利用函数对称性与周期性的关系解题

杨 婷

(甘肃省庆阳市北京师范大学庆阳附属学校，745200)

函数图象的对称性和周期性是函数的两个重要性质,许多函数问题常常需要利用两个性质的关系来求解.本文先归纳、证明这两个性质关系的几个基本结论,再举例说明这些结论在求解相关问题中的应用.

一、基本结论

结论1若函数y=f(x)的图象分别关于两条直线x=a,x=b(a≠b)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且T=2|a-b|为y=f(x)的一个周期.

结论2若函数y=f(x)的图象分别关于两点A(a,0),B(b,0)(a≠b)对称，则y=f(x)是周期函数,且T=2|a-b|为y=f(x)的一个周期.

结论3如果函数y=f(x)的图象关于点A(a,0)和直线x=b(a≠b)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且T=4|a-b|为y=f(x)的一个周期.

几个结论的证明具有一定的相似性,下面仅以结论3为例,给出证明.

因为y=f(x)的图象关于点A(a,0)对称，设P(x1,y1),Q(x2,y2)为y=f(x)上任意一对对称点,则x1+x2=2a且y1+y2=0.所以y2=-y1,即f(x2)=-f(x1),亦即f(2a-x1)=-f(x1).由x1的任意性,可知f(x)=-f(2a-x)对定义域内的所有x成立.

又因为函数y=f(x)的图象关于直线x=b对称,同理可知f(x)=f(2b-x)对定义域内的所有x成立.

于是,对定义域内的所有x,恒有f(2b-x)=-f(2a-x).

所以f[2b-(2a-x)]=-f[2a-(2a-x)]=-f(x),即f[2(b-a)+x)]=-f(x).进而f{2(b-a)+[2(b-a)+x]}=-f[2(b-a)+x]=f(x).即f[4(b-a)+x]=f(x).可见y=f(x)是周期函数，且T=4|a-b|为f(x)的一个周期.

二、应用举例

1.求函数值

例1已知f(x)为R上的奇函数，并且f(x)+f(2-x)=0,当-1

解由f(x)为R上的奇函数，得f(x)图象关于点(0，0)对称；又由f(x)+f(2-x)=0,得f(2-x)=-f(x),即f(x)图象关于点(1，0)对称.由结论2，可知y=f(x)是周期函数，且以T=2|1-0|=2为函数f(x)的一个周期.

例2已知定义域为R的可导函数y=f(x)满足f(4-x)=f(x),且f(8-x)=f(x),则曲线y=f(x)在x=2 022处的切线的斜率为( )

(A)2 022 (B)2 021 (C)1 (D)0

解由f(4-x)=f(x)，可知f(x)图象关于直线x=2对称；由f(8-x)=f(x)，可知f(x)图象关于直线x=4对称.所以由结论1可知函数f(x)和它的导函数f′(x)都是R上的周期函数，且T=2|2-4|=4为它们的一个周期.

因为f(x)图象关于直线x=2对称，所以f′(2)=0.又2 022=505×4+2,于是f′(2 022)=f′(2)=0.故选D.

2.比较大小

例3已知定义在R上的函数f(x)满足：①f(-x)+f(x)=0;② 函数f(x)的图象关于直线x=2对称;③ 在区间[0,2]上是增函数.则( )

(A)f(18)

(B)f(5)

(C)f(5)

(D)f(18)

解由条件① 知f(x)为奇函数,所以f(x)的图象关于原点(0,0)对称.

又函数f(x)的图象关于直线x=2对称,由结论3可知y=f(x)是周期函数,且T=4|0-2|=8为f(x)的一个周期.

由① ③ 知f(x)在[-2,2]是增函数.

于是f(18)=f(2),f(-32)=f(0),f(5)=f(-1).结合函数f(x)在[-2,2]的单调性,可得f(-1)

3.求解方程问题

例4已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,满足f(x-4)=-f(x)，且在区间[0,2]是增函数.若方程f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4=( )

(A)-12 (B)-8 (C)-4 (D)4

解因为f(x)为R上的奇函数,所以f(x)图象关于点(0，0)对称.

因为f(x-4)=-f(x),即f(4-x)=f(x),所以f(x)的图象关于直线x=2对称.

所以根据结论3可知函数y=f(x)是周期函数,且T=4|0-2|=8为函数y=f(x)的一个周期.

又因为f(x)在[0,2]是增函数,所以f(x)在[-2,0]也是增函数.如此不难画出f(x)的草图，如图1.

同理x3+x4=4.所以x1+x2+x3+x4=-12+4=-8.故选B.

4.综合应用

例5已知函数f(x)满足：当x∈(-∞,+∞)时，f(2-x)=f(2+x)且f(7-x)=f(7+x),在区间[0,7]只有f(1)=f(3)=0.

(1)试判断f(x)的奇偶性；

(2)试求方程f(x)=0在[-2 022,2 022]上的根的个数，并证明你的结论.

解由f(2-x)=f(2+x),可得f(x)=f(4-x),所以f(x)图象关于直线x=2对称.

由f(7-x)=f(7+x),可得f(x)=f(14-x),f(x)图象关于直线x=7对称.

所以由结论1可知y=f(x)是周期函数，且T=2|2-7|=10为f(x)的一个周期.

(1)由于在闭区间[0,7]只有f(1)=f(3)=0,所以f(-3)=f(7)≠0.显然f(-3)≠f(3),且f(-3)≠-f(3),故f(x)是非奇非偶函数.

(2)由f(1)=f(3)=0,f(x)=f(4-x)及f(x)周期为10，得f(11)=f(13)=f(-9)=f(-7)=0,可知f(x)=0在区间[0,10]及[-10,0]各有两个根.

因此，由2 022=202×10+2，可得到函数f(x)=0在区间[0,2 022]有405个根，在区间[-2 022,0]有404个根.故在[-2 022,2 022]的所有根的个数为809个.

评注本题的一个重要“点”是给出了两个类似的函数等式.抓住这个“点”联想到函数的对称性，由结论1可知函数f(x)一定是周期函数.从周期出发，我们是通过思考两点求解的：(1)借助f(1)=f(3)=0求出一些函数值，由此可发现奇偶性；(2)求出一个周期上方程f(x)=0根的个数，再由周期性得出在区间[-2 022,2 022]上的所有根的个数.