图形叠加生成 定性定量探究*
——以福建省2021年中考数学第24题为例

林红梅

(福建省莆田文献中学,351199)

对照《义务教育数学课程标准(2011年版)》中的“图形与几何”知识领域的要求,平面几何复习专题的设计应考虑精选的试题通过哪些基本图形的生成叠加来引导学生研究图形;通过后续怎样的变式，探究一般化思路,来渗透数学思想方法和培养学生关键能力;通过怎样的内调外联形成结构化体系来发展学生的核心素养,如此层层递进,螺旋提升.本文以2021年福建省中考数学第24题为例,谈谈如何发挥试题的内涵与外延的价值.

一、试题呈现

如图1,在正方形ABCD中,E,F为边AB上的两个三等分点,点A关于DE的对称点为A′,AA′的延长线交BC于点G.

(1)求证:DE∥A′F;

(2)求∠GA′B的大小;

(3)求证:A′C=2A′B.

本题是一道几何综合题,涉及正方形的性质、轴对称的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质、圆的定义等知识点,主要考查学生化归、数形结合等数学思想,以及几何直观、逻辑推理等核心素养,能够较好地体现选拔功能.

二、分析求解

1.化繁为简,拆分图形,反向有序生成试题图形

将图1逐步拆分,还原图形生成过程,从定性角度研究基本图形及其叠加后的构成要素及相关要素之间的结论.

评注从图2到图5,通过基本图形有顺序、有层次的组合叠加来对静态几何图形的定性研究,是数学直观想象、逻辑推理素养的表现.

2.对于静态几何图形,从定性研究转化到定量表述

量化是数学的思维方式之一.将静态几何图形相关元素的定性结论用某一个量表述——这个量可以是数值或数对,则意味着可以把握图形的变化规律.这是图形研究中确定性思想的表现.

三、变式探究

1.变换的不变性

将原题中的条件“E为AB三等分点”变式为“点E在AB上运动”,则对称轴DE不确定,因此点A′的位置不确定,在此过程中研究点A在运动过程中相关元素保持的不变性.

变式1如图7,在正方形ABCD中,E为边AB上的一动点,点A关于DE的对称点为A′,AA′的延长线交BC于点G.问:(1)求点A′的运动轨迹;(2)求∠GA′C的大小;(3)若AB=3,求A′B的最小值.

变式2如图8,在正方形ABCD中,E为边AB上的三等分点,点A关于DE的对称点为A′,将直角∠GA′F绕点A′旋转,直角边A′G交BC于点G,直角边A′F交AB于点F,连结FG,A′B.若AB=3,求FG的最小值.

2.变换中满足特定条件下的定性结论或定量结果

将原题中的核心条件∠GA′F=90°保持不变,让点E在边AB上运动.

抓住变式1中∠CA′G=45°这个不变量,可以构造等腰直角三角形作为命题的走向.

3.一般化条件后的系列结论

变式5如图12,在矩形ABCD中,AD=3,E为边AB上的一动点,点A关于DE的对称点为A′,连结A′A并延长交BC于点G,过点A′作A′F∥DE交AB于点F,连结A′B.问:当∠GA′B=45°时,求BF关于AE的函数关系式.

若简化图形,只讨论轴对称变化,可以继续延续探究变换中几何量间的函数关系.

变式6如图13,在矩形ABCD中,AD=3,E为边AB上的一动点,点A关于DE的对称点为A′,连结A′B.问:当AA′=A′B时,AB的最大值是多少？

简析如图13,过点A作MN⊥AB于点N,交DC于点M,连结DA′,则A′D=AD=3.当AA′=A′B时,点A′在AB的垂直平分线上,则N为AB的中点.

当然图形的一般化与特殊化不仅仅体现在图形变换过程中某一相对静止时刻的一系列结论,也可以指某些核心条件一般化后产生系列结论的脉络和线索.例如点E的运动轨迹可进一步一般化,但仍有点A′的运动轨迹保持不变,进而继续探究变换中满足特定条件下的定性结论或定量结果.

变式7如图14,在正方形ABCD外侧作直线DE,点A关于DE的对称点为A′,连结AA′,CA′,其中CA′交直线DE于点O.若0°<∠DAA′<90°,用等式表示线段OA′,OC,AD之间的数量关系.