矩阵逆的教与学

刘晓冀，王宏兴，严 慧

(1.广西民族大学 数学与物理学院，广西 南宁 53006；2.湖北师范大学 数学与统计学院，湖北 黄石 435002)

0 引言

矩阵在基础数学、应用数学、计算数学、运筹学与控制论、概率论与数理统计等各个数学分支都有着广泛的存在，是诸多学科研究领域不可或缺的工具之一，是线性代数、高等代数等课程的主要组成部分。1858年，英国数学家阿瑟·凯莱(Arthur Cayley，1821-1895)在《矩阵论的研究报告》中引入矩阵逆的概念。在高等代数课程教学中，一般安排2个课时讲解矩阵逆的定义、计算和基本性质。值得注意的是，矩阵逆的相关理论及其应用贯穿整个高等代数课程主要章节。授课教师对逆的理解和综合应用是高质量完成该知识点课堂教学的关键。本文主要简介矩阵逆、逆的性质与计算、逆与其他知识点的关系、广义逆及其应用等。

1 逆的基本性质

定义1 设A是n阶方阵。若存在n阶方阵B，使得AB=BA=En，其中En是n阶单位矩阵，则称A是可逆矩阵，B是A的逆，记为A-1.

矩阵逆的定义形式简洁优美且内涵丰富。由上述定义，我们就可以得到可逆矩阵若干具有广泛应用的性质，如：设A是n阶可逆方阵，则对任意的n维列向量b，x=A-1b是矩阵方程Ax=b的唯一解；(AB)-1=B-1A-1；(A-1)-1=A；A的行列式的值不等于0等。值得强调的是可逆矩阵及其相关问题在各个章节都有讨论，如：

1) 记f(x)=xt+a1xt-1+…+at-1x+at，t∈+其中at≠0.若f(A)=0则A是可逆的，且

著名的Cayley-Hamilton公式是其一个特例；

2)矩阵A可逆等价于其行列式的值不等于0；A-1的行列式的值等于原行列式值的倒数；伴随矩阵法是求矩阵逆的方法之一；

3)n阶可逆矩阵A的秩等于n；Ax=0只有零解；

4)实数域正定二次型对应的正定矩阵A是可逆的，其顺序主子式都大于0，且存在实可逆矩阵D使得A=DDT；

5)线性空间基变换对应的过渡矩阵是可逆的；n阶可逆矩阵A的列向量生成的空间是维数为n的线性空间；

6)可逆的线性变换与对应的逆矩阵对应，且逆变换对应于逆矩阵；恒等变换、非零的数乘变换都属于可逆变换；可逆矩阵的特征值都不为零等。

众多特殊矩阵是可逆矩阵，如初等变换对应的初等矩阵、快速傅里叶变换对应的傅里叶矩阵等。部分特殊矩阵的逆与原矩阵有很好的关系，这些特殊矩阵应用广泛，也是巩固相关知识点的优质例题：如酉矩阵、友矩阵等。

2 求矩阵的逆

在求矩阵逆的时候首先要判定矩阵是可逆的。关于矩阵可逆的判定方法很多，如利用行列式、向量组、线性变换、核空间的维数、初等矩阵、等价性、矩阵方程的可解性、特征值、正定矩阵等。当然还有一些其他的方法，如：特殊矩阵：分块对角矩阵可逆等价于每个对角块可逆：

即

我们也可以用初等变换法、伴随矩阵法等方法求矩阵的逆。在高等代数学习中，矩阵分解也是一个有趣的方法。如：设A是一个n阶可逆矩阵，U和V是n×r矩阵，X是r阶可逆的，则A+UXV*可逆等价于X-1+V*A-1U可逆。且

(A+UXV*)-1=A-1-A-1U(X-1+V*A-1U)-1V*A-1

上述等式被称为Sherman-Morrison-Woodbury公式。分块矩阵的逆也是研究的重点之一：

关于四分块矩阵逆的表示有许多，特别是在部分元素是特殊矩阵时，其逆的表达式十分有趣，更多细节参考文献[1，2]。当A是可逆矩阵时，可以给出Ax=b的精确解。这使得矩阵逆在理论上具有极为重要的意义。随着矩阵阶数的增加，应用一般方法求给定矩阵逆非常困难(复杂度为O(n3))，这就需要针对具体问题和特殊矩阵提出相应快速有效的计算方法，这也是后续矩阵计算重点研究的内容之一[3,4]。

3 广义逆

在上述定义1中，我们看到可逆矩阵是方阵。在实际的应用中，众多矩阵不是方阵。此时，这些矩阵不能讨论其是不是可逆。

首先，把方阵的逆推广到行(列)满秩矩阵，引入右(左)逆。设A是m×n矩阵，若存在m×n矩阵B使得AB=Em，则称A是右可逆的，B是A的右逆；若存在n×m矩阵C使得CA=En则称A左可逆的，C是A的左逆。例如，设A=[1 0]，则B[1x]对任意的x都有AB*=E1.显然，这里的B不是唯一的。由定义1可以得到，可逆方阵的左逆和右逆都是存在的且相等。在高等代数教材中有：方阵是可逆的等价于其是左(或右)逆存在。这也是我们在求方阵A的逆时，有时候只考虑AX=Em(或者XA=En)的理论依据。从这里也可以看到，逆推广到广义逆是自然的。高等代数中关于左(右)逆的学习为后续广义逆的学习做了重要的铺垫。下面介绍矩阵的Moore-Penrose逆。

1920年，E. H. Moore利用正交投影算子在复矩阵中定义了该逆。著名的数学物理学家、诺贝尔物理学奖获得者R. Penrose在1955年给出了如下刻画。

定义2 设A是m×n矩阵，则存在唯一的矩阵X满足

AXA=A,XAX=X,(AX)*=AX,(XA)*=XA

称之为A的Moore-Penrose逆，记为A.

在矩阵A是可逆方阵时，A-1是唯一满足定义2中四个等式的矩阵。Moore-Penrose逆在矩阵计算、数理统计、控制论等领域有着广泛的应用，是矩阵理论及其应用研究中不可或缺的工具之一。如x=Ab是不相容矩阵方程的极小范数最小二乘解，且该解唯一。Moore-Penrose逆的理论及其应用研究一直备受关注：2021年Fritzsche和Mädler给出四分块矩阵Moore-Penrose逆的新的表达式；Bajo应用多项式计算矩阵的Moore-Penrose逆；Zhuang、Lin和Toh 研究Moore-Penrose逆的算法及其应用等，更多关于其研究见参考文献[5～7].

下面我们介绍另一类重要的广义逆：Drazin逆。该逆是1958年M. P. Drazin在研究结合环和半群时引入的。由于其具有较好的谱性质及其在马尔科夫链、奇异微分方程等问题中的应用受到广泛关注。

定义3 设A是n阶方阵，k是满足rank(Ak+1)=rank(Ak)的最小正整数，记为Ind(A)=k，则存在唯一的矩阵X满足

AXAk=Ak,XAX=X,AX=XA

称之为A的Drazin逆，记为AD.特别是在Ind(A)=1时，我们称之为A的群逆，记为A#.

最后我们介绍最近受到关注的一类新型广义逆：core逆。

2010年，Baksalary和Trenkler在参考文献[8]中引入该逆。Wang和Liu在参考文献[9]中给出core逆的如下刻画：

定理4 设A是n阶方阵，Ind(A)=1，则存在唯一的矩阵X满足

AXA=A,AX2=X,(AX)*=XA

称之为A的core逆，记为A⊕.

矩阵分解是研究广义逆的一个强有力工具。我们应用矩阵秩分解给出上述广义逆的若干表示。以下定理5和定理6来自参考文献[9，10，11].

定理5[满秩分解] 设A是m×n矩阵，rank(A)=r，则存在A1和A2使得A=A1A2，其中A1是m×n列满秩矩阵，A2是r×n行满秩矩阵。

定理6 设A是m×n矩阵，rank(A)=r，A=A1A2是满秩分解，则

若m=n，Ind(A)=1，则

A#=A1(A2A1)-2A2

在方阵逆的研究中我们可以看到(AB)-1=B-1A-1、A-1(A+B)B-1=A-1+B-1等结果是容易验证成立的。一般情况下，这些结果不能推广到广义逆。如A{1,2}B{1,2}⊆AB{1,2}，其中A{1,2}={X|AXA=A,XAX=X}，直到1998年，才被Alvaro R. De Pierro和Musheng Wei应用广义奇异值分解解决[18,19]。

更多关于经典广义逆和新型广义逆的性质、计算和结论可参考文献[10～12，20～22等]。

4 结论

逆是一个非常广义的概念，存在于数学的各个分支，如数学分析中的逆映射、概率论中的逆事件。本文讨论的是矩阵的逆，并简述了矩阵的逆和广义逆的若干相关性质及其应用。把广义逆理论介绍给本科生是可行的，如东南大学陈建龙教授等把广义逆、矩阵分解等最新的研究成果融入线性代数课程建设中，取得理想的效果[11]。期待本文内容能够为部分教师备课和学生学习提供帮助。另外，以逆作为主线可以开展本科高等代数(线性代数)课程思政，如逆与线性代数各个章节的关系、逆与广义逆的关系、国内学者在广义逆理论研究的突出成果等都是开展课程思政的切入点。

Teaching and learning of matrix inverse

LIU Xiao-ji1，WANG Hong-xing1，YAN Hui2