基于k-means算法和k-medoids算法的划分法；基于BIRCH算法、CURE算法、ROCK算法、Chameleon算法等的层次方法、网格法和模型法。

2022版《义务教育数学课程标准》包括数感、量感、符号意识、抽象能力、运算能力、几何直观、空间观念、推理能力、数据观念、模型观念等数学能力。PISA数学测评认为学生的数学素养包括应用能力，表达能力和阐述与评估能力，这些能力均建立在推理基础之上。综合两方面提出的考察指标，以七年级上学期第二章《整式的加减》为例，主要提出几个评价指标：数感、量感、符号意识、抽象能力、运算能力、推理能力、模型观念，其中推理能力又细分为观察、归纳和类比，总共十个指标。采用聚类分析法中的层次分析方法，找出指标之间的结构关系，进而建构相应评价体系。

编制了七年级上学期第二章《整式的加减》调查问卷，研究对象为南昌市某中学七年级学生，共487人，发放问卷全部有效收回。首先，面对所有学生进行数学应用能力的调查，并结合问卷的作答情况，得到所有学生的上述能力的掌握情况。采用层次分析法，对所有学生的评价能力进行分析，分析结果如图1：其中VAR0001-10分别表示数感、量感、符号意识、抽象能力、模型观念、观察、归纳、类比、推理能力和运算能力。从分层结果可知：可将所有的这些能力分为3个维度，分别为模型观念、运算能力和其他能力构成的一组。其中其他能力构成的一组与PISA的表述较为相似，即以数学的结构、表征和陈述解决现实问题，进行推理，而这些均需用到数感、量感、符号意识、抽象能力、观察、归纳、类比和推理能力；模型观念与PISA中的运用能力一致，即运用数学概念和推理进行计算，建构数学模型，以解决数学表述问题；运算能力也即根据计算结果进行评价或阐述。

三、结论

本文讨论初中生数学应用能力的评价体系，以七年级学生的《整式的加减》为例，采用聚类分析方法，对10个指标进行分析，得到评价分为3个维度，模型观念、运算能力和其他能力构成一组。该分析结果与PISA提出的三个数学素养表述、运用和阐述或评价基本一致。

参考文献：

1.蔡雅楠.培养初中生数学应用能力的教学研究[D].天津师范大学，2011.

2. 王尚志，孔启平. 培养学生的应用意识是数学课程的重要目标[J].数学教育学报，2002，11（2），43-45.

3.刘赫.初中生数学应用意识的现状调查及培养策略[D].辽宁：辽宁师范大学，2019.

4.黄宇瑛.高中生数学应用意识培养研究[D].长春：东北师范大学，2006.

5.曾庆可.中学数学教育中数学应用意识的培养探讨[D]. 华中师范大学，2004

6.王骏.无监督学习中聚类和阈值分割新方法研究[D].南京理工大学，2010.

7.王敏.分类属性数据聚类算法研究[D].江苏大学，2008.

8.张静.数据挖掘中聚类分析综述[J].价值工程，2014（15）：226-227.

基金项目：江西省教育科学“十三五”规划2020年度课题（20YB028）